Circuito Electrico mixto y las ecuaciones diferenciales

Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Circuitos Eléctricos RLC en serie

En el siguiente artículo aprenderás mediante un ejemplo cómo se resuelve un circuito electrico mixto o circuito electrico RLC utilizando ecuaciones diferenciales y conocerás la relación entre los componentes del circuito y su representación como cantidades diferenciales que cambian con el tiempo.

Para desarrollar este ejemplo partiremos de la configuración básica para un circuito RLC, que es cuando sus componentes están conectados en serie, como lo muestra la Figura 1.

circuito electrico mixto

Figura 1. Circuito RLC conectado en serie

Donde, los elementos mostrados son:

  1. Un resistor con una resistencia $ R$ ohms
  2. Un inductor con una inductancia de $ L$ henries,
  3. Un capacitor con una capacitancia de $ C$ faradios,
  4. Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje $ E(t) $de $ 110$ V
  5. a $ 60$ Hz, en el tiempo $ t$.

De acuerdo con los principios elementales de electricidad, las caídas de voltaje a través de los elementos del circuito son las que se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Tabla de simbología, representación matemática de las caídas de voltaje y valores mostrados en la Figura 1.
Elementos del circuitoSímboloCaída de Voltaje(representación diferencial)Valores
Inductor$ L$$ L\frac{dI}{dt}$$ 100$ mH
Resistor$ R$$ RI$$ 50$ Ω
Capacitor$ C$$ \frac{1}{C}Q$$ 500$ μF
Fuente de corriente alterna$ E(t)$Voltaje suministrado en el tiempo $ t$$ 110$ V a 60Hz

Estas expresiones, para las caídas de voltaje, derivadas de la física, provienen de conclusiones experimentales, que han llevado a las siguientes definiciones:

Caídas de Voltaje. Circuito electrico mixto

  1. Resistencia. La caída de voltaje a través de una resistencia ($ R$) es proporcional a la corriente que pasa a través de ésta, es decir: $ E(t) \alpha I$ ó $ E(t) =R I$ (Ley de Ohm). Donde $ R$ es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o simplemente resistencia.
  2. Inductor. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente, es decir: $ E(t) \alpha\frac{d{I}}{d{t}}$ ó $ E(t) = L \frac{d{I}}{d{t}}$. Donde $ L$ es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductáncia o simplemente inductor.
  3. Capacitor (condensador). La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador: $ E(t) \alpha Q$ ó $ E(t) =\frac{{Q}}{C}$. Donde $ \frac{1}{C}$ es la constante de proporcionalidad y $ C$ es la capacitancia del capacitor o inductor.

Estas definiciones se pueden entender mejor si guardamos en mente que una resistencia disipa una parte de corriente como calor, un inductor se opone a los cambios de corriente por el efecto del campo magnético que genera alrededor de sí que a su vez le autoinduce una tensión, un capacitor (condensador), es un elemento que almacena energía.

La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie.

Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de $ E(t)$ en el tiempo $x t$, como lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto provoca una corriente $ I(t)$ en amperes en el circuito y una carga $ Q(t)$ en coulombs en el capacitor en el tiempo $ t$. La relación entre las funciones $ I$ y $ Q$ es:

\begin{equation}
\frac{dQ}{dt} = I(t)
\end{equation}
(1)

Es decir:

La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por unidad de tiempo que recorre un material.

Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se obtienen de la experimentación. Las unidades utilizadas para esta ecuación pertenecen al sistema $ mks$, por lo que la unidad de tiempo es el segundo(s).

Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1, utilizamos una de las leyes de Kirchoff -la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos.

Ley de Kirchoff (mallas)

La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.

Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico mixto RLC

De modo que, sumando las caídas de voltaje (ver Tabla 1) e igualándolas al voltaje de la fuente de corriente alterna, tenemos:

\begin{equation}
L \frac{d\mathbf{I}}{d{t}} +{R}{I}+ \frac{1}{C}
\mathbf{Q}= E ( t)
\end{equation}
(2)

Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una función como incógnita (digamos $ Q$), obtenemos:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {Q}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{Q}}{d{t}} + \frac{1}{C} {Q}= E ( t)
\end{equation}
(3)

Con lo que tenemos una expresión consistente para el circuito RLC conectado en serie como el mostrado en la Figura 1.

Ahora, si derivamos la ecuación (3) en ambos lados, sustituyendo $ {I}$ por $ {Q}’$ obtenemos:

\begin{eqnarray*}
L \frac{d^2{I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} \ast\frac{d}{d{t}} \int {I}d{t} & = & E’ ( t)
\end{eqnarray*}

ya que:

\begin{eqnarray*}
\frac{d{Q}}{d{t}} & = & {I} ( t)\\\\
\int d{Q} & = & \int {I} ( t) d{t}\\\\
{Q} & = & \int {I} ( t) d{t}
\end{eqnarray*}

Es decir:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)
\end{equation}
(4)

De esta forma tenemos las ecuaciones (3) y (4), para resolver nuestro problema ejemplo, que a continuación describo.

Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Aplicaciones.

Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden

Ejemplo:

Considere un circuito RLC con $ R = 50 {ohms} ({\Omega})$, $ L =0.1 {henry} ( H)$ y $ C = 5 \times 10^{- 4} {farad} ( F)$. En el tiempo $ t=0$, cuando tanto $ {I}(0)$ como $ {Q}(0)$ son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de $ 110 {Volts}, 60 {Hz}$. Encuéntrese la corriente en el circuito.

Solución:

Para resolver este problema recordemos lo siguiente:

El caso típico el voltaje de corriente alterna, se representa como:

\begin{equation}
E(t) = E_0 {sen} {\omega}{t}
\end{equation}
(5)

Donde, $ E_0$es el voltaje inicial (en el tiempo 0).

Solución de una ecuación diferencial lineal NO homogénea de 2º orden

La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de 2º orden, se compone de la suma de la solución de su sistema homogéneo asociado mas una solución particular, es decir la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$ \Large {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$

Donde $ {a}_2$, $latex {a}_1$, $latex {a}_0$, son constantes.

Tiene la forma:

$ \large y = y_c + y_p$

Donde:

$ y$: solución general

$ y_c :$ es la solución complementaria o solución del sistema homogéneo asociado: $ {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = 0$

$ y_p$: es una solución particular o solución del sistema no homogéneo:
$ {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$

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En circuitos eléctricos dicha solución tiene un significado físico por lo que para un circuito RLC respresentado por la ecuación diferencial de 2º orden (4): $ L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)$, la solución está compuesta por: Sigue leyendo

Cómo aplicar el Teorema del Valor Medio

En este artículo, entenderás fácilmente el concepto del Teorema del Valor Medio relacionándolo con su significado gráfico. Esto te permitirá tener una imagen clara en la mente para que nunca se te olvide el concepto.

Nuestro cerebro recuerda más fácilmente las imágenes, es por eso que te presentaré una gráfica que engloba el concepto de Teorema de Valor Medio, relacionando la simbología matemática del Teorema con el área de un rectángulo y la función para la cual se desea conocer su valor medio.

Valor Promedio de una función y el Teorema del Valor medio para una función integral

En el artículo Teorema del Valor Medio, vimos dos fórmulas importantes que esencialmente representan lo mismo:

Valor promedio de una función

El valor promedio $ \bar{y}$ de la función $ y = f ( x)$ para $ x$ en el intervalo $ [ a, b]$, es:

\begin{equation}
\overline{\label{valorprom} y} = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx
\end{equation}
(1)

Suponiendo que $ f$ es integrable en el intervalo $ [ a, b]$.

Teorema del Valor Medio

Si $ f$ es continua en $ [ a, b]$, entonces:

\begin{equation}
\label{valpro} f ( \bar{x}) = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx
\end{equation}
(2)

para algún número $ \bar{x}$ en $ [ a, b]$.

El concepto matemático que estas fórmulas representan se puede entender fácilmente si vemos su representación gráfica. Para esto necesitamos primero despejar las integrales de la manera siguiente:

Al despejar la integral de la fórmula (1), tenemos:

\begin{equation}
\label{desprom} \int^b_a f ( x) dx = \bar{y} \ast ( b – a)
\end{equation}
(3)

Si realizamos el mismo procedimiento para la fórmula (2), tenemos:

\begin{equation}
\label{rec} \int^b_a f ( x) dx = f ( \bar{x}) \ast ( b – a)
\end{equation}
(4)

Analizando las fórmulas (3) y (4), vemos que los dos lados izquierdos de cada una fórmula, son idénticos, y sus dos lados derechos solo varían en los términos $ \bar{y}$ y $ f ( \bar{x})$, que de hecho representan lo mismo. Es decir, si analizamos la Figura 1, veremos que, $ \overline{y} = f ( \bar{x})$, y que ambas representan la altura de un rectángulo.

Si $ f$ tiene valores positivos en $ [ a, b]$, las ecuaciones (3) y (4) implican que el área bajo $y = f ( x)$ sobre el intervalo $ [ a, b]$ es igual al área de un rectángulo cuya base tiene longitud $ b – a$ y altura $ \bar{y}$ (o altura $ f ( \bar{x})$), vea la Figura 1:

aplicar el Teorema del Valor Medio

Figuras 1. Significado Geométrico del Teorema del Valor Medio.

Una vez, visualizado el concepto, aplicamos el Teorema del Valor Medio a una función para verificar lo que sabemos. Sigue leyendo

Teorema del Valor Medio

En este artículo aprenderás y podrás aplicar el concepto de valor medio para una integral, mediante una técnica poderosa de aprendizaje significativo que consiste en relacionar temas previamente aprendidos con los temas nuevos por aprender. Para esto utilizaremos el concepto de Valor Promedio, el cual es bien conocido y utilizado comúnmente, además de tener una obvia relación con el tema que vamos a aprender. En términos matemáticos, el promedio de una serie de cantidades (o números), se escribe de la siguiente forma:

$ \Large \bar{a} = \frac{a_1 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n}{n}$

Donde: $ \bar{a}$: promedio de las cantidades $ a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ $ n$: cantidad de mediciones que se quieren hacer.

O más formalmente:

\begin{equation} \label{promedios} \bar{a} = \frac{1}{n} \sum^n_{i = 1} a_i \end{equation}(1)

Supongamos que la serie de valores $ a_1, a_2, a_3, …, a_n$ corresponden a valores de temperatura medidos de alguna sustancia cotidiana como el agua cuando la calentamos. La representación de la temperatura en función del tiempo, la podemos escribir, de la siguiente manera:

\begin{equation} T = f ( t) \end{equation}(2)

Donde: $ f_1( t), f_2( t), f_3( t), \cdots , f_n( t)$ serían los valores particulares de la temperatura durante el proceso de calentamiento. Ahora, como nuestro objetivo es buscar la temperatura promedio de una función (integral), sigamos la siguiente estratégia: ESTRATEGIA PARA ENCONTRAR EL PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN

Buscaremos construir una función que modele el promedio de las temperaturas medidas durante el calentamiento de una cantidad cualquiera de agua.

Para tal efecto, utilizaremos el concepto básico que representa la integral, que es el de realizar un SUMA de cantidades y dividiremos dicha cantidad entre el intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse que va desde su comienzo a una cierta temperatura (en este caso 25º C), hasta su punto de evaporación (que es de 100º C, al nivel del mar).

La idea es ir incrementando el número de mediciones tomadas dentro el mismo intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse desde su temperatura inicial, de tal manera que eventualmente nos encontremos con tal cantidad de mediciones que nos permitan modelar el corportamiento de la temperatura mediante una función matemática.

La función buscada, al depender del tiempo es una función contínua.

Asumiremos que el experimento se realiza en altitudes próximas al nivel del mar.

Para mayor claridad en el desplegado de la gráfica se ha exagerado el tiempo de evaporación del agua al nivel del mar.

CLAVE: relacionar los promedio de las mediciones con el promedio de las áreas bajo la curva que son delimitadas por dichas mediciones.

Entonces, partiendo de lo más básico tomamos una medición entre la temperatura inicial (25º C) y la final (100º C) para empezar a realizar nuestro modelo matemático mientras graficamos las mediciones obtenidas y podamos ver el comportamiento de la temperatura de ésta forma. Medimos las temperaturas en un intervalo de 12 minutos y graficamos con resprecto al tiempo el calentamiento del agua al nivel del mar: Sigue leyendo