Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas

El siguiente método te ayudara a resolver cualquier tipo de ecuaciones diferenciales exactas de primer orden en 4 pasos sencillos.

Estudios científicos recientes realizados por el Dr. Terrence Sejnowski investigador el Instituto Howard Huges, apuntan a que utilizar el pensamiento difuso a la vez que el enfocado durante en proceso de aprendizaje es una técnica efectiva para aprender cualquier cosa, ya que se necesita acceder recursos de la mente que se ignoran al momento de estar enfocado; una de las forma de utilizar el pensamiento enfocado y el difuso como lo dice el Dr. Terrence, es mediante el aprender haciendo y para eso te propongo que emplees los pasos que te describo sin tratar de entenderlos del todo al principio y confiando que, cuando entres en el modo de pensamiento difuso (al realizar otra actividad que te despeje de tu concentración) el entendimiento conceptual de los temas se dará.

El método para resolver en 4 pasos ED exactas lo describo a continuación:

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Primero definimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siguiente dos
criterios:

  • FORMA ESTÁNDAR DE LA ED EXACTA

$M ( x,y ){dx} +N ( x,y ){dy} =0$

  • CRITERIO PARA DEFINIR EXACTITUD DE LA ED

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1. $F ( x,y ) = \int M ( x,y ) d x+g ( y )$

2. $\frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x+g’ (y ) =N ( x,y )$

3. $g ( y ) = \int N ( x,y ) d y- \int\frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x d y$

4. Sustituimos $g ( y )$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c $ (c = constante)

$\int M ( x,y ){dx} +g ( y ) =c$

Si encontramos que la funcion $N ( x,y )$, es más facilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en funcion de $N$, ver el Ejemplo 5 al final y/o revisar los 4 pasos del método alternativo, click aqui.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En los siguientes problemas determine si la ED es exacta, si lo es resuelvala.

Ejemplo 1. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 3)

$\large ( 5x+4y ) d x+ ( 4x-8y^{3} ) d y=0$

-Determinamos si es exacta la ED

$M ( x,y ) d x=5x+4y$;        $N ( x,y ) =4x-8y^{3}$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =4$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x} =4$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1. Sigue leyendo