Ecuaciones diferenciales por sustitucion

Ecuaciones Diferenciales por sustitución ejemplos (reducidas a variables separables)

Despúes de terminar de leer éste artículo podrás tener una idea clara de cómo abordar problemas de ecuaciones diferenciales cuando pueden ser reducidas a variables separables, además de contar con una metodología que te ayude a resolverlas.

La intiución es una parte muy importante en las matemáticas y la resolución de problemas. Según Sebastian Thrun, vice presidente de Google y el inventor de los Google glasses, dice que la intuición en la resolución de problemas es muy importante para llegar al entendimiento profundo de los mismos.

«La intuición nos perimte realizar una evaluacvión de un problema cuando hay numeros involucrados…», dice Sebastian.

Al final, ver el mundo desde un punto de vista intuitivo (no necesarimente racional, si no con un sentido de entendimiento sutil), nos ayudará a tomar los caminos necesarios para la resolución del problema; ésto en última instancia es pensar como un matemático, segun dice Thrun.

Por experiencia personal, y seguramente de uds como lectores, sabemos que es mucho más fácil saber cómo abordar un problema si tenemos una visión intuitiva de cómo se comporta y cómo podemos modelarlo y/o manipular su modelo para resolverlo.

El ejercicio de éste «don» nos permitirá desarrollar ese pensamiento matemático, que nos hace falta para la comprención profunda de los conceptos o fenómenos físicos.

La mente intuitiva es un don sagrado, y la mente racional es un fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que honra al sirviente y ha olvidado el don.

Albert Einstein

Figura 1. El área bajo la curva de la función seno (o coseno), es fácilmente aproximable si nos damos cuenta que podemos calcular el área de los rectángulos cuyas alturas coinciden con ella.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales reducidas a variables separables

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ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Ecuaciones Diferenciales Separables

ECUACIONES DIFERENCIABLES SEPARABLES

Si lees el siguiente artículo hasta el final conocerás varios trucos para resolver ecuaciones diferenciales separables (sobre todo para integrar funciones, que aparecen de forma recurrente), mediante una metodología de 3 pasos de fácil aplicación.

El aprendizaje mediante la resolución de problemas es ampliamente utilizado en ciencias para desarrollar habilidades en los alumnos. Al utilizar ésta metodología se debe considerar que el cometer errores es fundamental para el aprendizaje pues se logran dos cosas:

1.- El crecimiento del cerebro en término de sus conexiones neuronales mediante la sinapsis

2.- Ser más inteligente.

Esto lo dice la Profesora Karol Dwek, profesora de psycología por la Universidad de Stanford, durante una entrevista para el curso online: How to learn math de la Universidad de Stanford, durante el tema Teaching for a Growth Minset.

De ésta forma, es importante ver que durante el proceso de aprendizaje individual, el cometer errores significa CRECER en INTELIGENCIA, más que verlo como por falta de capacidad del alumno o maestro, pues es en ese momento cuando, al lidear con el error, se generan más conexiones neuronales.

Metodología para resolver ecuaciones diferenciales separables

  1. La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

 

$ \large \frac{{dy}}{{dx}} = f (x, y)$

Ejemplo:

$ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$

Donde:

$ f (x, y) = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$

2. SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio visto en el artículo: Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden separable.

$ M {dx} = N {dy}$

Donde:

$ M = f (x)$  y $N = f (y)$

3. Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y ténicas conocidas del cálculo integral (Para referencia de cómo integrar funciones racionales dar click aquí)

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Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicios Resueltos

 

Ejemplo 1, Problema del Valor Inicial (PVI)

 

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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Modelos No lineales

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

EVAPORACION

Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales.

En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así
obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema. De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.

Metodología para modelado matemático de un sistema físico

Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:

1.- Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,

2.- Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combinalas de acuerdo al diagrama del sistema y obten un modelo matemático,

3.- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predecido – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.

(La validación de cualquier modelo matematico puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación).

Ecuaciones diferenciales aplicadas ejercicios resueltos

Modelo No lineal

EVAPORACION (Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20)

Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $ R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $ \pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema

Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $ k = 0.01$.

a) La rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $ t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $ h$ del agua al tiempo $ t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $ V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $ R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $ A = \pi r^2$ en terminos de $h$.

b) Resuelva la ecuacion diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.

c) Si no hubiera evaporacion, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?

d) Con evaporacion, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?

Solución

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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.

Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como

Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(…)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.

METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

-Forma estándar de la ED exactas

  • $ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$

-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)

  • $ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)

1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$

2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) = M (x, y)$

3. $ h (x) = \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$

4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)

$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$

Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS

El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.

Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.

Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.

 

EJEMPLO 1

$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} – 3 y^2) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

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Ecuacion Logistica modificada.

Ecuacion Logistica modificada.

Al terminar este arículo podrás identificar y resolver, con los mismos cuatro pasos mencionados en el artículo: Ecuaciones Diferenciales no Lineales, una de las variaciones más comunes de la ecuación logística, verás que dichos cuatro pasos, pueden ser aplicados a cualquier variación de una ED logística e identificarás el modelo logístico standar del modelo logístico modificado.

En matemáticas, como en cualquier situación de la vida cotidiana que se desea aprender, la mejor estrategia es entender el mismo concepto desde varias perspectivas para verlo como un todo, asegurandonos de que lo hemos comprendido y así, adquirir verdaderamente el conocimiento. De éste modo se pueden sentar bases sólidas para entender conceptos más profundos, como dice Scott Young, reconocido a nivel global como genio del aprendizaje acelerado en su curso Holístic Learning: “Lo llamo aprendizaje holístico porque te desafía a ver el aprendizaje como un todo, en vez de una lista de hechos memorizados. Las personas inteligentes tienden a hacer pocas distinciones entre las ramas del conocimiento y pueden facilmente realcionar un conjunto de conceptos con otros”, refiriendose a cómo ver el concepto de aprendizaje, en particular o en general cualquier conjunto de conocimientos.

ecuacion logistica modificada

Figura 1. Mujer de 25 años? mujer de mas de 70 años?

“Si entiendes algo en solo un sentido, entonces no lo entiendes para nada. El secreto de lo que significa cualquier cosa para nosotros, depende de cómo lo hemos conectado a todas las otras cosas que sabemos. Representaciones bien conectadas, te permite girar las ideas alrededor de tu mente para imaginar las cosas desde muchas perspectivas hasta que encuentras la que funciona para ti. Y eso es lo que significa pensar”.

Marvin Minsky

MODIFICACIONES DEL MODELO LOGíSTICO

El modelo logístico en ecuaciones diferenciales puede verse no solo como un modelo de crecimiento de población si no que también, con alguna modificación, estas ecuaciones pueden representar modelos de decrecimiento poblacional natural, crecimiento y/o decrecimiento por influencia externa, etc.

Ecuación Logística standar.

$\frac{dP}{dt}=P(r-\frac{r}{k}P)$

Ecuaciones Logisticas modificadas.

Si $ a = r$  y  $ b = -\frac{r}{k}$, tenemos:

  • Emigración humana o desabastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – h$, donde $ h$: es constante
  • Inmigración humana o abastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + h$, donde $ h$: es constante

Modelado de poblaciones con diferentes condiciones:

  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – cP$  cuando la Emigración depende de la población
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + ce^{-kP}$ cuando la Inmigración varía segun el tamaño de la población
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b ln \left( P \right) )$ Ecuación diferencial de Gompertz. Modela crecimiento o decrecimiento de tumores  y ciertas prediciones actuariales

TODAS las anteriores modificaciones a la ecuación logística pueden ser resueltas analíticamente con la metodo logía de 4 pasos presentada a continuación. =)

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA ESTÁNDAR O MODIFICADA

PASOS:

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