Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Ecuación Logística

Al terminar el siguiente artículo podrás resolver cualquier Ecuación Diferencial No lineal en su version de Ecuación Logística de manera ordenada y en solo 4 pasos. Además contarás con el código de MATHEMATICA para simularlas. =)

La técnica presentada para resolver la ecuación logística mediante pasos definidos (descrita más adelante), tiene el objetivo principal de acortar la curva de aprendizaje haciendo asequible el conocimiento repetitivo mediante el estructurar el mismo. Esto puede ser aprovechado por el estudiante o profesor novicio para dedicarse a obtener un CONOCIMIENTO PROFUNDO del tema al utilizar la técnica para INDAGAR en la APLICACIONES del mismo; como dice la Dra. Joe Boaler profesora de matematicas en la Universidad de Stanford: “Las matemáticas …, no se trata de respuestas correctas o equivocadas sin NTERPRETACIÓN, SIN oportunidad para la CREATIVIDAD…” (curso: How to learn Math, for students), refiriendose a la importancia de vincular las matemáticas con conceptos VISUALES o, mejor aún, conceptos de la vida real para encontrale un significado, poder interpretarlas, ENTENDERLAS y crear con ellas.

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 1. Conecciones entre los métodos para encontrar el volumen de una pirámide trunca y el áres de un trapezoide.

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA

PASOS:

  1. Escribir la Ecuación Logística separando sus variables en la ecuación. Es decir:
    1. Tenemos la ecuación logística general:

$ \frac{dP}{dt} = P \left( r – \frac{r}{K} P \right)$

O en su versión reducida:

$ \frac{dP}{dt} = P (a – b P)$

b. Escribimos la ED separando sus variables:

$ \frac{dP}{P \left( r – \frac{r}{K} P \right)} = {dt}$

II. Analizamos la función racional del primer miembro ($ \frac{p (x)}{q(x)} = {dt}$) e identificamos las integrales a resolver.

Para resolver un ED Logística, necesitamos recordar cómo INTEGRAR una función racional. Para este fin, describimos una secuencia de pasos a seguir que la desarrollamos en el artículo: Integración de Funciones Racionales; parte de ésta secuencia se utiliza para resolver las ED que ahora nos ocupan.

Análisis de la función racional para integrar ED Logísticas

  1. Sefactoriza el denominador de la función racional y se identifica qué tipo de integral es. Para éste caso las más comunes son:
    1. Integral del tipo logarítmica: $ \int \frac{dT}{T}$
    2. Integral por fracciones parciales, ejemplo: $ \int\frac{constante}{polinomio} = \int\frac{A_1}{factor_1} + \int \frac{A_2}{factor_2} + \ldots$
    3. Integral:
      • Arco Tangente: $ \int \frac{dT}{1 + T^2}$
      • Arco Tangente hiperbólica: $ \int \frac{dT}{1 – T^2}$
      • del tipo: $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2}$
    4. Una combinación de algunas y/o todas las integrales de los puntos anteriores al descomponer en fraciones mas simples (por ejemplo fracciones parciales).
    5. Por último, recordar que es posible encontrar una integral mas simple que las mencionadas al realizar la factorizacion del denominador de la funcion racional, por ejemplo, encontrar una integral de la forma: $ \int T^n dT$
  2. Este procedimiento es una guía ordenada para abordar este tipo de ED’s, sin embargo las integrales a resolver pueden ser de más tipos, por lo cual habrá que revisar las tablas de integración al toparnos con integrales diferentes a las acá mencionadas.

III. Resolvemos las integrales mediante la técnica e integración correspondiente al tipo de integral:

  1. $ \int \frac{dT}{T} = {Ln} | T | + C$
  2. Fracciones Parciales:
    1. Factores lineales en el denominador. Por cada factor lineal escribimos una fracción del tipo: $ \frac{A}{a x + b}$
    2. Factores cuadráticos en el denominador. Por cada factor cuadratico escribimos: $ \frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$

Nota: Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales para mayor detalle

    C.                 Integral:

  • $ \int \frac{dT}{1 + T^{2}} = {arcTan} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{1 – T^{2}} = {arcTanh} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^{2}} = \frac{1}{2 T} {Ln} \left|\frac{a + T}{a – T} \right| + C$,    $ | T | \neq a$   ó
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2} = \frac{1}{a} {arcTanh} \left(\frac{T}{a} \right) + C$,     $ | T | < a$

D.                Combinacion de las anteriores.

E.                $ \int T^n {dT} = \frac{T^{n + 1}}{n + 1} + C$

 IV. Resolvemos el PVI, mediante la sustitución de los valores iniciales en la función solución.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Ecuación Logística

Ejemplo 1. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

La cantidad $ N (t)$ de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales

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Metodo de Euler

MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

Metodo de Euler

Figura 1. Old People from Texas Eat Spiders

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)
\end{equation}
(1)
\begin{equation}
\LARGE x_{n + 1} = x_n + h
\end{equation}
(2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x – 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema Sigue leyendo

METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler para ecuaciones diferenciales y además podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso: Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

 

metodo de euler para ecuaciones diferenciales

Figura 1. Técnica: “El Palacio de la memoria”

De esta forma se tiene un esquema visual (croquis) donde se puede depositar los conceptos que se quieren recordar.

Así el ubicar los objetos de la lista en cada uno de los resintos de nuestro lugar físico familar y dar “un paseo”, nos ayudaría a recordar dicha lista; también es importante que los objetos depositados en el recinto tengan alguna exageración, como lo puede ser en su tamaño o forma.

Esta es otra técnica que se podría emplear para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n+1} =y_{n} +h f ( x_{n} ,y_{n} )
\end{equation}
\begin{equation}
\LARGE x_{n+1} =x_{n} +h
\end{equation}

Donde:

$ n=0,1,2,3, \ldots$

$ h=$ tamaño del incremento en $ x$

$ f ( x_{n} ,y_{n} ) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$

PROCEDIMIENTO:

  1. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro.
  2. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y’ =0.12 \sqrt{y} +0.4x^{2}$, $ y ( 2 ) =4$, $ y ( 2.5 )$, con $ h=0.5$, las variables buscadas son: $ x_{0} =2$, $ y_{0} =4$ y $ h=0.5$

      iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:

$ \large y_{0+ 1} =y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )$

Y una vez obtenido este primer resultado repitímos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:

$ \large y_{1+1} =y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )$

     iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=2.5$, como se ve el los datos del problema del inciso ii.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

En los problemas siguientes (3 y 4) use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero utilice $ h=0.1$ y después utilice $ h=0.05$. Determine una solución explicita para cada problema con valores iniciales y después construya tablas con los valores obtenidos.

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Ejemplo 1. Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)

$ \large y’ =y$,   $ y ( 0 ) =1$,  $ y ( 1.0 )$

Primer caso $ h=0.1$

Pasos:
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Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Leyendo todo el siguiente artículo aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.

Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.

Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su video-curso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas}}, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de $latex F= m * a$, con la siguiente imagen:

ecuaciones diferenciales de bernoulli

Figura 1. Flying Mule A… En ingles la relaciópn usada es: f=flying (volando); m=mule (mula); a=…(se deja a la imaginación)

Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo el anglisismo: Flying Mule Adept (en ingles) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: $f=m*a$

En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructurás mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli

I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:

$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $\frac{d y}{d x}$, es decir, si:

$y ( u ( x ) )$, entonces: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{du}{d x}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $\Rightarrow$ $y=u^{\frac{1}{1-n}}$).

III. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{d y}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )$

IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

Resolver la siguiente ecuación diferencial Sigue leyendo

Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden

Ecuacion diferencial homogenea de primer orden

Una vez que hayas finalizado la lectura de este artículo podrás resolver cualquier ecuación diferencial homogenea de primer orden, mediante un método eficaz y fácil de aplicar, con lo que rápidamente podrás resolver tus ejercicios.

Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el departamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo de recordar información si no también de comprenderla es realizando analogías y/o metáforas que relacionen la información que queremos aprender con conocimiento fácil de recordar para nosotros, por ejemplo cuando visualizamos la corriente eléctrica como flujo de agua.

O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizando sus propias letras.

Por este motivo, te propongo formular una analogía para recordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuación se describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial

El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuando veas una ED escrita de esta forma:

\begin{equation}
M ( x,y ) d x+N ( x,y ) d y=0
\end{equation}
(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de los exponentes para las variables de cada uno de sus términos sea la misma; es decir, supongamos que $ M=-C x^{r} y^{s} -B x^{p} y^{q}$ y $N=Ax^{m} y^{n}$, entonces (1) se transforma en:

\begin{equation}
– ( C x^{r} y^{s} +B x^{p} y^{q} ) d x+A x^{m} y^{n} d y=0
\end{equation}
(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también.

De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cada termino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

$ \large r+s=p+q=m+n=K$

Entonces la Ecuación Diferencial es homogénea.

Ver un ejemplo en este enlace: click aquí.

Ver un desarrollo mas detallado del criterio de homogeneidad en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden.

Metodología utilizada. Cómo resolver una ED homogénea de primer orden en 4 pasos.

Para resolver ED homogéneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, que describimos a continuación:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$ o $ \frac{d x}{d y} =f ( y,x )$

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la
convierta en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f \left( \frac{y}{x} \right)$ o $ \frac{d x}{d y} =f\left( \frac{x}{y} \right)$

2. Seleccionamos la sustitución adecuada:

$ u= \frac{y}{x}$ o $ v= \frac{x}{y}$

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

$ x \frac{d u}{d x} =F ( u ) -u$  o  $ y \frac{d v}{d x} =F ( v ) -v$

4. Integramos e inmediatamente después de aplicar la formula de integración regresamos a las variables originales.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

$ \large 2x y \frac{d y}{d x} =4x^{2} +3y^{2}$

Solución

Paso 1. Determinamos homogeneidad Sigue leyendo