Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos. Circuito RC en Serie

Circuito RC en serie. Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos.

Aplicación de una Ecuación Diferencial a un circuito RC eléctrico conectado en serie

Leyendo éste artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico tipo RC conectado en serie (circuito RC en serie), y resolverás, utilizando un método paso a paso, el circuito RC, para encontrar sus variables de corriente $ i ( t)$ y carga $ q ( t)$.  Además de entender cómo realizar el análisis de un circuito eléctrico de este tipo. Utilizaremos de nuevo la misma metodología del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos, que consta de los siguientes 3 pasos.

 

  • Modelaremos el Circuito Electrico con Ecuaciones Diferenciales
  • Solucionaremos la Ecuacion Diferencial resultante
  • Graficaremos la corriente encontrada.

Para el Modelado de éste Circuito Eléctrico, utilizaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo RC

Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos el método de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.

Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.

Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo RC con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.

Para esto resolveremos un ejercicio.

Ejercicio resuelto: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma, (Problema 31).

Circuito rc en serie

PROBLEMA

Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de $ 10^{-4}$ farads. Determine la carga $ q ( t)$ del capacitor, si $ q ( 0) = 0$. Encuentre la corriente $ i ( t)$. El circuito esta descrito en la Figura 1.

circuito rc en serie

Figura 1. Circuito Eléctrico tipo RC conectado en serie

Circuito rc en serie. Modelado del Circuito Eléctrico tipo RC en serie con Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR

En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR, y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos.

Utilizaremos la siguiente Metodología.

  • Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
  • Solución de la Ecuación Diferencial resultante
  • Graficación de la corriente encontrada.

Para el Modelado del Circuito Eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo LR.

Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.

Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.

Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LR con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.

Para esto resolveremos un ejercicio.

Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma,(Problema 29).

PROBLEMA

Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente $ i(t)$, si $ i(0) = 0$. Determine la corriente conforme $ t\rightarrow 0$.
El circuito esta descrito en la Figura 1. Sigue leyendo

Programa para simular circuitos electricos y MATHEMATICA

Programa para simular circuitos electricos. Software de simulación:  MATHEMATICA. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos

En este artículo aprenderás a aplicar y simular una Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico RLC conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA.

Con esto podrás comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos eléctricos RLC en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.

El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 2º orden no homogénea de coeficientes constantes, así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos RLC simples conectados en serie.

El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.

Comenzamos retomando el ejemplo visto en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, el cual es descrito en la Figura 1.

programa para simular circuitos electricos

Figura 1. Circuito Eléctrico RLC conectado en serie.

 

El código en MATHEMATICA paso a paso es:

Datos:

Clear["Global`*"]
es = 110 (*Volts*)
frec = 60 (*Hertz*)
velAngular = Round[2*Pi*frec, 1] // N;
volE[t_] = es*Sin[velAngular t];
capac = 500 *10^-6(*micro faradios*)// N
lind = 100 *10^-3(*mH*)// N
resist = 50(*ohms*)// N

Luego modelamos el circuito según Kirchoff (ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales), el cual nos da una Ecuación Diferencial Lineal de 2º orden no homogénea:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)
\end{equation}
(1)

La cual modelamos en MATHEMATICA como sigue: Sigue leyendo

Circuito Electrico mixto y las ecuaciones diferenciales

Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Circuitos Eléctricos RLC en serie

En el siguiente artículo aprenderás mediante un ejemplo cómo se resuelve un circuito electrico mixto o circuito electrico RLC utilizando ecuaciones diferenciales y conocerás la relación entre los componentes del circuito y su representación como cantidades diferenciales que cambian con el tiempo.

Para desarrollar este ejemplo partiremos de la configuración básica para un circuito RLC, que es cuando sus componentes están conectados en serie, como lo muestra la Figura 1.

circuito electrico mixto

Figura 1. Circuito RLC conectado en serie

Donde, los elementos mostrados son:

  1. Un resistor con una resistencia $ R$ ohms
  2. Un inductor con una inductancia de $ L$ henries,
  3. Un capacitor con una capacitancia de $ C$ faradios,
  4. Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje $ E(t) $de $ 110$ V
  5. a $ 60$ Hz, en el tiempo $ t$.

De acuerdo con los principios elementales de electricidad, las caídas de voltaje a través de los elementos del circuito son las que se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Tabla de simbología, representación matemática de las caídas de voltaje y valores mostrados en la Figura 1.
Elementos del circuitoSímboloCaída de Voltaje(representación diferencial)Valores
Inductor$ L$$ L\frac{dI}{dt}$$ 100$ mH
Resistor$ R$$ RI$$ 50$ Ω
Capacitor$ C$$ \frac{1}{C}Q$$ 500$ μF
Fuente de corriente alterna$ E(t)$Voltaje suministrado en el tiempo $ t$$ 110$ V a 60Hz

Estas expresiones, para las caídas de voltaje, derivadas de la física, provienen de conclusiones experimentales, que han llevado a las siguientes definiciones:

Caídas de Voltaje. Circuito electrico mixto

  1. Resistencia. La caída de voltaje a través de una resistencia ($ R$) es proporcional a la corriente que pasa a través de ésta, es decir: $ E(t) \alpha I$ ó $ E(t) =R I$ (Ley de Ohm). Donde $ R$ es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o simplemente resistencia.
  2. Inductor. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente, es decir: $ E(t) \alpha\frac{d{I}}{d{t}}$ ó $ E(t) = L \frac{d{I}}{d{t}}$. Donde $ L$ es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductáncia o simplemente inductor.
  3. Capacitor (condensador). La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador: $ E(t) \alpha Q$ ó $ E(t) =\frac{{Q}}{C}$. Donde $ \frac{1}{C}$ es la constante de proporcionalidad y $ C$ es la capacitancia del capacitor o inductor.

Estas definiciones se pueden entender mejor si guardamos en mente que una resistencia disipa una parte de corriente como calor, un inductor se opone a los cambios de corriente por el efecto del campo magnético que genera alrededor de sí que a su vez le autoinduce una tensión, un capacitor (condensador), es un elemento que almacena energía.

La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie.

Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de $ E(t)$ en el tiempo $x t$, como lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto provoca una corriente $ I(t)$ en amperes en el circuito y una carga $ Q(t)$ en coulombs en el capacitor en el tiempo $ t$. La relación entre las funciones $ I$ y $ Q$ es:

\begin{equation}
\frac{dQ}{dt} = I(t)
\end{equation}
(1)

Es decir:

La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por unidad de tiempo que recorre un material.

Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se obtienen de la experimentación. Las unidades utilizadas para esta ecuación pertenecen al sistema $ mks$, por lo que la unidad de tiempo es el segundo(s).

Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1, utilizamos una de las leyes de Kirchoff -la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos.

Ley de Kirchoff (mallas)

La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.

Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico mixto RLC

De modo que, sumando las caídas de voltaje (ver Tabla 1) e igualándolas al voltaje de la fuente de corriente alterna, tenemos:

\begin{equation}
L \frac{d\mathbf{I}}{d{t}} +{R}{I}+ \frac{1}{C}
\mathbf{Q}= E ( t)
\end{equation}
(2)

Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una función como incógnita (digamos $ Q$), obtenemos:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {Q}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{Q}}{d{t}} + \frac{1}{C} {Q}= E ( t)
\end{equation}
(3)

Con lo que tenemos una expresión consistente para el circuito RLC conectado en serie como el mostrado en la Figura 1.

Ahora, si derivamos la ecuación (3) en ambos lados, sustituyendo $ {I}$ por $ {Q}’$ obtenemos:

\begin{eqnarray*}
L \frac{d^2{I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} \ast\frac{d}{d{t}} \int {I}d{t} & = & E’ ( t)
\end{eqnarray*}

ya que:

\begin{eqnarray*}
\frac{d{Q}}{d{t}} & = & {I} ( t)\\\\
\int d{Q} & = & \int {I} ( t) d{t}\\\\
{Q} & = & \int {I} ( t) d{t}
\end{eqnarray*}

Es decir:

\begin{equation}
L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)
\end{equation}
(4)

De esta forma tenemos las ecuaciones (3) y (4), para resolver nuestro problema ejemplo, que a continuación describo.

Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Aplicaciones.

Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden

Ejemplo:

Considere un circuito RLC con $ R = 50 {ohms} ({\Omega})$, $ L =0.1 {henry} ( H)$ y $ C = 5 \times 10^{- 4} {farad} ( F)$. En el tiempo $ t=0$, cuando tanto $ {I}(0)$ como $ {Q}(0)$ son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de $ 110 {Volts}, 60 {Hz}$. Encuéntrese la corriente en el circuito.

Solución:

Para resolver este problema recordemos lo siguiente:

El caso típico el voltaje de corriente alterna, se representa como:

\begin{equation}
E(t) = E_0 {sen} {\omega}{t}
\end{equation}
(5)

Donde, $ E_0$es el voltaje inicial (en el tiempo 0).

Solución de una ecuación diferencial lineal NO homogénea de 2º orden

La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de 2º orden, se compone de la suma de la solución de su sistema homogéneo asociado mas una solución particular, es decir la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$ \Large {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$

Donde $ {a}_2$, $latex {a}_1$, $latex {a}_0$, son constantes.

Tiene la forma:

$ \large y = y_c + y_p$

Donde:

$ y$: solución general

$ y_c :$ es la solución complementaria o solución del sistema homogéneo asociado: $ {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = 0$

$ y_p$: es una solución particular o solución del sistema no homogéneo:
$ {a}_2 y” +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$

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En circuitos eléctricos dicha solución tiene un significado físico por lo que para un circuito RLC respresentado por la ecuación diferencial de 2º orden (4): $ L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)$, la solución está compuesta por: Sigue leyendo