Como Hallar la Solución del PVI con una Ecuación Diferencial (ED) Definida en partes

Como hallar solución del pvi ed Definida en partes

Solución de un Problema con Valores Iniciales (PVI), de una Ecuación Diferencial (ED) definida en partes (a trozos).

Ahora, aprenderemos a resolver una Ecuación Diferencial lineal por partes con la variante de que analizaremos y entenderemos qué significa gráficamente la función , que es el coeficiente de la función de estado , que la ED posee como segundo término del lado izquierdo de la ecuación*.

Utilizaremos los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad para hallar la solución de una ED lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES.

El Ejercicio:

a)      $y’+P(x)y=4x$,             $y\left( 0 \right)=3$,

$\LARGE P(x)=\left\{\begin{matrix}2,0\leq x\leq 1\\ -\frac{2}{x},x>1\end{matrix}\right.$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 35).

Empezamos con $P\left( x \right)=2~~~y~~~f\left( x \right)=4x$
$y’+2y=4x$
Pasos:
I.                    Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada $P(x)$.

$\frac{dy}{dx}+2y=4x$

II.                  Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2$.

${{e}^{\mathop{\int }^{}2dx}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}$

$={{e}^{2x}}$

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace:  Solución del sistema homogéneo asociado.

$\frac{dy}{dx}+2y=0$

${{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}$

$={{C}_{1}}{{e}^{-2x}}$

$=\frac{{{C}_{1}}}{{{e}^{2x}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{2x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

$\frac{dy}{dx}+2y=4x$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(4x)dx$

${{y}_{p1}}=\frac{4}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{2x}}dx$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$u=x$                          $dv={{e}^{2x}}dx$

$du=dx$     $v=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}$

$~\mathop{\int }^{}x{{e}^{2x}}dx=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx$

$=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx$

$=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Por tanto:

${{y}_{p1}}=\frac{4}{{{e}^{2x}}}[\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}]$

${{y}_{p1}}=2x-1$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo:
$\frac{dy}{dx}+2y=4x$, donde su función de entrada es igual a: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=4\mathbf{x}$, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{1}}}{{{e}^{2x}}}+2x-1$

Ahora encontraremos la solución general para el coeficiente P(x)=$ -\frac{2}{x}$ y $f\left( x \right)=4x$

Procedemos igual que en el caso anterior. Es decir, si tenemos:

$y’-\frac{2}{x}y=4x$

I. Forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}=4x$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Es el mismo que el anterior:

${{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-2\ln \left| x \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{-2}}}}={{x}^{-2}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c2}}={{C}_{2}}{{e}^{(-)-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{C}_{2}}{{e}^{2\ln \left| x \right|}}={{C}_{2}}{{x}^{2}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Acá es donde varían un poco los cálculos, como sigue:

${{y}_{p2}}=\frac{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{{{x}^{2}}}(4x)dx$

${{y}_{p2}}={{x}^{2}}\mathop{\int }^{}\frac{4}{x}dx$

${{y}_{p2}}=4{{x}^{2}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx$

${{y}_{p1}}=4{{x}^{2}}\ln |x|$

Donde su solución general es:

${{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{2}}{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}\ln |x|$

Una vez obtenidas las dos soluciones generales, vamos a encontrar las soluciones particulares para resolver el problema de valores iniciales que nos piden.

Para este propósito, NECESITAMOS seleccionar primero la parte de la función $P(x)$ que contiene los valores iniciales, es decir, seleccionamos:

$\frac{dy}{dx}+2y=4x$

Ya que cuando: $P\left( x \right)=2$, la función está definida en $0\le x\le 1$donde podemos encontrar incluidos los valores iniciales ($y\left( 0 \right)=3$) se encuentran dentro de su dominio, como lo podemos ver en:

$\LARGE P(x)=\left\{\begin{matrix}2,0\leq x\leq 1\\ …\end{matrix}\right.$

De modo que encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $y\left( 0 \right)=3$.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes. Sigue leyendo