Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Leyendo todo el siguiente artículo aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.

Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.

Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su video-curso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas}}, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de $latex F= m * a$, con la siguiente imagen:

ecuaciones diferenciales de bernoulli

Figura 1. Flying Mule A… En ingles la relaciópn usada es: f=flying (volando); m=mule (mula); a=…(se deja a la imaginación)

Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo el anglisismo: Flying Mule Adept (en ingles) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: $f=m*a$

En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructurás mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli

I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:

$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $\frac{d y}{d x}$, es decir, si:

$y ( u ( x ) )$, entonces: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{du}{d x}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $\Rightarrow$ $y=u^{\frac{1}{1-n}}$).

III. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{d y}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )$

IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

Resolver la siguiente ecuación diferencial Sigue leyendo

Factores Integrantes

En este artículo aprenderás a obtener con facilidad los factores integrantes para diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales (EDO’s lineales 1er orden, EDO’s de Bernoulli, EDO’s no exactas hechas exactas), utilizando álgebra para deducir dichos factores, así como las leyes de derivación e integración.

Además, podrás comparar estos resultados con los obtenidos mediante los métodos de 4 pasos que utilizamos en este blog para que entiendas los conceptos más a fondo (Ver el Ejemplo 1).

Según el Dr. Torben K. Jensen, del Center for Learning and Educacation en la University of Aarhus en Dinamarca, dice que la mejor forma de aprender es construir nueva información sobre la vieja información ya adquirida y afianzada (Ver: Video: Teaching Teaching & Understanding Understanding en youtube);  por esta razón compararemos los dos procedimientos utilizados en este blog para resolver el mismo tipo de ecuación; es decir, utilizaremos los métodos de 4 pasos y los deducidos acá para construir un puente de conocimiento que nos permita crear conexiones cerebrales y afianzar el conocimiento, además de poder comprender más a fondo los temas desarrollados.

Metodología Utilizada

En cada Ejercicio:

– Determinaremos el tipo de Ecuación Diferencial que se nos presenta para resolver

– Escribiremos la estrategia específica que nos permita convertir en lineal o exacta la ED a solucionar.

– Encontraremos el factor integrante para dicha ecuación

– Resolvemos la ED mediante un método mas intuitivo y diferente al de los 4 pasos utilizados en este blog:

i. Para las ED lineales de primer orden:

Utilizaremos la regla de derivación del producto: $d ( {uv} ) ={udv} + {vdu}$, junto con el Factor Integrante encontrado, para hallar la función solución de la ED. Una explicacion del porque de esta técnica se puede ver en el siguiente link: Click aquí.

ii. Para las ED exactas:

Utilizaremos la forma estándar de la ecuación:

\begin{equation}
M ( x,y ) d x+N ( x,y ) d y=0
\end{equation}
(1)

y el hecho de que un Factor Integrante $\mu$ al ser multiplicado por la ED de la forma de (1) la convierte en una ED exacta si cumple con el criterio de exactitud:

$\frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Utilizaremos la comparación de los dos métodos (el visto en este artículo y el de los 4 pasos) en el Ejemplo 1 de los ejercicios desarrollados, para la comprensión más profunda de los temas.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA OBTENCIÓN DE FACTORES INTEGRANTES

Ejemplo 1. Resolver la ED siguiente (ED lineal del 1er orden)

\begin{equation}
\frac{d y}{d x} +y=2+2x
\end{equation}
(2)

Tipo de Ecuación Diferencial

La ecuación de arriba concuerda con la forma estándar de una ED lineal de primer orden, la cual es:

$\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )$

Estrategia de Solución

Encontraremos el factor integrante y utilizaremos la regla del producto, para integrar parte de la ecuación directamene (lado izquierdo), mediante el adecuar la ecuación a la forma de la regla del producto usando el factor integrante. Compararemos esta técnica con la de los 4 pasos.

Factor Integrante (FI)

Sabemos, de acuerdo a lo desarrollado en el artículo: Cómo resolver ecuaciones diferenciales con el método del factor integrante, que el factor integrante para una ED lineal de primer orden es:

$e^{\int P ( x ) d x}$

De modo que sustituyendo los valores de (2), en la expresión anterior, obtenemos el factor integrante buscado, es decir:

$e^{\int P ( x ) d x} =e^{\int d x} =e^{x}$,

De modo que el FI es:
$\large e^{x} $

donde:

$P ( x ) =1$

Resolvemos la ED Sigue leyendo