Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Marcapasos de Corazón

Marcapasos de Corazón

Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Difernciales Ordinarias

Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.

 

Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinamicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos utiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.

Katsuhiko Ogata

Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden

Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente: Sigue leyendo

Cómo Resolver un Problema del Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales definidas por partes

Cómo resolver un Problema del Valor Inicia (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED) definida en partes (a trozos).

Con este ejercicio, aprenderemos a resolver una Ecuación Diferencial por partes y entenderemos qué significa gráficamente la función  o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA*.

Resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES.

El Ejercicio:

a)      $(1+{{x}^{2}})\frac{dy}{dx}+2xy=f(x)$,           $y\left( 0 \right)=0$,

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x<1\\ -x,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Problema del valor inicial ecuaciones diferenciales

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 34)

Empezamos con $f\left( x \right)=x$:

$(1+{{x}^{2}})\frac{dy}{dx}+2xy=x$

Pasos:

I.                    Forma estándar de la ED a resolver:$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada $f(x)$.

$\frac{dy}{dx}+\frac{2xy}{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{1+{{x}^{2}}}$

II.                  Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}$.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}}={{e}^{\ln \left| 1+{{x}^{2}} \right|}}$

$=1+{{\text{x}}^{2}}$

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$\frac{dy}{dx}+\frac{2xy}{1+{{x}^{2}}}=0$

${{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}}$

$={{C}_{1}}{{e}^{-\ln \left| 1+{{x}^{2}} \right|}}$

$={{C}_{1}}{{e}^{\ln {{\left| 1+{{x}^{2}} \right|}^{-1}}}}$

$={{C}_{1}}{{(1+{{\text{x}}^{2}})}^{-1}}$

$=\frac{{{C}_{1}}}{1+{{x}^{2}}}$

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=1+{{\text{x}}^{2}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{x}{1+{{x}^{2}}}$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

$\frac{dy}{dx}+\frac{2xy}{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{1+{{x}^{2}}}$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{1+{{\text{x}}^{2}}}\mathop{\int }^{}(1+{{\text{x}}^{2}})(\frac{x}{1+{{x}^{2}}})dx$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{1+{{\text{x}}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}[{{x}^{2}}]$

${{y}_{p1}}=\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+\frac{2xy}{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{1+{{x}^{2}}}$, donde su función de entrada es igual a: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}$, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{1}}}{1+{{x}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Ahora encontraremos la solución general para la función de entrada $f\left( x \right)=-x$

Procedemos igual que en el caso anterior. Es decir, si tenemos:

$\left( 1+{{x}^{2}} \right)\frac{dy}{dx}+2xy=-x$

I. Forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+\frac{2xy}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-x}{1+{{x}^{2}}}$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Es el mismo que el anterior:

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}}={{e}^{\ln \left| 1+{{x}^{2}} \right|}}=1+{{\text{x}}^{2}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c2}}={{y}_{c1}}={{C}_{2}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}}=\frac{{{C}_{2}}}{1+{{x}^{2}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Acá es donde varían un poco los cálculos, como sigue:

${{y}_{p2}}=\frac{1}{1+{{\text{x}}^{2}}}\mathop{\int }^{}1+{{\text{x}}^{2}}(\frac{-x}{1+{{x}^{2}}})dx$

${{y}_{p2}}=\frac{1}{1+{{\text{x}}^{2}}}\mathop{\int }^{}-xdx$

${{y}_{p2}}=-\frac{1}{1+{{\text{x}}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx$

${{y}_{p1}}=-\frac{1}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}[{{x}^{2}}]$

${{y}_{p2}}=-\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Donde su solución general es:

${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{2}}}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Una vez obtenidas las dos soluciones generales, vamos a encontrar las soluciones particulares para resolver el problema de valores iniciales que nos piden.

Para este propósito, NECESITAMOS seleccionar primero la función de entrada que contiene los valores iniciales, es decir, seleccionamos:

$\frac{dy}{dx}+2xy=x$

Ya que cuando la función de entrada es: $f\left( x \right)=x$, los valores iniciales ($y\left( 0 \right)=0$) se encuentran dentro de su dominio, como lo podemos ver en:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x<1\\ …\end{matrix}\right.$

De modo que encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $y\left( 0 \right)=0$.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Problema del valor inicial ecuaciones diferenciales

Primero evaluamos cuando $f\left( x \right)=x$

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

Los valores iniciales, son:

$x=0;y=0$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo, cuando $f\left( x \right)=x$, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{1}}}{1+{{x}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales $y\left( 0 \right)=0$

Tenemos:

$0=\frac{{{C}_{1}}}{1+{{(0)}^{2}}}+\frac{{{(0)}^{2}}}{2(1+{{(0)}^{2}})}$

$\Rightarrow 0=\frac{C}{1}$

$\Rightarrow C=0$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

Ahora evaluamos cuando $f\left( x \right)=-x$

Ahora, para conocer la solución particular de la Función de Salida anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: $f\left( x \right)=-x$, no está definida para cuando: $x=0$, según podemos ver en la definición de la función de entrada, definida por partes:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}…\\ -x,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Por lo que para evaluar esta función, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Problema del valor inicial ecuaciones diferenciales

Tal es el caso en esta ocasión pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene $\text{f}\left( \text{x} \right)=0$, el dominio de su variable independiente es: $\text{x}\ge 1$,

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x<1\\ -x,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Por lo que no podemos considerar sustituir $x=0$, en la solución general obtenida:
${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{2}}}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$, $x\ge 1$
Para esta situación, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD.
TEOREMA. Continuidad: “El límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda”.
Es decir, para este caso:
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y(x)$,
Donde:
$\exists =$ Existe
Con este teorema encontraremos el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es:
$\text{f}\left( \text{x} \right)=-x$, suponiendo que el límite existe.
Entonces:
El límite por la izquierda:
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}=\frac{{{(1)}^{2}}}{2(1+{{(1)}^{2}})}=\frac{1}{4}$,
cuando:
$0\le x<1$
Y el límite por la derecha:
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{C}_{2}}}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}=\frac{{{C}_{2}}}{1+{{(1)}^{2}}}-\frac{{{\left( 1 \right)}^{2}}}{2\left( 1+{{\left( 1 \right)}^{2}} \right)}=\frac{C}{2}-\frac{1}{4}$,
cuando:
$x\ge 1$

Con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$\frac{1}{4}=\frac{{{C}_{2}}}{2}-\frac{1}{4}$,

Esto implica:

$\frac{{{C}_{2}}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$,

${{C}_{2}}=2\left( \frac{2}{4} \right)=1$

Por tanto:

${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$

De donde, la solución del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales, es:

$\LARGE y(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})},0\leq x<1\\ \frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})},x\geq 1\end{matrix}\right.$

Simplificando más, podemos ver que el resultado anterior es lo mismo que:
$\LARGE y(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+x^{2})},0\leq x<1\\ -\frac{1}{2}-\frac{3}{2(1+x^{2})},x\geq 1\end{matrix}\right.$

Porque:

$\frac{{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}=\frac{-1+1+{{x}^{2}}}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}=\frac{-1+(1+{{x}^{2}})}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}=-\frac{1}{2\left( 1+{{\text{x}}^{2}} \right)}+\frac{1}{2}$,

para el primer caso y

$\frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2\left( 1+{{\text{x}}^{2}} \right)}=\frac{2-{{x}^{2}}}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=\frac{3-1-{{x}^{2}}}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=\frac{3-\left( 1+{{x}^{2}} \right)}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=\frac{3}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}-\frac{1}{2}$,

para el 2º caso.

Este resultado es válido, aparentemente al haber empleado la definición de Continuidad, sin embargo, habrá que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no es válido el resultado por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. En este caso no es así, puesto que para un mismo punto (punto $x=1$), tenemos dos funciones.Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

problema del valor inicial ecuaciones diferenciales

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

problema del valor inicial ecuaciones diferenciales

En esta gráfica podemos ver que en el punto $x=1$, la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad, es decir:

Derivando el lado derecho de la función de salida y el lado izquierdo.

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$    $\Rightarrow y_{1}^{‘}\left( x \right)=0+\frac{x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}\Rightarrow \frac{x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}$         y

${{y}_{2}}\left( x \right)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2(1+{{\text{x}}^{2}})}$   $\Rightarrow y_{2}^{‘}\left( x \right)=0-\frac{3x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}\Rightarrow -\frac{3x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}$

E igualando los resultados, tenemos:

$\frac{x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}=-\frac{3x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}$,

$x=-3x$

Por lo que al no obtener una identidad, la ecuación no es diferenciable en $x=1$.

Practica los ejercicios utilizando la técnica adecuada, para esto te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

Ver mas ejemplos? probl 32probl 33

Quiero saber como expresar mi resultado usando la Función Error (Dale Click aquí)

Quiero aprender a simular mis Ecuaciones Diferenciales con un Software de Computadora (Dale Click)

Te ha servido el artículo? contáctame para cualquier sugerencia o duda en el siguiente link: contacto

Mientras tanto lee mi artículo: La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales. Seguramente te facilitará tus estudios y te hará mas fácil la vida. 😉

Problema del Valor Inicial, (PVI), con una ED definida a trozos

Problema del Valor Inicial

Ecuación diferencial lineal definida a trozos (por partes)

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente la función  o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo resolver un Problema con Valores Iniciales (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED), de estas características.

Resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

a)      $\Large \frac{dy}{dx}+y=f(x)$,             $\Large y\left( 0 \right)=1$,

$\LARGE \ f(x)=\left\{\begin{matrix}1; 0\leq x\leq 1\\-1; x> 1 \end{matrix}\right.$

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace).

Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos, ejercicio 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 32).

Empezamos con $f\left( x \right)=1$:

Pasos:

I. Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada $f(x)$.

$\frac{dy}{dx}+y=1$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

${{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$

El valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=1$.

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=1$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$\frac{dy}{dx}+y=0$

${{y}_{c1}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}dx}}$

$=C{{e}^{-x}}$

$=\frac{C}{{{e}^{x}}}$

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=1$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

$\frac{dy}{dx}+y=1$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}(1)dx$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx$

${{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}[{{e}^{x}}]$

${{y}_{p1}}=1$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+y=1$, donde su función de entrada es igual a: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1$, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}+1$

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $y\left( 0 \right)=1$.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con $f\left( x \right)=1$, está definida para el intervalo  $0\le x\le 1$, que incluye a $x=0$.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Primero evaluamos cuando $f\left( x \right)=1$

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$x=0;~~~~~~y=1$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}+1$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
${{y}_{1}}\left( 0 \right)=1$

Tenemos:

$1=\frac{C}{{{e}^{(0)}}}+1$

$\Rightarrow 1=\frac{C}{1}+1$

$\Rightarrow 1-1=C$

$\Rightarrow C=0$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=1$

Ahora, resolvemos cuando $f\left( x \right)=-1$

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando $f\left( x \right)=-1$ , por lo que tenemos que resolver:

 $\frac{dy}{dx}+y=-1$,

Seguimos los mismos 4 pasos, de siempre, los pasos II y III, son idénticos al ejercicio previo:

I. Forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+y=-1$,

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$$P\left( x \right)=1$

${{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{c1}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}dx}}=C{{e}^{-x}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

${{y}_{p2}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}(-1)dx$

${{y}_{p2}}=\frac{-1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx$

${{y}_{p2}}=\frac{-1}{{{e}^{x}}}[{{e}^{x}}]$

${{y}_{p2}}=-1$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+y=1$, donde su función de entrada es igual a: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1$, es:

${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1$

Ahora evaluamos cuando $f\left( x \right)=-1$

Ahora, para conocer la solución particular de la solución general anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: $f\left( x \right)=-1$, no está definida para cuando: $x=0$, por lo que para evaluar esta función, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes,donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene $\text{f}\left( \text{x} \right)=-1$, el dominio de su variable independiente es: $\text{x}>1$,

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}1;0\leq x\leq 1\\-1;x> 1\end{matrix}\right. $

Por lo que no podemos considerar sustituir $x=0$, en la Función de Salida obtenida:

${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1$,       $x>1$

Para esta situación, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD.

TEOREMA. Continuidad: “El límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda”. Es decir, para este caso:

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y(x)$, Donde: $\exists =$ Existe

Con este teorema encontraremos el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es: $\text{f}\left( \text{x} \right)=-1$, suponiendo que el límite existe. Entonces:

El límite por la izquierda:

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,1=1$, cuando:  $0\le x\le 1$

Y el límite por la derecha:

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{C}{{{e}^{x}}}-1=\frac{C}{{{e}^{(1)}}}-1=\frac{C}{\text{e}}-1$, cuando:  $x>3$

Con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$1=\frac{C}{e}-1$

Esto implica:

$\frac{C}{e}=1+1$,

$C=2e$

Por tanto:

${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{x}}}-1=\frac{2e}{{{e}^{x}}}-1=2{{e}^{1-x}}-1$

De donde, la solución del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales, es:

$\LARGE \ f(x)=\left\{\begin{matrix}1;0\leq x\leq 1\\2e^{1-x}-1;x> 1\end{matrix}\right.$

Este resultado es válido, aparentemente al haber empleado la definición de Continuidad, sin embargo, habrá que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no es válido el resultado por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. En este caso no es así, puesto que para un mismo punto (punto $x=1$), tenemos dos funciones.

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

Problema del Valor Inicial

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

Problema del Valor Inicial

En esta gráfica podemos ver que en el punto $x=1$, la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad, es decir:

Derivando el lado derecho de la función de salida y el lado izquierdo:

${{y}_{1}}\left( x \right)=1$  y

${{y}_{2}}\left( x \right)=2{{e}^{1-x}}-1$,

E igualando los resultados, tenemos:

$0=-2{{e}^{1-x}}$,

Por lo que al no obtener una identidad, la ecuación no es diferenciable en $x=1$.

Practica los ejercicios utilizando la técnica adecuada, para esto te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

Necesitas mas ejemplos: ver el prob 31, prob 33prob 34

Quiero saber como expresar mi resultado usando la Función Error (Dale Click aquí)

Quiero aprender a simular mis Ecuaciones Diferenciales con un Software de Computadora (Dale Click)

Te ha servido el artículo? contáctame para cualquier sugerencia o duda en el siguiente link: contacto

Mientras te dejo con mi artículo: La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales. Seguramente te facilitará tus estudios y te hará mas fácil la vida. 😉