Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Marcapasos de Corazón

Marcapasos de Corazón

Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Difernciales Ordinarias

Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.

 

Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinamicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos utiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.

Katsuhiko Ogata

Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden

Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente: Sigue leyendo

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos. Libro: Dennis G. Zill 7ª Ed. Capítulo 2.3 (1-5)

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos.

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos. El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tratar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de Ecuaciones Diferenciales lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante (en 4 pasos, da click aquí)

  1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$

3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 1 al 5)

a)      $ \frac{dy}{dx}=5y$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-5y=0$
  2. $ {{e}^{-5\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{-5x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{5\mathop{\int }^{}dx}}=C{{e}^{5x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-5x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-5x}}\left( 0 \right)dx=0$

$ y=C{{e}^{5x}}+0=C{{e}^{5x}}$


b)      $ \frac{dy}{dx}+2y=0$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2y=0$
  2. $ {{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2x}}$
  4. $ \mathop{y}_{p}=\frac{1}{\mathop{e}^{2x}}\int{\mathop{e}^{2x}}(0)=0$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-2x}}+0=C{{e}^{-2x}}$


c)       $ \frac{dy}{dx}+y={{e}^{3x}}$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+y={{e}^{3x}}$
  2. $ {{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}{{e}^{3x}}dx$

$ =\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{4x}}dx$

$ =\frac{1}{4{{e}^{x}}}{{e}^{4x}}dx$

$ =\frac{1}{4}{{e}^{3x}}dx$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-x}}+\frac{1}{4}{{e}^{3x}}dx$


d)    $ 3\frac{dy}{dx}+12y=4$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}$
  2. $ {{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{4x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{4x}}(\frac{4}{3})dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{4x}}}\mathop{\int}^{}{{e}^{4x}}(4)dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{4x}}}{{e}^{4x}}=\frac{1}{3}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-4x}}+\frac{1}{3}$


e)      $ {{y}^{‘}}+3{{x}^{2}}y={{x}^{2}}$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+3{{x}^{2}}y={{x}^{2}}$
  2. $ {{e}^{3\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx}}={{e}^{{{x}^{3}}}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{3}}}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{3}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{3}}}}\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ =\frac{1}{{{e}^{{{x}^{3}}}}}\frac{1}{3}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{3}}}}(3)\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{{{x}^{3}}}}}{{e}^{{{x}^{3}}}}=\frac{1}{3}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-{{x}^{3}}}}+\frac{1}{3}$

El código de MATHEMATICA para resolver y graficar éste último ejercicio se muestra en la Figura 1.

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos

¿Cómo cerciorarme de que mis ejercicios resueltos son correctos?

No te preocupes, con esta herramienta que habilité para tí lo podrás hacer y al mismo tiempo aprenderás a simular tu Ecuaciones Diferenciales, como vez? ;). Sigue los pasos que acontinuación enumero:

1- Para esto te invito a que escribas tu código en cualquiera de los siguientes lenguajes: SAGE, Octave, Maxima o Python en la página “Haz tu Simulación“, dandole click aquí.

2- Para ir aprendiendo a teclear el código en SAGE descarga los ejercicios resueltos que están en esta liga “Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos

3 – Aprende haciendo y disfruta.

Cómo aprender Ecuaciones Diferenciales

El enfoque para aprender mediante el “hacer”, requiere de desarrollar nuestra intuición para poder aplicar las técnicas que vamos aprendiendo de forma más rápida.

Para esto es necesario que desarrolles o adoptes metodologías que te permitan aplicar de manera ordenada el conocimiento que adquieres. Esto te permitirá desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

Te sirvió la información?

Para cualquier sugerencia, duda o retroalimentación sobre el artíaculo te invito a que dejes tu comentario más abajo en esta misma página ó nos contactes en esta página:

Descarga el archivo: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos en PDF, los cuales son los ejercicios resueltos del capítulo de Ecuaiones Diferenciales Lineales del libro de Dennis G. Zill: Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera, en el siguiente link (Dale click aquí):

O, si lo prefieres descargalos desde el siguiente link: Ejercicios 23(1-5) Zill by ecuaciondiferencial