ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Ecuaciones Diferenciales Separables

ECUACIONES DIFERENCIABLES SEPARABLES

Si lees el siguiente artículo hasta el final conocerás varios trucos para resolver ecuaciones diferenciales separables (sobre todo para integrar funciones, que aparecen de forma recurrente), mediante una metodología de 3 pasos de fácil aplicación.

El aprendizaje mediante la resolución de problemas es ampliamente utilizado en ciencias para desarrollar habilidades en los alumnos. Al utilizar ésta metodología se debe considerar que el cometer errores es fundamental para el aprendizaje pues se logran dos cosas:

1.- El crecimiento del cerebro en término de sus conexiones neuronales mediante la sinapsis

2.- Ser más inteligente.

Esto lo dice la Profesora Karol Dwek, profesora de psycología por la Universidad de Stanford, durante una entrevista para el curso online: How to learn math de la Universidad de Stanford, durante el tema Teaching for a Growth Minset.

De ésta forma, es importante ver que durante el proceso de aprendizaje individual, el cometer errores significa CRECER en INTELIGENCIA, más que verlo como por falta de capacidad del alumno o maestro, pues es en ese momento cuando, al lidear con el error, se generan más conexiones neuronales.

Metodología para resolver ecuaciones diferenciales separables

  1. La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

 

$ \large \frac{{dy}}{{dx}} = f (x, y)$

Ejemplo:

$ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$

Donde:

$ f (x, y) = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$

2. SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio visto en el artículo: Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden separable.

$ M {dx} = N {dy}$

Donde:

$ M = f (x)$  y $N = f (y)$

3. Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y ténicas conocidas del cálculo integral (Para referencia de cómo integrar funciones racionales dar click aquí)

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Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicios Resueltos

 

Ejemplo 1, Problema del Valor Inicial (PVI)

 

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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Modelos No lineales

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

EVAPORACION

Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales.

En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así
obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema. De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.

Metodología para modelado matemático de un sistema físico

Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:

1.- Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,

2.- Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combinalas de acuerdo al diagrama del sistema y obten un modelo matemático,

3.- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predecido – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.

(La validación de cualquier modelo matematico puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación).

Ecuaciones diferenciales aplicadas ejercicios resueltos

Modelo No lineal

EVAPORACION (Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20)

Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $ R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $ \pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema

Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $ k = 0.01$.

a) La rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $ t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $ h$ del agua al tiempo $ t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $ V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $ R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $ A = \pi r^2$ en terminos de $h$.

b) Resuelva la ecuacion diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.

c) Si no hubiera evaporacion, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?

d) Con evaporacion, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?

Solución

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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.

Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como

Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(…)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.

METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

-Forma estándar de la ED exactas

  • $ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$

-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)

  • $ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)

1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$

2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) = M (x, y)$

3. $ h (x) = \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$

4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)

$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$

Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS

El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.

Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.

Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.

 

EJEMPLO 1

$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} – 3 y^2) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

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Ecuacion Diferencial lineal de primer orden, homogenea y no homogenea

Ecuacion Diferencial lineal homogenea y no homogenea

Con el método de los 4 pasos podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces para resolver cualquier ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea, usándolo antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

$x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de $P\left( x \right)dx$en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde:$P(x)=2x-1$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$={{e}^{3x+\ln x}}$

$=\text{x}{{e}^{3x}}$

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-3x-\ln x}}$

$=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}$

$=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}$

$=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$

ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea

Se puede ver una solución particular ${{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}$ donde $C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $0<x<\infty $.

El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(0~,\infty )$, aunque el intervalo para la función es: $y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}$, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función $y$, es: $\left( -\infty ,0 \right);(0,\infty )$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt$

$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx$

$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]$

$={{e}^{-3x}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$

ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}$, Donde: $C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Nuevamente notar que la función $y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0 Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, es:

$\Large y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty  \right \}$

Ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea (Conceptos a recordar)

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos, Zill C. 2.3 (Prob 20)

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos: El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ecuacion diferencial lineal de primer orden mediante ejemplos en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 20)

$ \large {{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $ \frac{dy}{dx}$   , que es “$ {{(x+2)}^{2}}$   ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8}{{{(x+2)}^{2}}}y+\frac{4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8+4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4(2+x)}{(x+2)(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de P(x) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   ,   donde:$ P(x)=\frac{4}{x+2}$   . Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y la división entre polinomios, vea el final del ejercicio.

$ {{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+2}dx}}={{e}^{4\ln (x+2)}}$

$ ={{e}^{\ln {{(x+2)}^{4}}}}$

$ ={{(\text{x}+2)}^{4}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=0$    . Para resolverla sustituimos en la fórmula: $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , los valores de $ P(x)=\frac{4}{x+1}$   , encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{-4\ln (x+2)}}$

$ =C{{e}^{\ln {{(x+2)}^{-4}}}}$

$ =C{{(\text{x}+2)}^{-4}}$

$ =\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ \large {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y=-\frac{243}{{{(2+x)}^{4}}}$    donde $ C=-243$   . Notar que la función $ {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, tiene como dominio más largo el intervalo: $ -2\le x\le \infty $    (analizar el denominador de la función $ \frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, (notar que el intervalo $ -\infty \le x\le -2$    , es menor que el mencionado. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $ (-2~,\infty )$   . El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$   , que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$   , donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$    (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$    obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{4}}\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{2}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{2}}+4x+4)dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx+4\mathop{\int }^{}xdx+4\mathop{\int }^{}dx$

$ =\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}(\frac{{{x}^{3}}}{3}+4\frac{{{x}^{2}}}{2}4x)$

$ =\frac{5{{x}^{3}}}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(x+2)}^{4}}}$

$ =(\frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}})(\frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4)$

$ =\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y\left( x \right)=-\frac{824}{3{{(2+x)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{5{{x}^{3}}}{3{{(2+x)}^{4}}}$, Donde: $ C=-\frac{824}{3}$. Nuevamente notar que la función $ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$, tiene como dominio el intervalo (más largo): $ (-2~,\infty )$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ ({{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$, es:

$ \LARGE y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos (Repasos)

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$    implica  $ x=\ln y$    y además $ \ln y= \log_{e}y$ recordamos que la función $ x=\log_{e}y$   , es inversa de $ y=e^{x}$   , por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$      y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Factorización

$ \left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4 \right)=\left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3} \right)=\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

$ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4=\frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3}$