Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Marcapasos de Corazón

Marcapasos de Corazón

Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Difernciales Ordinarias

Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.

 

Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinamicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos utiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.

Katsuhiko Ogata

Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden

Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente: Sigue leyendo

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17): el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método de solución de ED lineales

A continuación describimos el método para solución de cualquier ecuación diferencial lineal mediante 4 apsos sencillos. Una explicación más detallada de de éste método la puedes encontrar en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

  1. Forma Standard: $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

  1. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
  2. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 17)

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$

Pasos:

I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$\cos x$” , los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”.

Por último agrupamos términos semejantes y simplificamos.

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{\sin x}{\cos x}dx}}={{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$={{e}^{-\ln (\cos x)}}$

$={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}$

$={{(\cos x)}^{-1}}$

$=\frac{1}{\cos x}$

$=\sec x$

Para esto sustituimos el valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde: $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$=C{{e}^{\ln (\cos x)}}$

$=C\cos x$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$\large {{y}_{c}}=C\cos x$

Se puede ver una solución particular $y=-3\cos x\sec 1$ donde $C=-3\sec 1$

Notar que la función
${{y}_{c}}=C\cos x$ , tiene como dominio $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$. Ya que cuando $x=\frac{\pi }{2}$, o un múltiplo entero de este, ${{y}_{c}}=0$ únicamente, es decir, ${{y}_{c}}$ no está definida para otro valor que no sea cero cuando “x” si lo es, por eso, para este caso el intervalo más largo de solución es $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\sec x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{1}{\cos x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}\sec x(\frac{1}{\cos x})dx$

$=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}{{(\sec x)}^{2}}dx$

$=\frac{1}{\sec x}(\tan x)$

$=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})$

$=\sin x$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$\large y=C~cosx+sinx$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=-3\cos x\sec 1+\sin x-\cos x\tan 1$,

Donde: $C=-3\sec 1-\tan 1$. Nuevamente notar que la función $y=C~cosx+sinx$ , tiene como dominio el intervalo $~(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$, es:

$\huge y=C\cos x+\sin x$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Identidades Trigonométricas

$\frac{1}{\cos x}=\sec x$,

Fórmulas de Integración

$\mathop{\int }^{}\tan xdx=-\ln \cos x+C=\ln \sec x+C$

Necesitas mas ejemplos?

Ve el siguiente ejemplo para reconocer ladiferencial entre el intervalo de solución de una solución particular y el intervalo de solución de la función, solución general.

Otro caso de Intervalo de solución particular, donde la función solución general, tiene un intervalo diferente del intervalo de solución de una solución particular.

Ve al ejemplo siguiente: Ecuación diferencial capitulo-2.3 (Ecuaciones Diferenciales Lineales) del libro de Dennis G. Zil. Problema18

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16): el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Ecuación diferencial, ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

Método de resolución de ED lineales

A continuación describimos el método para solución de cualquier ecuación diferencial lineal mediante 4 apsos sencillos. Una explicación más detallada de de éste método la puedes encontrar en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 16)

a). $ydx=(y{{e}^{y}}-2x)dx$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

En este caso identificamos que la variable independiente es la que usualmente es la variable dependiente, es decir, “y” es la variable independiente y “x” es la dependiente. Esto lo podemos fácilmente notar en una ED lineal de 1er orden (expresada explícitamente), si nos percatamos de que el coeficiente que se encuentra al frente de la derivada de “dx” depende solo de una variable y esta es contraria a “x”.

$\frac{dx}{dy}+P\left( y \right)x=f(y)$

$y\frac{dx}{dy}=(y{{e}^{y}}-2x)$,

$\frac{dx}{dy}-\frac{(y{{e}^{y}}-2x)}{y}=0$

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “y”[ecuación a)], los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “y”.

Por último agrupamos términos semejantes y simplificamos.

$\frac{dx}{dy}-{{e}^{y}}+2\frac{x}{y}=0$

$\frac{dx}{dy}+\frac{2}{y}x={{e}^{y}}$

II.                    En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{y} \right)\mathbf{dy}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de $P(y)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$,   donde:$P(y)$=$\frac{2}{y}$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

${{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{dy}{y}}}={{e}^{2\ln y}}$

$={{e}^{\ln {{y}^{2}}}}$

$={{y}^{2}}$

III.                  Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dx}{dy}-\frac{4x}{y}=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$, los valores de $P(y)$=$ ~-\frac{4}{y}$, encontrado en el primer paso, con anterioridad,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{x}_{c}}=C{{e}^{\left( – \right)2\mathop{\int }^{}\frac{dy}{y}}}$

$=C{{e}^{-2\ln y}}$

$=C{{e}^{\ln {{y}^{-2}}}}$

$=C{{y}^{-2}}$

$=\frac{C}{{{y}^{2}}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$\large {{x}_{c}}=\frac{C}{{{y}^{2}}}$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Notar que la función ${{x}_{c}}=\frac{C}{{{y}^{4}}}$ , tiene como dominio todo el conjunto de los números reales, excepto $x=0$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo. Para este caso el intervalo más largo de solución es $(-\infty ~,~0)$ ó $(0~,~\infty )$.

IV.                    En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dx}{dy}-\frac{4x}{y}=4{{y}^{5}}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: $x_{p}=\frac{1}{e^{\int P\left ( y \right )dy}}\int e^{\int P\left ( y \right )dy}f\left ( y \right )dy$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}={{y}^{-4}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( y \right)=4{{y}^{5}}$, obtenido en el punto i. Notar que la fórmula: $x_{p}=\frac{1}{e^{\int P\left ( y \right )dy}}\int e^{\int P\left ( y \right )dy}f\left ( y \right )dy$,  es solo la contra parte de la fórmula: $y_{p}=\frac{1}{e^{\int P\left ( x \right )dx}}\int e^{\int P\left ( x \right )dx}f\left ( x \right )dx$, para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{2}}({{e}^{y}})dx$

$=\frac{1}{{{y}^{2}}}({{y}^{2}}{{e}^{y}}-2y{{e}^{y}}+2{{e}^{y}})$ *Ver desarrollo abajo

$={{e}^{y}}-2\frac{{{e}^{y}}}{y}+2\frac{{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}$

*Desarrollo:

$\mathop{\int }^{}{{y}^{2}}{{e}^{y}}dy$

$u={{y}^{2}}$ ;      $dv={{e}^{y}}dy$

$du=2ydy$ ;             $v={{e}^{y}}$

Por tanto:

$\mathop{\int }^{}{{y}^{2}}{{e}^{y}}dy={{y}^{2}}{{e}^{y}}-2\mathop{\int }^{}y{{e}^{y}}dy$

De nuevo, para $\mathop{\int }^{}y{{e}^{y}}dy$

$u={{y}^{2}}$ ;      $dv={{e}^{y}}dy$

$du=dy$ ;  $v={{e}^{y}}$

Por tanto:

$\mathop{\int }^{}{{y}^{2}}{{e}^{y}}dy={{y}^{2}}{{e}^{y}}-2(y{{e}^{y}}-\mathop{\int }^{}{{e}^{y}}dy)$

$={{y}^{2}}{{e}^{y}}-2y{{e}^{y}}+2\mathop{\int }^{}{{e}^{y}}dy$

$={{y}^{2}}{{e}^{y}}-2y{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$\large x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}(-\frac{1}{y}+\frac{1}{{{y}^{2}}})$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Se puede ver una solución particular $x\left( y \right)={{\text{e}}^{y}}-\frac{3}{{{y}^{2}}}-\frac{\text{e}}{{{y}^{2}}}+\frac{2{{\text{e}}^{y}}}{{{y}^{2}}}-\frac{2{{\text{e}}^{y}}}{y}$,

Donde: $C=-3-e$. Nuevamente notar que la función $x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}(-\frac{1}{y}+\frac{1}{{{y}^{2}}})$ , tiene como dominio los intervalos: $(-\infty ~,~0)$ y $(0~,~\infty )$. Para llegar a la conclusión anterior sobre el dominio de la función solución, basta con analizar la ecuación equivalente $x\left( y \right)=\frac{\left( {{y}^{2}}-2y+2 \right){{e}^{y}}+C}{{{y}^{2}}}$ (ver nota final), y ver que la restricción que tenemos que tomar en cuenta es que ${{y}^{2}}\ne 0$, pues no existe la división entre cero de modo que $y\ne 0$, por lo que los intervalos para la solución, antes mencionados, son evidentes. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ydx=(y{{e}^{y}}-2x)dx$, es:

$\huge x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}(-\frac{1}{y}+\frac{1}{{{y}^{2}}})$

*Notar que:

$x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}(-\frac{1}{y}+\frac{1}{{{y}^{2}}})$

$x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+{{e}^{y}}-\frac{2{{e}^{y}}}{y}+\frac{2{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}$

$x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}-\frac{2{{e}^{y}}}{y}+\frac{2{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}$

$x=\frac{C}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}-\frac{2y{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}+\frac{2{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}$

$x=\frac{C+{{y}^{2}}{{e}^{y}}-2y{{e}^{y}}+2{{e}^{y}}}{{{y}^{2}}}$

$x=\frac{C+{{e}^{y}}({{y}^{2}}-2y+2)}{{{y}^{2}}}$

Si analizamos las funciones $f\left( y \right)={{y}^{2}}-2y+2$, $f(y)={{e}^{y}}$ y $f\left( y \right)=\frac{1}{{{y}^{2}}}$, podemos notar más evidentemente cual es el dominio de la función, al notar con mayor claridad el dominio de cada una por separado.

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

A continuación ponemos las gráficas de cada una de las funciones por separado y en conjunto:

Por separado:

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

En conjunto con: $C=-e-3$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

En conjunto con: $C=1$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (problema 16)

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________