Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden

Ecuacion diferencial homogenea de primer orden

Una vez que hayas finalizado la lectura de este artículo podrás resolver cualquier ecuación diferencial homogenea de primer orden, mediante un método eficaz y fácil de aplicar, con lo que rápidamente podrás resolver tus ejercicios.

Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el departamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo de recordar información si no también de comprenderla es realizando analogías y/o metáforas que relacionen la información que queremos aprender con conocimiento fácil de recordar para nosotros, por ejemplo cuando visualizamos la corriente eléctrica como flujo de agua.

O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizando sus propias letras.

Por este motivo, te propongo formular una analogía para recordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuación se describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial

El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuando veas una ED escrita de esta forma:

\begin{equation}
M ( x,y ) d x+N ( x,y ) d y=0
\end{equation}
(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de los exponentes para las variables de cada uno de sus términos sea la misma; es decir, supongamos que $ M=-C x^{r} y^{s} -B x^{p} y^{q}$ y $N=Ax^{m} y^{n}$, entonces (1) se transforma en:

\begin{equation}
– ( C x^{r} y^{s} +B x^{p} y^{q} ) d x+A x^{m} y^{n} d y=0
\end{equation}
(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también.

De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cada termino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

$ \large r+s=p+q=m+n=K$

Entonces la Ecuación Diferencial es homogénea.

Ver un ejemplo en este enlace: click aquí.

Ver un desarrollo mas detallado del criterio de homogeneidad en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden.

Metodología utilizada. Cómo resolver una ED homogénea de primer orden en 4 pasos.

Para resolver ED homogéneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, que describimos a continuación:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$ o $ \frac{d x}{d y} =f ( y,x )$

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la
convierta en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f \left( \frac{y}{x} \right)$ o $ \frac{d x}{d y} =f\left( \frac{x}{y} \right)$

2. Seleccionamos la sustitución adecuada:

$ u= \frac{y}{x}$ o $ v= \frac{x}{y}$

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

$ x \frac{d u}{d x} =F ( u ) -u$  o  $ y \frac{d v}{d x} =F ( v ) -v$

4. Integramos e inmediatamente después de aplicar la formula de integración regresamos a las variables originales.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

$ \large 2x y \frac{d y}{d x} =4x^{2} +3y^{2}$

Solución

Paso 1. Determinamos homogeneidad Sigue leyendo