Intervalo de Solución de una Ecuacion Diferencial como Problema del Valor Inicial.

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.

En este artículo aprenderás en 4 pasos a resolver una Ecuación Diferencial Lineal y encontrar su Intervalo de solución el cual fácilmente identificándolo gráficamente.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).

Ecuacion Diferncial Lineal: Circuito LR en serie

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,             $ i(0)={{i}_{o}}$

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.

$ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$

$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

El valor de P(t) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, $ P(t)=\frac{R}{L}$.

$ {{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$. Sustituimos en $ {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}$, donde: $ P(t)=\frac{R}{L}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}$

$ =C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que:

Sustituyendo en:

$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

$ {{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ y la solución particular  $ {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

La función $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ , tiene como dominio más largo el intervalo:

$ D_{x_{c}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Por tanto, la solución particular $ i_{c1}=i_{0}e^{-\frac{R}{L}t}$, tiene el mismo dominio:

$ D_{x_{c1}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

tambien.

Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a

$ i(t)$, dentro del rango que estemos analizando.

El valor de $ C={{i}_{0}}$ , para la solución particular del PVI $ L\frac{di}{dt}+Ri=0$,  $ i(0)={{i}_{o}}$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: $ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L}$ (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( t \right)=\frac{E}{L}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

$ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]$

$ =\frac{E}{R}$

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$ t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

y la solución particular:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:

$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$

O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:

($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,   $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,

$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$

Con intervalo de solución:

$ \Large I:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$implica  $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Graficación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.

Para aprender a realizar las simulaciones de ecuaciones lineales en SAGE, visita la siguiente página: Cómo simular con SAGE.

La intuición y la confianza son parte importantes en el aprendizaje de esta materia, es por eso que para desarrollarlas será necesario practicar varias veces con los métodos y técnicas aquí descritos teniendo una actitud mental apropiada. Para que conozcas la actitud mental que me ha hecho prosperar en esta y otras materias a lo largo de mi vida, te comparto el artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, donde te revelo la actitud que me ha hecho tener éxito en materias arduas pero fascinantes como esta.

Por último te recomiendo revises los productos que me han servido en mis propios estudios; están al final del artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, bajo el apartado Técnicas perfectas para aprender. Estoy seguro te servirán. 🙂

Encontraste la información que buscabas?

Necesito otros ejemplos: ejercicio 28ejercicio 29

Quiero ejemplos de circuitos electricos RLC en serie click aquí

Quiero ejemplos de circuitos electricos RC en serie click aquí

Quiero otro ejemplos de circuitos electricos RL en serie click aquí

Quiero mas ejemplos de aplicaciones

Para cualquier duda sobre los ejercicios resueltos o el sitio WEB te invito a dejar un comentario o contáctame  en esta página: Contacto (da click aquí)

Ecuacion Diferencial lineal de primer orden, homogenea y no homogenea

Ecuacion Diferencial lineal homogenea y no homogenea

Con el método de los 4 pasos podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Te recomiendo que uses el método varias veces para resolver cualquier ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea, usándolo antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.

Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

$x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de $P\left( x \right)dx$en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde:$P(x)=2x-1$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$={{e}^{3x+\ln x}}$

$=\text{x}{{e}^{3x}}$

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-3x-\ln x}}$

$=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}$

$=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}$

$=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$

ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea

Se puede ver una solución particular ${{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}$ donde $C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $0<x<\infty $.

El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(0~,\infty )$, aunque el intervalo para la función es: $y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}$, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función $y$, es: $\left( -\infty ,0 \right);(0,\infty )$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt$

$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx$

$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]$

$={{e}^{-3x}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$

ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}$, Donde: $C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Nuevamente notar que la función $y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0 Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, es:

$\Large y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty  \right \}$

Ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea (Conceptos a recordar)

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ecuacion diferencial lineal ejemplos. Zill Capítulo 2.3 (prob 22)

Ecuacion diferencial lineal ejemplos

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 22)

$\frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dP}{dt}+Q\left( t \right)y=f(t)$

$\frac{dP}{dt}+2tP-P=4t-2$

$\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $latex {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de Q($t$) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$,   donde:$Q(t)=2t-1$. Tener cuidado de no confundir la solución general $P(t)$, del problema con la $P\left( t \right)=P(x)$, de la fórmula general, aquí le hemos puesto $Q(x)$ al coeficiente del segundo término para evitar este problema. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}(2t-1)dt}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}tdt-\mathop{\int }^{}dt}}$

$={{e}^{{{t}^{2}}-t}}$

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$, los valores de $Q(t)=(2t-1)$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{P}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\left( 2t-1 \right)dt}}$

$=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}tdt+\mathop{\int }^{}dt}}$

$=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$

ecuacion diferencial lineal ejemplos

Se puede ver una solución particular ${{P}_{c1}}=-3{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}}$ donde $C=1-3\pi $. Notar que la función
${{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $-\infty <x<\infty $. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(-\infty ~,\infty )$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}={{e}^{{{t}^{2}}-t}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=4t-2$ obtenido en el punto i. Observe que la integral: $\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt$ , pudo haberse dividido en dos ($4\mathop{\int }^{}t{{e}^{{{t}^{2}}-t}}+2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}dt$), e integrarse por partes, pero el procedimiento sería unos pasos más largos. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt$

$=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(2t-1)dt$

$=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2[{{e}^{{{t}^{2}}-t}}]$

$=2$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$

ecuacion diferencial lineal ejemplos

Se puede ver una solución particular $P\left( t \right)=2-5{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}}$,

Donde: $C=-5$. Nuevamente notar que la función $P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): $(-\infty ,\infty )$ . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2$, es:

$P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid -\infty < x< \infty  \right \}$

Ecuacion diferencial lineal ejemplos

Recordar:Logaritmos y exponenciales

$aln x=ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=ln y$ y además $ln y={{log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ln y=ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{ln y}}=y$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos, Zill C. 2.3 (Prob 20)

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos: El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ecuacion diferencial lineal de primer orden mediante ejemplos en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 20)

$ \large {{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $ \frac{dy}{dx}$   , que es “$ {{(x+2)}^{2}}$   ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8}{{{(x+2)}^{2}}}y+\frac{4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8+4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4(2+x)}{(x+2)(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de P(x) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   ,   donde:$ P(x)=\frac{4}{x+2}$   . Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y la división entre polinomios, vea el final del ejercicio.

$ {{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+2}dx}}={{e}^{4\ln (x+2)}}$

$ ={{e}^{\ln {{(x+2)}^{4}}}}$

$ ={{(\text{x}+2)}^{4}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=0$    . Para resolverla sustituimos en la fórmula: $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , los valores de $ P(x)=\frac{4}{x+1}$   , encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{-4\ln (x+2)}}$

$ =C{{e}^{\ln {{(x+2)}^{-4}}}}$

$ =C{{(\text{x}+2)}^{-4}}$

$ =\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ \large {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y=-\frac{243}{{{(2+x)}^{4}}}$    donde $ C=-243$   . Notar que la función $ {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, tiene como dominio más largo el intervalo: $ -2\le x\le \infty $    (analizar el denominador de la función $ \frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, (notar que el intervalo $ -\infty \le x\le -2$    , es menor que el mencionado. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $ (-2~,\infty )$   . El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$   , que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$   , donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$    (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$    obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{4}}\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{2}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{2}}+4x+4)dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx+4\mathop{\int }^{}xdx+4\mathop{\int }^{}dx$

$ =\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}(\frac{{{x}^{3}}}{3}+4\frac{{{x}^{2}}}{2}4x)$

$ =\frac{5{{x}^{3}}}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(x+2)}^{4}}}$

$ =(\frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}})(\frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4)$

$ =\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y\left( x \right)=-\frac{824}{3{{(2+x)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{5{{x}^{3}}}{3{{(2+x)}^{4}}}$, Donde: $ C=-\frac{824}{3}$. Nuevamente notar que la función $ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$, tiene como dominio el intervalo (más largo): $ (-2~,\infty )$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ ({{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$, es:

$ \LARGE y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos (Repasos)

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$    implica  $ x=\ln y$    y además $ \ln y= \log_{e}y$ recordamos que la función $ x=\log_{e}y$   , es inversa de $ y=e^{x}$   , por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$      y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Factorización

$ \left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4 \right)=\left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3} \right)=\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

$ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4=\frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3}$


Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17): el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método de solución de ED lineales

A continuación describimos el método para solución de cualquier ecuación diferencial lineal mediante 4 apsos sencillos. Una explicación más detallada de de éste método la puedes encontrar en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

  1. Forma Standard: $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

  1. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
  2. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 17)

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$

Pasos:

I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$\cos x$” , los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”.

Por último agrupamos términos semejantes y simplificamos.

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{\sin x}{\cos x}dx}}={{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$={{e}^{-\ln (\cos x)}}$

$={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}$

$={{(\cos x)}^{-1}}$

$=\frac{1}{\cos x}$

$=\sec x$

Para esto sustituimos el valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde: $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$=C{{e}^{\ln (\cos x)}}$

$=C\cos x$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$\large {{y}_{c}}=C\cos x$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Se puede ver una solución particular $y=-3\cos x\sec 1$ donde $C=-3\sec 1$

Notar que la función
${{y}_{c}}=C\cos x$ , tiene como dominio $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$. Ya que cuando $x=\frac{\pi }{2}$, o un múltiplo entero de este, ${{y}_{c}}=0$ únicamente, es decir, ${{y}_{c}}$ no está definida para otro valor que no sea cero cuando “x” si lo es, por eso, para este caso el intervalo más largo de solución es $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\sec x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{1}{\cos x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}\sec x(\frac{1}{\cos x})dx$

$=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}{{(\sec x)}^{2}}dx$

$=\frac{1}{\sec x}(\tan x)$

$=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})$

$=\sin x$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$\large y=C~cosx+sinx$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=-3\cos x\sec 1+\sin x-\cos x\tan 1$,

Donde: $C=-3\sec 1-\tan 1$. Nuevamente notar que la función $y=C~cosx+sinx$ , tiene como dominio el intervalo $~(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$, es:

$\huge y=C\cos x+\sin x$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Identidades Trigonométricas

$\frac{1}{\cos x}=\sec x$,

Fórmulas de Integración

$\mathop{\int }^{}\tan xdx=-\ln \cos x+C=\ln \sec x+C$

Necesitas mas ejemplos?

Ve el siguiente ejemplo para reconocer ladiferencial entre el intervalo de solución de una solución particular y el intervalo de solución de la función, solución general.

Otro caso de Intervalo de solución particular, donde la función solución general, tiene un intervalo diferente del intervalo de solución de una solución particular.

Ve al ejemplo siguiente: Ecuación diferencial capitulo-2.3 (Ecuaciones Diferenciales Lineales) del libro de Dennis G. Zil. Problema18

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________