Cómo resolver una Ecuación Diferencial dividida en partes, con valores iniciales

Ecuación diferencial lineal definida por partes

En este ejemplo resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial dividida en partes  (a trozos), con valores iniciales (que además es lineal), y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente sus “partes” o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo manipular un Problema con Valores Iniciales (PVI), con una Ecuación Diferencial (ED) (ó sistema lineal), de estas características.

Nuestro ejemplo es:

a)      $\frac{dy}{dx}+2y=f(x)$,             $y\left( 0 \right)=0$,

$\huge f(x)=\left\{\begin{matrix}1,0\leq x\leq 3\\ 0,x> 3\end{matrix}\right.$

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace). Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 31).

Empezamos con $f\left( x \right)=1$:

Pasos:

I.                    Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada.

$\frac{dy}{dx}+2y=1$

II.                  Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2$.

${{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{2x}}$

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado

$\frac{dy}{dx}+2y=0$

${{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}$

$ =C{{e}^{-2x}}$

$ =\frac{C}{{{e}^{2x}}}$

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”. Acá solo hemos querido integrar la terminología por el hecho de que los Sistemas Dinámicos, son los modelos donde más recurrentemente se utilizan las ecuaciones diferenciales y este tipo de funciones definidas por partes.

Propiamente dicho, un SISTEMA LINEAL consta de las VARIABLES DE ESTADO (variables que en los sistema dinámicos dependen del tiempo “t”), $ {{y}^{n}}(t),{{y}^{n-1}}(t),\ldots ,{{y}^{2}}(t),{{y}^{1}}(t)$. Para que un sistema sea Lineal, tiene que cumplir con el Teorema de Superposición.

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{2}}$ (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( x \right)=1$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo

$ \frac{dy}{dx}+2y=1$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(1)dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}[{{e}^{2x}}]$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2}$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $ \frac{dy}{dx}+2y=1$, donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1$, es:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $ y\left( 0 \right)=0$.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con $ f\left( x \right)=1$, está definida para el intervalo $ 0\le x\le 3$, que incluye a $ x=0$.

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuación diferencial lineal de 1er Orden dividida en partes.

Primero evaluamos cuando $ f\left( x \right)=1$

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$ x=0;~~~~~~y=0$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$y\left( 0 \right)=0$

Tenemos:

$ 0=\frac{C}{{{e}^{2(0)}}}+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow 0=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow 0=C+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow C=-\frac{1}{2}$

Por lo que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

$ y\left( x \right)=-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Ahora, resolvemos cuando $ f\left( x \right)=0$

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando $ f\left( x \right)=0$ , por lo que tenemos que resolver:

 $ \frac{dy}{dx}+2y=0$,

Podemos notar que en este caso, la ED a evaluar (el sistema lineal), es el sistema homogéneo asociado de la ED anterior (paso III), por lo que sabemos que su solución es:

$ y(x)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}$

Ahora, para conocer la solución particular de la Función de Salida anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: $ f\left( x \right)=0$, no está definida para cuando: $ x=0$, por lo que para evaluar esta función para encontrar una solución particular, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene $ \text{f}\left( \text{x} \right)=0$, el dominio de su variable independiente es: $ \text{x}>3$,

$\huge f(x)=\left\{\begin{matrix}1,0\leq x\leq 3\\ 0,x> 3\end{matrix}\right.$

Por lo que no podemos considerar sustituir $ x=0$, en la Función de Salida obtenida:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}$,       $ x>3$

Para esta situación, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD. Evocando esta definición, recordemos que uno de los teoremas dicen que si el límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda. Es decir:

$ \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,y(x)$,         Donde:  $ \exists =$ Existe

En nuestro caso, utilizamos este teorema para encontrar el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es: $ \text{f}\left( \text{x} \right)=0$, suponiendo que el límite existe. Entonces:

El límite por la izquierda:

$ \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2{{e}^{2\left( 3 \right)}}}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2{{e}^{6}}}+\frac{1}{2}$, cuando:  $ 0\le x\le 3$

Y el límite por la derecha:

$ \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{C}{{{e}^{2x}}}=\frac{C}{{{e}^{2(3)}}}=\frac{C}{{{e}^{6}}}$,                     cuando:  $ x>3$

Con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$ -\frac{1}{2{{e}^{6}}}+\frac{1}{2}=\frac{C}{{{e}^{6}}}$

Esto implica:

$ C=-\frac{1}{2}+\frac{{{e}^{6}}}{2}$,

$ C=\frac{1}{2}(-1+{{e}^{6}})$

Por tanto:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}=\frac{\frac{1}{2}(-1+{{e}^{6}})}{{{e}^{2x}}}=\frac{-1+{{e}^{6}}}{2{{e}^{2x}}}$

De donde, la solución del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales (PVI), es:

$\LARGE y(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2e^{2x}}+\frac{1}{2};0\leq x\leq 3\\ \frac{-1+e^{6}}{2e^{2x}};x>3 \end{matrix}\right.$

Este resultado es válido, aparentemente al haber empleado la definición de Continuidad, sin embargo, habrá que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no es válido el resultado por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. En este caso no es así, puesto que para un mismo punto (punto $ x=3$), tenemos dos funciones.

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

ecuacion diferencial dividida en partes con valores iniciales

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales, la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

ecuacion diferencial dividida en partes con valores iniciales

En esta gráfica podemos ver que en el punto $x=3$, la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad, es decir:

Derivando el lado derecho de la función de salida y el lado izquierdo:

$ y\left( x \right)=\frac{1}{2}-\frac{{{\text{e}}^{-2x}}}{2}$  y

$ y\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\text{e}}^{6-2x}}-\frac{{{\text{e}}^{-2x}}}{2}$,

E igualando los resultados, tenemos:

$ {{\text{e}}^{6-2x}}=0$,

Por lo que al no obtener una identidad, la ecuación no es diferenciable en $ x=3$.

Desarrollar tu intuición y confía en ella cuando estés estudiando ecuaciones diferenciales. Para esto necesitas preparar tu mente, es por esto que te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios utilizando esta técnica, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tu mente entenderá con facilidad los conceptos más abstractos.

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