Ecuacion Logistica modificada.

Ecuacion Logistica modificada.

Al terminar este arículo podrás identificar y resolver, con los mismos cuatro pasos mencionados en el artículo: Ecuaciones Diferenciales no Lineales, una de las variaciones más comunes de la ecuación logística, verás que dichos cuatro pasos, pueden ser aplicados a cualquier variación de una ED logística e identificarás el modelo logístico standar del modelo logístico modificado.

En matemáticas, como en cualquier situación de la vida cotidiana que se desea aprender, la mejor estrategia es entender el mismo concepto desde varias perspectivas para verlo como un todo, asegurandonos de que lo hemos comprendido y así, adquirir verdaderamente el conocimiento. De éste modo se pueden sentar bases sólidas para entender conceptos más profundos, como dice Scott Young, reconocido a nivel global como genio del aprendizaje acelerado en su curso Holístic Learning: “Lo llamo aprendizaje holístico porque te desafía a ver el aprendizaje como un todo, en vez de una lista de hechos memorizados. Las personas inteligentes tienden a hacer pocas distinciones entre las ramas del conocimiento y pueden facilmente realcionar un conjunto de conceptos con otros”, refiriendose a cómo ver el concepto de aprendizaje, en particular o en general cualquier conjunto de conocimientos.

ecuacion logistica modificada

Figura 1. Mujer de 25 años? mujer de mas de 70 años?

“Si entiendes algo en solo un sentido, entonces no lo entiendes para nada. El secreto de lo que significa cualquier cosa para nosotros, depende de cómo lo hemos conectado a todas las otras cosas que sabemos. Representaciones bien conectadas, te permite girar las ideas alrededor de tu mente para imaginar las cosas desde muchas perspectivas hasta que encuentras la que funciona para ti. Y eso es lo que significa pensar”.

Marvin Minsky

MODIFICACIONES DEL MODELO LOGíSTICO

El modelo logístico en ecuaciones diferenciales puede verse no solo como un modelo de crecimiento de población si no que también, con alguna modificación, estas ecuaciones pueden representar modelos de decrecimiento poblacional natural, crecimiento y/o decrecimiento por influencia externa, etc.

Ecuación Logística standar.

$\frac{dP}{dt}=P(r-\frac{r}{k}P)$

Ecuaciones Logisticas modificadas.

Si $ a = r$  y  $ b = -\frac{r}{k}$, tenemos:

  • Emigración humana o desabastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – h$, donde $ h$: es constante
  • Inmigración humana o abastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + h$, donde $ h$: es constante

Modelado de poblaciones con diferentes condiciones:

  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – cP$  cuando la Emigración depende de la población
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + ce^{-kP}$ cuando la Inmigración varía segun el tamaño de la población
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b ln \left( P \right) )$ Ecuación diferencial de Gompertz. Modela crecimiento o decrecimiento de tumores  y ciertas prediciones actuariales

TODAS las anteriores modificaciones a la ecuación logística pueden ser resueltas analíticamente con la metodo logía de 4 pasos presentada a continuación. =)

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA ESTÁNDAR O MODIFICADA

PASOS:

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Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Ecuación Logística

Al terminar el siguiente artículo podrás resolver cualquier Ecuación Diferencial No lineal en su version de Ecuación Logística de manera ordenada y en solo 4 pasos. Además contarás con el código de MATHEMATICA para simularlas. =)

La técnica presentada para resolver la ecuación logística mediante pasos definidos (descrita más adelante), tiene el objetivo principal de acortar la curva de aprendizaje haciendo asequible el conocimiento repetitivo mediante el estructurar el mismo. Esto puede ser aprovechado por el estudiante o profesor novicio para dedicarse a obtener un CONOCIMIENTO PROFUNDO del tema al utilizar la técnica para INDAGAR en la APLICACIONES del mismo; como dice la Dra. Joe Boaler profesora de matematicas en la Universidad de Stanford: “Las matemáticas …, no se trata de respuestas correctas o equivocadas sin NTERPRETACIÓN, SIN oportunidad para la CREATIVIDAD…” (curso: How to learn Math, for students), refiriendose a la importancia de vincular las matemáticas con conceptos VISUALES o, mejor aún, conceptos de la vida real para encontrale un significado, poder interpretarlas, ENTENDERLAS y crear con ellas.

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 1. Conecciones entre los métodos para encontrar el volumen de una pirámide trunca y el áres de un trapezoide.

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA

PASOS:

  1. Escribir la Ecuación Logística separando sus variables en la ecuación. Es decir:
    1. Tenemos la ecuación logística general:

$ \frac{dP}{dt} = P \left( r – \frac{r}{K} P \right)$

O en su versión reducida:

$ \frac{dP}{dt} = P (a – b P)$

b. Escribimos la ED separando sus variables:

$ \frac{dP}{P \left( r – \frac{r}{K} P \right)} = {dt}$

II. Analizamos la función racional del primer miembro ($ \frac{p (x)}{q(x)} = {dt}$) e identificamos las integrales a resolver.

Para resolver un ED Logística, necesitamos recordar cómo INTEGRAR una función racional. Para este fin, describimos una secuencia de pasos a seguir que la desarrollamos en el artículo: Integración de Funciones Racionales; parte de ésta secuencia se utiliza para resolver las ED que ahora nos ocupan.

Análisis de la función racional para integrar ED Logísticas

  1. Sefactoriza el denominador de la función racional y se identifica qué tipo de integral es. Para éste caso las más comunes son:
    1. Integral del tipo logarítmica: $ \int \frac{dT}{T}$
    2. Integral por fracciones parciales, ejemplo: $ \int\frac{constante}{polinomio} = \int\frac{A_1}{factor_1} + \int \frac{A_2}{factor_2} + \ldots$
    3. Integral:
      • Arco Tangente: $ \int \frac{dT}{1 + T^2}$
      • Arco Tangente hiperbólica: $ \int \frac{dT}{1 – T^2}$
      • del tipo: $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2}$
    4. Una combinación de algunas y/o todas las integrales de los puntos anteriores al descomponer en fraciones mas simples (por ejemplo fracciones parciales).
    5. Por último, recordar que es posible encontrar una integral mas simple que las mencionadas al realizar la factorizacion del denominador de la funcion racional, por ejemplo, encontrar una integral de la forma: $ \int T^n dT$
  2. Este procedimiento es una guía ordenada para abordar este tipo de ED’s, sin embargo las integrales a resolver pueden ser de más tipos, por lo cual habrá que revisar las tablas de integración al toparnos con integrales diferentes a las acá mencionadas.

III. Resolvemos las integrales mediante la técnica e integración correspondiente al tipo de integral:

  1. $ \int \frac{dT}{T} = {Ln} | T | + C$
  2. Fracciones Parciales:
    1. Factores lineales en el denominador. Por cada factor lineal escribimos una fracción del tipo: $ \frac{A}{a x + b}$
    2. Factores cuadráticos en el denominador. Por cada factor cuadratico escribimos: $ \frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$

Nota: Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales para mayor detalle

    C.                 Integral:

  • $ \int \frac{dT}{1 + T^{2}} = {arcTan} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{1 – T^{2}} = {arcTanh} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^{2}} = \frac{1}{2 T} {Ln} \left|\frac{a + T}{a – T} \right| + C$,    $ | T | \neq a$   ó
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2} = \frac{1}{a} {arcTanh} \left(\frac{T}{a} \right) + C$,     $ | T | < a$

D.                Combinacion de las anteriores.

E.                $ \int T^n {dT} = \frac{T^{n + 1}}{n + 1} + C$

 IV. Resolvemos el PVI, mediante la sustitución de los valores iniciales en la función solución.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Ecuación Logística

Ejemplo 1. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

La cantidad $ N (t)$ de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales

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Metodo de Euler

MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

Metodo de Euler

Figura 1. Old People from Texas Eat Spiders

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)
\end{equation}
(1)
\begin{equation}
\LARGE x_{n + 1} = x_n + h
\end{equation}
(2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x – 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema Sigue leyendo

METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler para ecuaciones diferenciales y además podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso: Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

 

metodo de euler para ecuaciones diferenciales

Figura 1. Técnica: “El Palacio de la memoria”

De esta forma se tiene un esquema visual (croquis) donde se puede depositar los conceptos que se quieren recordar.

Así el ubicar los objetos de la lista en cada uno de los resintos de nuestro lugar físico familar y dar “un paseo”, nos ayudaría a recordar dicha lista; también es importante que los objetos depositados en el recinto tengan alguna exageración, como lo puede ser en su tamaño o forma.

Esta es otra técnica que se podría emplear para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n+1} =y_{n} +h f ( x_{n} ,y_{n} )
\end{equation}
\begin{equation}
\LARGE x_{n+1} =x_{n} +h
\end{equation}

Donde:

$ n=0,1,2,3, \ldots$

$ h=$ tamaño del incremento en $ x$

$ f ( x_{n} ,y_{n} ) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$

PROCEDIMIENTO:

  1. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro.
  2. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y’ =0.12 \sqrt{y} +0.4x^{2}$, $ y ( 2 ) =4$, $ y ( 2.5 )$, con $ h=0.5$, las variables buscadas son: $ x_{0} =2$, $ y_{0} =4$ y $ h=0.5$

      iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:

$ \large y_{0+ 1} =y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )$

Y una vez obtenido este primer resultado repitímos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:

$ \large y_{1+1} =y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )$

     iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=2.5$, como se ve el los datos del problema del inciso ii.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

En los problemas siguientes (3 y 4) use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero utilice $ h=0.1$ y después utilice $ h=0.05$. Determine una solución explicita para cada problema con valores iniciales y después construya tablas con los valores obtenidos.

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Ejemplo 1. Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)

$ \large y’ =y$,   $ y ( 0 ) =1$,  $ y ( 1.0 )$

Primer caso $ h=0.1$

Pasos:
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Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Leyendo todo el siguiente artículo aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.

Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.

Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su video-curso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas}}, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de $latex F= m * a$, con la siguiente imagen:

ecuaciones diferenciales de bernoulli

Figura 1. Flying Mule A… En ingles la relaciópn usada es: f=flying (volando); m=mule (mula); a=…(se deja a la imaginación)

Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo el anglisismo: Flying Mule Adept (en ingles) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: $f=m*a$

En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructurás mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli

I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:

$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $\frac{d y}{d x}$, es decir, si:

$y ( u ( x ) )$, entonces: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{du}{d x}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $\Rightarrow$ $y=u^{\frac{1}{1-n}}$).

III. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{d y}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )$

IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

Resolver la siguiente ecuación diferencial Sigue leyendo