Continuidad de una Función Dividida en Partes

Función dividida en partes y su Continuidad 

En ocasiones encontraremos funciones de entrada divididas en partes para una Ecuación diferencial, en estos casos para encontrar una solución particular de la ED, si se conocen los valores iniciales, será necesario considerar que dicha solución será, de igual manera, una función dividida en partes y que para encontrar las soluciones particulares de cada una de sus partes será necesario el uso del concepto de continuidad.

Desarrollemos un ejemplo para cubrir este tema. Tenemos la EDO lineal de orden 1:

$$ \frac{dy}{dx}+2xy=f(x)$$$$ y\left( 0 \right)=2$$(1)

Con $f(x)$ dividida en partes:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x< 1\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$$

Al buscar su función solución PARTICULAR nos toparemos con dos casos:

  • Una función solución para cuando la función de entrada es igual a: $f(x)=x$
  • Otra función solución para cuando la función de entrada es igual a: $f(x)=0$

Para el primer caso no tendremos problema de encontrar la solución particular utilizando los valores iniciales $y\left( 0 \right)=2$, ya que la restricción ($0\leq x< 1$) para ese caso nos permite utilizar dichos valores. Sin embargo, para el segundo caso no podemos considerar sustituir $x=0$, en la solución general obtenida para cuando $f(x)=0$:

$${{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$$

Ya que:

$$x\ge 1$$

ver cálculo de la Solución General para éste Ecuación diferencial (1) en el siguiente link (click aquí), Por tanto, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD.

TEOREMA

Continuidad: “El límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda”.

Es decir, para este caso:

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y(x)$.

Donde:  $\exists =$ Existe

Con este teorema encontraremos el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es: $\text{f}\left( \text{x} \right)=0$, suponiendo que el límite existe.

Entonces, el límite por la izquierda: Sigue leyendo