¿Qué significa el teorema de existencia y unicidad para una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden?

Teorema de Existencia y Unicidad

En este artículo aprenderás cómo interpretar el teorema de existencia y unicidad de una solución, aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED’s) ordinarias de primer orden, de manera gráfica, clara y sencilla.

Podrás identificar los 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de primer orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad.

Este es un ejercicio resuelto basado de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 39).

Analice el siguiente razonamiento y utilice el Teorema de la existencia y unicidad de una solución, para determinar si el problema con valores iniciales (PVI), tiene o no una solución única en los siguientes tres casos.

PVI:  $xy^{\prime }-4y=x^{6}\text{e}^{x}$ y las condiciones dadas:

a). $y\left( 0 \right)=0$

b). $y\left( 0 \right)=y_{0},y_{0}>0$

c). $y\left( x_{0} \right)=y_{0}$, $x_{0}>0,y_{0}>0$

Primero enunciamos el Teorema:

 

Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución

Supóngase que tanto la función $f\left( x,y \right)$ y su derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$son continuas en algún rectángulo $R$ en el plano “xy” que contiene el punto $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ en su interior.

Entonces, para algún intervalo abierto $I$ conteniendo el punto ${{x}_{0}}$, el problema del valor inicial

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$ , $y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}$

Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo $I$. (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo de solución  $I$ puede no ser tan “ancho” en continuidad como el rectángulo original $R$).

 

Para determinar la existencia y unicidad de una solución de una Ecuación diferencial, podemos tomar diferentes caminos, algunos autores los clasifican en: Concepción Geométrica, Concepción Numérica, Concepción analítica, Concepción topológica.

Aquí desarrollaremos la concepción analítica y la visualización del concepto y posteriormente haremos un desarrollo numérico y geométrico en otro artículo.

Según el Teorema, si las funciones $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en algún intervalo $R$  que contenga al punto considerado como valora inicial de una ED Ordinaria de Primer Orden (es decir, el punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ que se muestra en el enunciado del teorema como: $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, entonces se encontrará una solución para la ED Ordinaria de Primer Orden, la cual será única y se alojará en in intervalo $I$, que puede no ser tan grande como el intervalo $latex R$, pero que también contiene al punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$.

Por tanto, calculemos dichos valores y grafiquémoslos.

Primero calculamos $f(x,y)$  y $\frac{\partial f}{\partial y}$ y graficamos para analizar la existencia y unicidad de la solución para el problema que queremos resolver.

De la forma estándar obtenemos $f(x,y)$ y derivando esta ecuación encontraremos $\frac{\partial f}{\partial y}$.

De esta forma, tenemos:

$x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$, la cual escrita en forma estándar, es: $\displaystyle $

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

De la forma estándar $latex \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ vemos que:

$P\left( x \right)=-\frac{4}{x}$

Y

$f\left( x \right)={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$,

Entonces, para nuestro análisis y según el Teorema de existencia y unicidad, si:

$f\left( x,y \right)=P\left( x \right)y+f\left( x \right)$ (del despeje de la eq. ) ;

Y  $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial (-P(x)y+f(x))}{\partial y}$, son continuas en algún rectángulo $R$, entonces existe una solución única para el problema de valores iniciales).

De donde:

$f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

Y

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4}{x}=-P\left( x \right)$

Para recordar cómo determinar la continuidad de una función de dos variables seguir el siguiente enlace: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES:$f(x,y)$.

Ahora, graficando ambas curvas, en los INTERVALOS ABIERTOS $(-\infty ,\infty )$ y $(0,\infty )$, tenemos:

Sigue leyendo

Intervalo de solucion: ¿Cómo encontrarlo en un Problema del Valor Inicial(PVI)?

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solucion), para el Problema del Valor inicial(PVI):

a)      $\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$,             $y(1)=10$

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 29).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que $f(x)$ , es una constante.

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}={{e}^{\ln (x+1)}}$

$ =\text{x}+1$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$=C{{e}^{-\ln (x+1)}}$

$=C{{e}^{-\ln (x+1)}}$

$=C{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}$

$=C{{(x+1)}^{-1}}$

$=\frac{C}{(x+1)}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $x=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=10$ , de modo que:

Sustituyendo en:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}$

Tenemos:

$10=\frac{C}{1+1}~\Rightarrow ~~C=\left( 2 \right)10~\Rightarrow C=20$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

${{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}$ y la solución particular  ${{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}$

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

La función $y_{c}=\frac{C}{x+1}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $D_{y_{c}}:\left \{x \epsilon R | -1x<\infty \right \}$. Por tanto, la solución particular $y_{c1}=\frac{20}{x+1}$, tiene el mismo dominio: $D_{{y}_{c1}}:\left\{ x\in R |-1<x<\infty \right\}$, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de $C=20$ , para la solución particular del PVI $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$$y(1)=10$. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{-kt}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=\frac{1}{x+1}$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogéneo

${{y}_{p}}=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\text{x}+1(\frac{\ln x}{x+1})dx$

$=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\ln xdx$

Utilizando, integración por partes:

$u=\ln x~~~~;~~~~~~~~dv=dx$

$du=\frac{dx}{x}~~~~~~;~~~~~~~~v=x$

Por tanto:

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}x\frac{dx}{x}]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}dx]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-x]$

$=\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$x=1;~~~~~~y=10$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$y\left( 1 \right)=10$

Tenemos:

$10=\frac{C}{1+1}+\frac{1\ln 1}{1+1}-\frac{1}{1+1}$

$\Rightarrow 10=\frac{C}{2}+\frac{1\ln 1}{2}-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 10=\frac{C+1\ln 1-1}{2}$

$\Rightarrow 20=C+1\ln 1-1$

$\Rightarrow 20+1=C+1\ln 1$

$\Rightarrow 21=C+\ln {{1}^{1}}$

$\Rightarrow 21=C+0$

$\Rightarrow C=21$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

y la solución particular del PVI:
$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de la solución $y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$ está en el intervalo: ${{D}_{y(x)}}:0<x<\infty$ . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI ($\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$,   $y(1)=10$), es el intervalo abierto: $(0,\infty )$, ver que el cero no se incluye en el intervalo solución. Notar que el valor de $C=21$ , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: 

$\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$, $y(1)=10$, es,

$\large y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon R|0 < x < \infty\right\}$

Si analizamos la función Solución General $y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$, por separado viendo que: $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$ ,   $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$  y  $h\left( x \right)=\frac{x\text{Log}(x)}{1+x}$, podemos notar más evidentemente cual es el dominio de ésta, al notar con mayor claridad el dominio de cada una de sus componentes particulares.

A continuación ponemos las gráficas de cada una de las funciones que conforman la solución del PVI para el sistema NO Homogéneo, por separado y luego en conjunto, para analizar con más cercanía por qué el intervalo de solución se reduce a $latex (0,\infty )$:

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{f(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”.

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{g(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”. Como sabemos ésta parte de la solución del PVI, es la solución general del sistema homogéneo, que incluye a la gráfica anterior $f(x)$.

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{y(x)}:0<x<\infty$, es decir, son todos los números reales exceptuando los negativos y el CERO. Esto se debe a que la función “Logaritmo Natural”, no está definida para cero: ($\ln 0=\infty$).

Esto se pone en mayor evidencia si evaluamos la siguiente función:

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

Por último, Vemos que la forma de la gráfica solución la da las funciones $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$Y $h\left( x \right)=\frac{x\ln x}{1+x}$, que al agregarles la función $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$, solo termina desplazándola un poco hacia abajo.

Desarrollar tu intuición y confía en ella cuando estés estudiando ecuaciones diferenciales. Para esto necesitas preparar tu mente, es por esto que te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios utilizando esta técnica, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tu mente entenderá con facilidad los conceptos más abstractos.

Necesitas mas ejemplos, ver el Problema 30,

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Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. 😉

Intervalo de Solución de una Ecuacion Diferencial como Problema del Valor Inicial.

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.

En este artículo aprenderás en 4 pasos a resolver una Ecuación Diferencial Lineal y encontrar su Intervalo de solución el cual fácilmente identificándolo gráficamente.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).

Ecuacion Diferncial Lineal: Circuito LR en serie

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,             $ i(0)={{i}_{o}}$

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.

$ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$

$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

El valor de P(t) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, $ P(t)=\frac{R}{L}$.

$ {{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$. Sustituimos en $ {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}$, donde: $ P(t)=\frac{R}{L}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}$

$ =C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que:

Sustituyendo en:

$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

$ {{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ y la solución particular  $ {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

La función $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ , tiene como dominio más largo el intervalo:

$ D_{x_{c}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Por tanto, la solución particular $ i_{c1}=i_{0}e^{-\frac{R}{L}t}$, tiene el mismo dominio:

$ D_{x_{c1}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

tambien.

Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a

$ i(t)$, dentro del rango que estemos analizando.

El valor de $ C={{i}_{0}}$ , para la solución particular del PVI $ L\frac{di}{dt}+Ri=0$,  $ i(0)={{i}_{o}}$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: $ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L}$ (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( t \right)=\frac{E}{L}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

$ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]$

$ =\frac{E}{R}$

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$ t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

y la solución particular:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial

El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:

$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$

O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:

($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,   $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,

$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$

Con intervalo de solución:

$ \Large I:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$implica  $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Graficación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.

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La intuición y la confianza son parte importantes en el aprendizaje de esta materia, es por eso que para desarrollarlas será necesario practicar varias veces con los métodos y técnicas aquí descritos teniendo una actitud mental apropiada. Para que conozcas la actitud mental que me ha hecho prosperar en esta y otras materias a lo largo de mi vida, te comparto el artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, donde te revelo la actitud que me ha hecho tener éxito en materias arduas pero fascinantes como esta.

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Ecuacion Diferencial lineal. D. G. Zill Capitulo 2.3, Problema 21

Ecuacion Diferencial lineal

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tratar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 21)

Ejemplo de solución de una Ecuacion Diferencial lineal con funciones trascendentes

$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$1$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dr}{d\theta }+P\left( \theta \right)r=f(\theta )$

$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $

II.                    En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \theta \right)\mathbf{d}\theta }}$,

Para esto sustituimos el valor de P($\theta $) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( \theta \right)d\theta }}$, donde:$P(\theta )=\sec \theta $. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\sec \theta d\theta }}={{e}^{\ln (\sec \theta +\tan \theta )}}$

$=\sec \theta +\tan \theta $

III.                  Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{r}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( \theta \right)d\theta }}$, los valores de $P(\theta )=\sec \theta $, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{r}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\sec \theta d\theta }}$

$=C{{e}^{-\ln (\sec \theta +\tan \theta )}}$

$=C{{e}^{\ln {{(\sec \theta +\tan \theta )}^{-1}}}}$

$=C{{(\sec \theta +\tan \theta )}^{-1}}$

$=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{r}_{c}}=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

 Notar que como función, la solución general $r(\theta )=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$, tiene como dominio todo el conjunto de los reales exceptuando $\theta =\frac{\pi }{2}\pm \pi $;

sin embargo, como función SOLUCIÓN, el dominio mas largo es el indicado: $I:\left\{ x\in R|-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2} \right\}$

En esta gráfica es mas claro lo mencionado arriba. Es la misma gráfica anterior, sin ejes de simetría

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver una solución particular ${{r}_{c}}=\frac{1-3\pi }{\sec \left( \theta \right)+Tan(\theta )}$ donde . Notar que la función
${{r}_{c}}=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ (analizar el denominador de la función$\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(-\frac{\pi }{2}~,\frac{\pi }{2})$, y que para $r(\frac{\pi }{2})\Rightarrow \sec \frac{\pi }{2}+\tan \frac{\pi }{2}$ y ninguna de las dos funciones están definidas para ese valor. Este es un caso especial para cuando $\theta =\frac{\pi }{2}$ , $r(\frac{\pi }{2})$ no está definida a menos que sea para la solución trivial $r(\theta )$=0 , Ver la gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{r}_{p}}=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(\sec \theta +\tan \theta )\cos \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(\frac{1}{\cos \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta })\cos \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(1+\sin \theta )d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}d\theta +\mathop{\int }^{}\sin \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }(\theta -\cos \theta )$

$=\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo (con ejes de simetría):

$r=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }+\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Misma gráfica anterior, sin ejes de simetría

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver una solución particular $r\left( \theta \right)=\frac{1-3\pi +\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$, Donde: $C=1-3\pi $. Nuevamente notar que la función

$r=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }+\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ . Ver la gráfica al final del ejercicio. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $ , es:

$\huge r=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Gráfica que señala el dominio más largo de la solución general de la ED lineal.

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver con claridad como la función solución  $r(\theta )=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$ No está definida para los puntos donde: $\theta =\frac{\pi }{2}\pm \pi $, pues en estos puntos $r\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$, nada más, y adquiere otro valor diferente a este, como por ejemplo: $r\left( \frac{\pi }{2} \right)=5$, cosa que sí ocurre con los valores dentro del intervalo $I=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, o más formalmente:  $I:\left\{ x\in R|-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2} \right\}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17): el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método de solución de ED lineales

A continuación describimos el método para solución de cualquier ecuación diferencial lineal mediante 4 apsos sencillos. Una explicación más detallada de de éste método la puedes encontrar en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

  1. Forma Standard: $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

  1. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
  2. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 17)

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$

Pasos:

I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$\cos x$” , los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”.

Por último agrupamos términos semejantes y simplificamos.

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{\sin x}{\cos x}dx}}={{e}^{\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$={{e}^{-\ln (\cos x)}}$

$={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}$

$={{(\cos x)}^{-1}}$

$=\frac{1}{\cos x}$

$=\sec x$

Para esto sustituimos el valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde: $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\tan xdx}}$

$=C{{e}^{\ln (\cos x)}}$

$=C\cos x$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$\large {{y}_{c}}=C\cos x$

Se puede ver una solución particular $y=-3\cos x\sec 1$ donde $C=-3\sec 1$

Notar que la función
${{y}_{c}}=C\cos x$ , tiene como dominio $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$. Ya que cuando $x=\frac{\pi }{2}$, o un múltiplo entero de este, ${{y}_{c}}=0$ únicamente, es decir, ${{y}_{c}}$ no está definida para otro valor que no sea cero cuando “x” si lo es, por eso, para este caso el intervalo más largo de solución es $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\sec x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{1}{\cos x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}\sec x(\frac{1}{\cos x})dx$

$=\frac{1}{\sec x}\mathop{\int }^{}{{(\sec x)}^{2}}dx$

$=\frac{1}{\sec x}(\tan x)$

$=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})$

$=\sin x$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$\large y=C~cosx+sinx$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=-3\cos x\sec 1+\sin x-\cos x\tan 1$,

Donde: $C=-3\sec 1-\tan 1$. Nuevamente notar que la función $y=C~cosx+sinx$ , tiene como dominio el intervalo $~(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$, es:

$\huge y=C\cos x+\sin x$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Identidades Trigonométricas

$\frac{1}{\cos x}=\sec x$,

Fórmulas de Integración

$\mathop{\int }^{}\tan xdx=-\ln \cos x+C=\ln \sec x+C$

Necesitas mas ejemplos?

Ve el siguiente ejemplo para reconocer ladiferencial entre el intervalo de solución de una solución particular y el intervalo de solución de la función, solución general.

Otro caso de Intervalo de solución particular, donde la función solución general, tiene un intervalo diferente del intervalo de solución de una solución particular.

Ve al ejemplo siguiente: Ecuación diferencial capitulo-2.3 (Ecuaciones Diferenciales Lineales) del libro de Dennis G. Zil. Problema18

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