Teorema del Valor Medio

En este artículo aprenderás y podrás aplicar el concepto de valor medio para una integral, mediante una técnica poderosa de aprendizaje significativo que consiste en relacionar temas previamente aprendidos con los temas nuevos por aprender. Para esto utilizaremos el concepto de Valor Promedio, el cual es bien conocido y utilizado comúnmente, además de tener una obvia relación con el tema que vamos a aprender. En términos matemáticos, el promedio de una serie de cantidades (o números), se escribe de la siguiente forma:

$ \Large \bar{a} = \frac{a_1 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n}{n}$

Donde: $ \bar{a}$: promedio de las cantidades $ a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ $ n$: cantidad de mediciones que se quieren hacer.

O más formalmente:

\begin{equation} \label{promedios} \bar{a} = \frac{1}{n} \sum^n_{i = 1} a_i \end{equation}(1)

Supongamos que la serie de valores $ a_1, a_2, a_3, …, a_n$ corresponden a valores de temperatura medidos de alguna sustancia cotidiana como el agua cuando la calentamos. La representación de la temperatura en función del tiempo, la podemos escribir, de la siguiente manera:

\begin{equation} T = f ( t) \end{equation}(2)

Donde: $ f_1( t), f_2( t), f_3( t), \cdots , f_n( t)$ serían los valores particulares de la temperatura durante el proceso de calentamiento. Ahora, como nuestro objetivo es buscar la temperatura promedio de una función (integral), sigamos la siguiente estratégia: ESTRATEGIA PARA ENCONTRAR EL PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN

Buscaremos construir una función que modele el promedio de las temperaturas medidas durante el calentamiento de una cantidad cualquiera de agua.

Para tal efecto, utilizaremos el concepto básico que representa la integral, que es el de realizar un SUMA de cantidades y dividiremos dicha cantidad entre el intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse que va desde su comienzo a una cierta temperatura (en este caso 25º C), hasta su punto de evaporación (que es de 100º C, al nivel del mar).

La idea es ir incrementando el número de mediciones tomadas dentro el mismo intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse desde su temperatura inicial, de tal manera que eventualmente nos encontremos con tal cantidad de mediciones que nos permitan modelar el corportamiento de la temperatura mediante una función matemática.

La función buscada, al depender del tiempo es una función contínua.

Asumiremos que el experimento se realiza en altitudes próximas al nivel del mar.

Para mayor claridad en el desplegado de la gráfica se ha exagerado el tiempo de evaporación del agua al nivel del mar.

CLAVE: relacionar los promedio de las mediciones con el promedio de las áreas bajo la curva que son delimitadas por dichas mediciones.

Entonces, partiendo de lo más básico tomamos una medición entre la temperatura inicial (25º C) y la final (100º C) para empezar a realizar nuestro modelo matemático mientras graficamos las mediciones obtenidas y podamos ver el comportamiento de la temperatura de ésta forma. Medimos las temperaturas en un intervalo de 12 minutos y graficamos con resprecto al tiempo el calentamiento del agua al nivel del mar: Sigue leyendo