CÓMO SIMULAR CON MATHEMATICA UN CIRCUITO RC EN SERIE

CÓMO SIMULAR CON MATHEMATICA UN CIRCUITO RC EN SERIE

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales. Simulación de Circuitos Eléctricos tipo RC conectado en serie, con MATHEMATICA

El terminar este artículo sabrás simular cualquier circuito eléctrico tipo RC conectado en serie con función de entrada constante, con el software MATHEMATICA.

La simulación con software cada vez cobra un mayor auge, debido a que nos permite anticipar errores y mitigar costos de tiempo y dinero (esto último en el caso de simulación de sistema de ingeniería o física).

Según el profesor Dr. Peter Dannenmann, la simulación por computadora es necesaria para cualquier sistema antes de ser construido ya sea para conocer los posibles problemas de seguridad o simplemente para evitar costos de reconstrucción.

En nuestro caso, la simulación por computadora es importante, no solo para futuros sistemas complejos a simular, si no para poder comprobar nuestros propios resultados en el momento presente, conforme vamos aprendiendo Ecuaciones Diferenciales o cualquier materia de física o matemáticas.

Para el desarrollo de este ejercicio utilizaremos el mismo ejemplo desarrollado en el artículo: Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos. Circuito RC en serie, donde se hace referencia a cómo modelar un circuito eléctrico.

Para desarrollar este ejercicio, utilizaremos el siguiente método:

1.- Describiremos los datos en MATHEMATICA, asignandolos a variables

2.- Resolveremos el problema mediante dos formas.

a. Método directo.

Plantearemos la Ecuación Diferencial a resolver y la asignaremos a una variable.

Resolveremos (al final del método paso a paso), la ecuación anterior mediante el comando DSolve.

b. Método paso a paso

Solcionaremos de acuerdo al método de los 4 pasos.

DIAGRAMA ELÉCTRICO PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO RC EN SERIE

Figura 1. Circuito eléctrico del tipo RC conectado en serie

Figura 1. Circuito eléctrico del tipo RC conectado en serie

Asignamos datos a las variables en MATHEMATICA.

Datos:

Clear["Global`*"]
volE = 100 (*Voltaje*)
capC = 0.0001 (*Inductancia en Henrys*)
resistR = 200 (*Resistencia en Ohms*)

NOTA: la póstrofe del comando Clear, en realidad es una tilde inversa.

Entonces, aplicando la ley de Mallas de Kirchoff según la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente $i(t)$, obtenemos el siguiente modelo matemático:

$\large R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{c}q=E(t)$(1)

Sustituyendo los valores de los componenetes del circuito en la ecuación (1), según la Figura 1, tenemos:

$200\frac{dq}{dt}+\frac{1}{1\times 10^{-4}}q=100$(2)

Nota: Las expresiones matemáticas utilizadas para modelar los componeneten de la Figura 1, las pueden ver en la Tabla 1, del artículo: Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos. Circuito RC en serie.

IMPORTANTE: para entender el desarrollo, si aún no se tiene familiaridad con el método de los 4 pasos, ver el artículo correspondiente, da click aquí, ó mejor aún, primero lee el artículo: Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos. Circuito RC en serie.

Planteamiento en MATHEMATICA de la ED (2) a resolver:

eq = resistR*q'[t]+(1/capC)*q[t]==volE

Método paso a paso para resolver un circuito RC en serie (según los 4 pasos), con MATHEMATICA

1.- Forma Estándar:

$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{200\ast 1\times 10^{-4}}q=\frac{100}{200}$

eq1 = q'[t]+(1/(resistR*capC))*q[t]==(volE/resistR)

Resultado:

 50. q[t] + q'[t] == 1/2

2.- Factor Integrante:

$e^{\int P(t)dt}$

intFactor = Exp[Integrate[(1/(resistR*capC)),t]]

Resultado:

 e^50. t

Donde:

$P ( t) = \frac{1}{200\ast 1\times 10^{-4}}=\frac{10000}{200}=50$

FORMA DE LA SOLUCIÓN

$\Large q = q_c + q_p$

Donde:

$q_c $: carga transitoria del capacitor (carga remanente en el capacitor)

$q_p$: carga permanente del capacitor (cualdo la corriente suministrada se estabiliza)

3.- Paso 3. $\large q_c = C e^{- \int P ( t) d t}$

qc=C*Exp[-Integrate[(1/(resistR*capC)),t]]

Resultado:

 C e^50. t

4.- Paso 4: $\large q_p = \frac{1}{e^{\int P ( t) d t}} \int e^{\int P ( t) d t} f ( t) d t$

qp=1/intFactor*Integrate[intFactor*(volE/resistR),t]

Resultado:

 0.01

Por tanto, la ecuación que modela la carga general buscada (carga del capacitor) es:

$\LARGE q ( t) = C e^{- 50 t} + \frac{1}{100}$(3)

Para la carga permanente del capacitor (solución particular), necesitamos conocer la constante C. Para este propósito, como sabemos, necesitamos utilizar los valores iniciales que nos den ese valor particular para C  que describa la carga del capacitor en las condiciones de nuestro problema.

Para tal efecto, procedemos en MATHEMATICA a sustituir, en nuestra solución los valores iniciales dados y resolver para C, utilizando el comando Solve. Procedemos ahora a encontrar $C$ utilizando el comando Solve.

En MATHEMATICA, declaramos la Ecuación Solución encontrada:

qps[t_]=C*Exp[-50*t]+1/100
qps[t]

Resultado:

1/100 + C e^-50. t

Sustituimos el valor de la variable independiente $latex t$ (en este caso), el cual es $t = 0$, según los valores iniciales, ver problema: Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos. Circuito RC en serie.

eq3=Evaluate[qps[t]/.t -> 0]

Resultado:

1/100 + C

Por último, igualamos el resultado anterior a $0$, pues es el valor inicial de $q ( 0) = 0$ y resolvemos para $C$.

Solve[eq3==0, C]

Resultado:

{{C -> - 0.01}}

Por lo que la carga del capacitor, buscada es la sustitución de $C$ en (3):

$\LARGE q ( t) = – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100}$(4)

Ahora, resolvemos el mismo ejercicios utilizando la forma directa que tiene MATHEMATICA, la cual es utilizando el comando DSolve, como sigue:

eqsnh=DSolve[{eq,q[0]==0},q[t],t]//FullSimplify

Resultado:

{{q[t] -> 0.01 - 0.01e^-50. t}}

El cual es igual a la Función Solución (4), comprobando así nuestros resultados previos encontrados a mano y con el código de 4 pasos desarrollado aquí con MATHEMATICA.

Realiza más ejercicios como este, donde apliques ecuaciones diferenciales a circuitos eléctricos utilizando el código de MATHEMATICA que te he proporcionado para que modeles y grafiques tus resultados y se afiance más TU CONFIANZA y TU HABILIDAD.

Necesitas una explicación más detallada? Descarga el ejercicio resuelto: Que incluye:

  1. Una explicación mas detallada del ejercicio,
  2. Una EXPLICACIÓN DETALLADA del CÓDIGO EN MATHEMATICA y SAGE para resolverlo.
  3. El archivo .nb para correr en MATHEMATICA y
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  5. La simulación gráfica en MATHEMATICA y SAGE
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Cómo simular circuitos eléctricos o cualquier Ecuacion Diferencial con SAGE

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