CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Una vez que hayas terminado este artículo, podrás fácilmente determinar la continuidad de una función de dos variables en base al conocimiento de los dominios de las funciones que la conforman.

Para esto utilizaremos un ejemplo en concreto con 3 diferentes opciones, de tal forma que tengas tres perspectivas para entender el concepto y este quede claro. Esta aproximación al tema es recomendable para cualquier tema que se desee estudiar, de hecho es basada en la técnica desarrollada por el experto en aprendizaje de Harvard David Kolb.

Para cubrir la parte reflexiva de esta técnica, desarrollaré el tema en 4 partes, que consisten en:

1.- Definición de CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

2.- Recordatorio de las REGLAS BÁSICAS QUE GOBIERNAN EL DOMINIO DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.

3.- LÍMITES DIRECCIONALES Y REGLAS PARA LOS LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4.- APLICACIÓN de las herramientas de límites direccionales y reglas de funciones de dos variables a un ejemplo CON TRES PERSPECTIVAS DISTINTAS.

1.- Definición de CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función $\LARGE f$ de DOS VARIABLES es continua en un punto

$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ de una región abierta

$R$ si $f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ es igual

al límite de $f\left( x,y \right)$ cuándo

$\left( x,y \right)\rightarrow \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$.

Es decir,

$\LARGE \underset{\left( x,y \right)\rightarrow \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\mathop{\lim }}f\left( x,y \right)=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$

La función $latex f$es continua en la región abierta

$R$ si es continua en todo punto de $R$.

En nuestro caso buscamos comprobar si la función

$f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$

Es continua en los intervalos:

  1. $\large y\left( 0 \right)=0$
  2. $\large y\left( 0 \right)={{y}{0}},{{y}{0}}>0$
  3. $\large {{x}{0}}>0,{{y}{0}}>0$

Su continuidad puede conocerse si evaluamos su límite dentro de la región del espacio $latex R$, específicamente en los puntos (propuestos por el problema 39 de la sec 2.3 del libro de Zill). Es decir, evaluaremos los límites:

  • $\large \underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y$
  • $\large \underset{(0,y)\rightarrow (0,{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y$
  • $\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}{0}},{{y}{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y$

respectivamente.

Para resolver este problema voy a recordarles las reglas básicas de la continuidad de funciones:

2.- Recordatorio de las REGLAS BÁSICAS QUE GOBIERNAN EL DOMINIO DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Es muy útil conocer o recordar las reglas que gobiernan el dominio de las funciones elementales:

clasificación, función

¿Cómo se clasifican las funciones?

De esta clasificación recordamos que los dominios para estas funciones son:

Función polinómica: $\huge f(x)={a_{0}}+{a_{1}}x+{a_{2}}{{x}^{2}}+…+{a_{n}}{{x}^{n}}$, su dominio es:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \right \}$ es decir el dominio es de $(-\infty ,\infty )$
Función racional: $\huge f(x)=\frac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}}{{{b}_{0}}+{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{b}_{n}}{{x}^{n}}}$ , su dominio es:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+…+b_{n}x^{n}\leq 0 \right \}$ , es decir que su denominador sea diferente de cero.
Función radical: $\huge f(x)=\sqrt{g(x)}$ , su dominio es:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|g(x)\geq 0 \right \}$ , tener en cuenta que $g(x)$ puede ser una función de cualquier tipo
Función a trozos: $\LARGE f(x)=\left ( \begin{cases} f(x) & \text{ if } x= “1ra ..condicion”\\ f(x)& \text{ if } x= “2a..condicion”” \end{cases} \right )$
El dominio lo delimitan las condiciones de la función
Función exponencial: $\huge f(x)={{a}^{x}}$ , su dominio es:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \right \}$ , es decir todos los números reales
Función logarítmica: $\huge f(x)=\log (g(x))$ , su dominio es:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|g\left ( x \right )> 0 \right \}$ , es decir debemos evitar tratar de obtener el logaritmo de cero.
Función trigonométrica:
$\huge f\left ( x \right )= \sin \left ( x \right )$, su dominio:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \right \}$
$\huge f\left ( x \right )= \cos \left ( x \right )$, su dominio:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R} \right \}$
$\huge f\left ( x \right )= \tan \left ( x \right )$, su dominio:
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|x\neq ((2k+1)*\frac{\pi }{2}),k\epsilon \mathbb{Z} \right \}$

Los dominios de las demás funciones trigonométricas, se pueden encontrar con estas.

Estas definiciones son para funciones de una variable y sin embargo se pueden aplicar a funciones de dos variables cuando nos damos cuenta de lo siguiente:

El límite que buscamos es un límite doble

$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}{0}},{{y}{0}})}{\mathop{\lim }}f(x,y)$

3.- LÍMITES DIRECCIONALES Y REGLAS PARA LOS LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Este tipo de límite puede ser aproximado mediante la utilización de los límites direccionales (límites por izquierda y por derecha), utilizados para las funciones de una sola variable, que en combinación con las propiedades de los límites de productos y sumas, nos permiten explorar estos límites de las funciones de dos variables de manera más sencilla, siempre y cuando se utilicen funciones fundamentales en ella.

Primero, definamos el límite de una función de dos variables:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Decimos que el límite de $latex \large f(x,y)$ cuando

$(x,y)$ tiende a $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ es $L$

si se demuestra que para todo número

$\large \varepsilon>0$

existe un número $\large \delta >0$ con la propiedad siguiente:

Si $(x,y)$ es un punto del dominio de $latex f$ tal que si

$\large 0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}}<\delta$

Entonces se sigue que:

$\Large \left| f(x,y)-L \right|<\varepsilon$

*** En este artículo no será necesario la utilización de la definición para comprobar que el límite existe.

Ahora, escribamos las propiedades de los límites de las funciones de dos variables:

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES

$\underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}f(x,y)=L$   y  $\underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}g(x,y)=M$

Entonces, la suma, producto y cociente de los límites son:

$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}[f(x,y)+g(x,y)]=L+M$

$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}[f(x,y)*g(x,y)]=L*M$

$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{L}{M}$

Ahora, recordamos que para calcular los límites de una función, simplemente necesitamos sustituir los valores a los cuales tienden las variables independientes, sin embargo, cuando esa sustitución nos lleva a alguna indeterminación, entonces es cuando hacemos uso de las propiedades de los límites y su definición.

No perdamos de vista también que aquí lo que queremos determinar es la continuidad de una función de dos variables.

4.- APLICACIÓN de las herramientas de límites direccionales y reglas de funciones de dos variables a un ejemplo CON TRES PERSPECTIVAS DISTINTAS.

Ahora, para nuestro caso, lo que necesitamos calcular, utilizando las propiedades de los límites (para determinar analíticamente la continuidad de nuestra función), es el límite:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{4}{x}y+x^{5}e^{x}=lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{4}{x}y+lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{5}e^{x}$

Y, en consecuencia:

$\underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y=\underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}+\underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\mathop{\lim }}y$     y

$\underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }}{{x}^{5}}{{e}^{x}}=\underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }},{{x}^{5}}*\underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }},{{e}^{x}}$

Esto a su vez, junto con la definición de continuidad de una función de dos variables para un punto dado $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ , la cual es:

$\Large \underset{\left( x,y \right)\rightarrow \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\mathop{\lim }}f\left( x,y \right)=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$

permite calcular los límites de la función, mediante la sustitución de los valores para las variables independientes directamente en la función.

En el análisis de los límites a calcular, vemos que $\frac{4}{x}$ , es la única función que no está definida para todo el intervalo que conforman los números reales en el punto $x=0$, las otras funciones $y,{{x}^{5}},{{e}^{x}}$ son todas continuas en todo el ancho de los números Reales.

De esta forma, si inspeccionamos los tres casos, que nos conciernen, tendríamos:

a). $\large y\left( 0 \right)=0$ , implica:

$\Large \underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y=\frac{4y}{x}=\frac{0}{0}$

Las indeterminaciones $\frac{0}{0}$ y $latex \frac{\infty }{\infty }$ , no se pueden resolver por medio de L’Hopital en funciones de dos variables, sin embargo, podemos utilizar las aproximaciones por los lados o límites direccionales.

Al utilizar las derivadas direccionales para encontrar límites en funciones de dos variables, solo nos servirá para asegurar la posibilidad de la existencia del límite (y consecuentemente la continuidad de una función), sin embargo, aún y cuando coincidan todos los límites de las trayectorias elegidas que pasan por $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ , no se puede asegurar que existe un doble límite, pero, dicho de otra forma, se puede asegurar que si existiera el límite sería aquel en que todos los límites direccionales coincidan.

La idea de las derivadas direccionales para determinar la existencia de límites de funciones de dos variables, se aplica haciendo aproximar las variables independientes (en este caso $(x,y)$ ) al punto que se quiere evaluar (en este caso $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ ), desde varias trayectorias posibles, con la intención de no encontrar límites diferentes (en caso de que se quiera conformar la hipótesis de que sí existe el límite de la función).

Aun así, como hemos dicho, no se podrá confirmar las existencia del límite doble, sin embargo, si es necesario, y después de agotar varias posibles rutas dentro del ${{\mathbb{R}}^{2}}$, se podrá hacer uso de la definición de límite para verificar la posibilidad de uno.

De esta forma, para calcular el límite

$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y$

hacemos la suposición de que nos aproximamos por todas las trayectorias horizontales, suponiendo: $y=mx$. Por lo que tenemos:

$\Large \underset{(x)\rightarrow ({{x}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}(mx)=\underset{(x)\rightarrow ({{x}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4mx}{x}=\underset{(x)\rightarrow  ({{x}_{0}})}{\mathop{lim }}4m=4m$

Ahora calculamos el límite aproximándonos por la trayectoria parabólica: $y={{x}^{2}}$, que se aproxima al punto $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, donde queremos determinar la continuidad de la función, entonces:

$\Large \underset{(x)\rightarrow  ({{x}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}({{x}^{2}})=\underset{(x)\rightarrow  ({{x}_{0}})}{\mathop{\lim }}4x=4{{x}_{0}}$

De esta información podemos deducir que el límite no existe ya que obtuvimos dos límites distintos para dos diferentes trayectorias analizadas, cuando lo que debíamos haber obtenido es el mismo límite:

Límite para las trayectorias en línea recta $y=mx$  es : $4m$, y el

Límite para la trayectoria (única) $y={{x}^{2}}$ es: $4{{x}_{0}}$, por lo que,

$4{{x}_{0}}=4m$ , no son iguales y por lo tanto:

EL LÍMITE

$\Large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y$

NO EXISTE

De la misma forma, podemos decir que la función : $f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{e}^{x}}$ , no tiene límite en el punto $latex ({{x}_{0}},{{y}_{0}})$  y por tanto, no es continua en ese punto.

Un análisis similar nos mostraría que para el caso donde:

b). $\large y\left( 0 \right)={{y}_{0}},{{y}_{0}}>0$ , implica:

$\Large \underset{(x,y)\rightarrow (0,{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y=\infty $

Lo que significa que la función es indeterminada en el punto $(0,{{y}_{0}})$, es decir, no tiene límite en ese punto y por tanto no es continua en él, lo que implica que

$\large f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{e}^{x}}$ ,

tampoco es continua en $(0,{{y}_{0}})$.

En el último de los casos:

c). $\large {{x}_{0}}>0,{{y}_{0}}>0$ , vemos que estos valores no están en conflicto con las condiciones de continuidad de las funciones, por lo que:

$\large \underset{(x,y)\rightarrow  ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}y=\frac{4{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}=C$

Es decir, la función tiene un límite en cualquier punto dentro del intervalo $\large 0\le x\le \infty$ y $\large 0\le y\le \infty $

por lo que sí es continua en cualquier punto dentro del intervalo y en consecuencia la función

$\Large f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{e}^{x}}$, también lo es.

En resumen, si se consideran las propiedades de los límites y su definición, se puede ver que si la función $latex f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{e}^{x}}$ , tiene límite, solo es necesario evaluar los límites de las funciones:

$\LARGE \underset{(x,y)\rightarrow  (0,0)}{\mathop{\lim }}\frac{4}{x}$

  y

$\LARGE \underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\mathop{\lim }},{{x}^{5}}{{e}^{x}}$

donde la función $P(x)=\frac{4}{x}$, es la que determinará, en este caso, la continuidad de la función $f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{e}^{x}}$.

En este punto, te recomiendo, a manera de conclusión, que tomes en cuenta que para encontrar la continuidad de una función de dos variables, recuerdes que la forma más fácil es dividirlas en sus funciones elementales y recordar las reglas básicas que gobiernan estas funciones elementales así como utilizar las reglas para los límites de funciones de dos variables para reducir el problema a dichas funciones elementales (que determinan la continuidad de la función completa que estas estudiando). Practícalo!!!

Suerte.

Necesito un ejemplo mas gráfico( sigue este link)

3 pensamientos en “CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

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