DE DONDE SALE EL FACTOR INTEGRANTE O FACTOR DE INTEGRACIÓN Y QUÉ ES

DE DONDE SALE EL FACTOR INTEGRANTE O FACTOR DE INTEGRACIÓN

de donde sale el factor integrante

Figura 1. Factor Integrante para las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Orden 1

Después de leer este artículo te será muy claro de dónde sale el factor integrante para resolver Ecuaciones Diferenciales (ED) Lineales de 1er Orden y podrás relacionarlo fácilmente con conocimiento previo que te permitirá recordar con facilidad el método.

Aprendiendo el método que utiliza el Factor Integrante para resolver una Ecuación Diferencial, podrás resolver cualquier ED lineal de 1er Orden, sin excepción. El método se resume al final.

La explicación que a continuación verás es resultado de la síntesis de los siguientes temas: Capitulo 2.3 del libro de Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera de Dennis G. Zill; Capitulo 1.5 del libro Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera, computo y modelado de Edwards & Penney; Capítulo 2 del libro Ecuaciones Diferenciales Elementales de Earl D. Rainville; Capítulo 2.1 del Libro Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera de Boyce & DiPrima y de Capítulo 2.3 del Libro Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera de Nagle, Saff & Snider.

Para desarrollar este tema haremos uso del siguiente método:

Relacionaremos la forma de la regla de derivación conocida como la “Regla del Producto” entre un producto de funciones con la forma Estándar de una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden, con el fin de adecuar la segunda a la primera y así poder encontrar una función que permita integrar a la Ecuación Diferencial lineal, para conocer su solución integrando una forma conocida para nosotros proveniente de nuestro estudio del calculo Diferencial-Integral, la Regla del Producto.

Esta idea es fácilmente imaginable si se tiene en mente la forma de la Ecuación Diferencial Lineal y se tiene presente que una de las formas de encontrar la solución de un Ecuación Diferencial (la cual es una función), es utilizando las formas conocidas (ecuaciones) de derivación de funciones, ya que una Ecuación Diferencial es un conjunto de derivadas.

De esta forma, con nuestro conocimiento de Cálculo Integral podremos encontrar las antiderivadas de las formas conocidas de derivación.

En nuestro caso, como veremos más adelante, necesitaremos agregar una variable adicional a la forma estándar de la Ecuación Diferencial Lineal (la cual es una función que funge como factor que permite integrar la ecuación), para que la relación de ésta con la forma de la Regla del Producto sea evidente y así, poder integrar la ED lineal fácilmente.

A la función que funge como factor que permite adecuar la forma estándar de la Ecuación Diferencial Lineal a la forma de la “Regla del producto”, se le conoce como factor integrante.

Regla del Producto y su forma diferencial

Bueno, entrando en materia, recordemos nuestras clases de cálculo diferencial-integral en la parte donde aprendimos a integrar mediante diferentes técnicas o artificios. Uno de esos artificios fue la Integración por Partes. Esta técnica la obtuvimos de una de las reglas de derivación llamada “Regla del Producto“, la cual dice:

La derivada de un producto de funciones es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.

Es decir, ésta regla nos describe cómo derivar el producto entre dos funciones, como sigue:

$\frac{d\left( uv \right)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

(1)

Escribiendo esta última ecuación (1) en su forma diferencial para poder compararla con la forma estándar de una ED lineal, tenemos:

$d\left( uv \right)=udv+vdu$

(2)

Y, reagrupando esta última ecuación (2), podemos recurrir a la siguiente comparación, que nos ayudará para ver de donde sale el factor integrante:

$udv+vdu=d(uv)$

(4)

Entonces, al comparar vemos que la ecuación (4) es parecida a:

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f\left( x \right)$

(5)

Que es la FORMA ESTÁNDAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN.

COMPARACIÓN DE LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA REGLA DEL PRODUCTO CON LA FORMA DE LA ECUACIÓN ESTÁNDAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

La ecuación (4) es mas fácilmente comparable con (5) si escribimos esta última en su forma diferencial, es decir:

$dy+P\left( x \right)ydx=f(x)dx$

o mejor aún, si reagrupamos los términos:

$dy+yP\left( x \right)dx=f(x)dx$(6)

Ahora, comparemos nuevamente (4) y (6):

$udv+vdu=d(uv)$(4)
$dy+yP\left( x \right)dx=f(x)dx$(6)

De ésta comparación podemos ver las similitudes y disimilitudes entre ellas que se exponen a continuación:

\begin{eqnarray}
u & & {No-tiene-igual}\\
d v & = & d y\\
v & = & y\\
du & = & {No-se-conoce-u}\\
f ( x) d x & = & d ( u v)
\end{eqnarray}

 

De aquí podemos notar que la $u$ de la ecuación (4) se queda sin una función similar en la ecuación (6), y que aunque la $du$ sabemos que incluye el término $P(x)dx$, como lo podemos ver en la siguiente Figura 1, no podemos igualarla a ese valor porque no sabemos si la inclusión de la variable $u$ (función $u$), modificaría su derivada $du$.

de donde sale el factor integrante

Figura 2. Similitudes entre la regla de la cadena para derivar un producto de dos funciones y la forma estándar de un Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

El factor $u$ (función $u$) como factor integrante

De esta forma, podemos pensar que si completamos los términos faltantes para que (6) se parezca a (4), necesitaríamos encontrar una $u$, que al multiplicarla por la ecuación (6) nos de la forma de una derivación del producto de dos funciones, la cual está representada por la ecuación (4) o Regla del Producto.

Entonces multiplicando $u$ por la ecuación (6), tenemos:

$$udy+uyP\left( x \right)dx=uf(x)dx$$

Esta $u$ es la función que permitirá integrar la ecuación (6), al multiplicarla en ésta y obtener así la forma de la ecuación (4), la cual es fácilmente integrable de acuerdo a nuestros conocimientos de cálculo integral.

De esta forma descubriremos nuestro factor (función) integrante.

Las suposiciones en Ecuaciones Diferenciales Lineales como medio para encontrar funciones solución o factores integrantes.

Aquí llegamos a una situación clave para resolver Ecuaciones Diferenciales, me refiero a utilizar el artificio de la suposición (en este caso la suposición de un factor ($u$) que nos permita integrar, pero bien podría ser la suposición de una solución).

El objetivo de este artificio es permitirnos adecuar a la Ecuación Diferencial Lineal que estemos resolviendo a nuestra estrategia, mediante su inclusión dentro de ella.

Para esto, al incluir dicho factor ($u$) dentro la Ecuación Diferencial Lineal a resolver (para nosotros la (5  o 6)), necesitamos obtener una expresión de dicho factor (función $u$), en términos de las variables (funciones) que se encuentran ya en la ecuación (6).

Es decir, es conveniente para nuestro caso encontrar una expresión para la función supuesta $u$ (factor $u$), que se encuentre en términos de las variables de la Ecuación Diferencial a resolver; ¿por qué?, simplemente por la estrategia que se sigue, la cual es casi siempre, adecuar la forma de la Ecuación Diferencial a resolver a alguna forma de las ecuaciones que se conocen y que representan las derivadas de funciones, las cuales son fácilmente integrables.

Dicho de otra forma, como nuestra estrategia es adecuar la ecuación (6) a la ecuación (2), entonces necesitamos que las variables involucradas estén en relación entre si, de tal manera que se pueda “leer”, que estamos en el caso típico de la derivada de un producto de funciones.

DE DONDE SALE EL FACTOR INTEGRANTE. OBTENCIÓN DEL MISMO

Entonces, incluyendo en (6) una función $u$, suponiendo que nos pueda servir como factor que permita la integración, la ecuación (6) quedaría así:

$udy+uyP\left( x \right)dx=uf(x)dx$(7)

De donde, realizando de nuevo la comparación, tenemos:

$udv+vdu=d(uv)$(4)
$udy+yuP\left( x \right)dx=uf(x)dx$(7)

De esta comparación podemos ver que:

\begin{eqnarray*}
u & = & u\\
d v & = & d y\\
v & = & y\\
du & = & u P(x)dx\\
u f ( x) d x & = & d ( u v)
\end{eqnarray*}

Olvidándonos del segundo miembro de (4) y (7), pues lo que queremos en realidad es adecuar el primer miembro de (7) para que se parezca al primer miembro de (4), es decir, lo que queremos es:

$udv+vdu=udy+yuP\left( x \right)dx$

Entonces vemos que es claro que si existe una $latex u$, que sirva como factor que permita la integración de la ecuación (7) esta debe satisfacer (8):

\[du=uP\left( x \right)dx\](8)

Que como podemos ver es una ecuación de variables separables fácilmente integrable.

Entonces, integramos para encontrar nuestro factor integrante $u$, de la siguiente manera:

$du=uP\left( x \right)dx$
$\frac{du}{u}=P\left( x \right)dx$

De donde:

$\mathop{\int }^{}\frac{du}{u}=\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx$

Y realizando la integración:

$ln u=\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx$
${{e}^{ln u}}={{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Lo cual implica que el factor integrante buscado es:

$\huge u={{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

 (8)

De esta forma, podemos entender claramente, basados en nuestros conocimientos previos, de donde sale el factor integrante, con lo cual se nos hará mucho más sencillo poder posteriormente entender las fórmulas del método de 4 pasos que utilizamos en este sitio para resolver las Ecuaciones Diferenciales lineales. El método se describe a continuación.

Método de 4 pasos para Resolver una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden utilizando el Factor Integrante

1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

     Forma de solución: $y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Posteriormente, en otro artículo, hablaremos del origen de cada una de estas fórmulas.

Por lo pronto te invito a resolver más ED lineales con el método aquí propuesto utilizando el Factor Integrante.

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

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Quiero un Ejemplo sobre el mismo tema con un enfoque diferente

De dónde sale el método de los 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Cómo se relaciona el método del factor integrante con la ecuaciones Exactas

Cómo simulo el Factor Integrante con el software MATHEMATICA

Cómo simulo problemas de Ecuaciones Diferenciales con Software libre y poderoso?

Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. =)

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