Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill cap 2.3. Prob 19

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $ {{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                   $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                   $x {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill cap 2.3. Prob 19

$ (\text{x}+1)\frac{dy}{dx}+\left( x+2 \right)y=2x{{e}^{-x}}$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $ \frac{dy}{dx}$, que es “$ x+1$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$ {{e}^{{\int }^{}\frac{x+2}{x+1}dx}}={{e}^{{\int }^{}\text{dx}+{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ ={{e}^{x+\ln (x+1)}}$

$ ={{e}^{x}}{{e}^{\ln (x+1)}}$

$ =\left( \text{x}+1 \right){{e}^{x}}$

III.                  Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$ \frac{dy}{dx}+\frac{x+2}{x+1}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $ P(x)=\frac{x+2}{x+1}$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}\frac{x+2}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{{\int }^{}\text{dx}-{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{-\text{x}-\ln (x+1)}}$

$ =C{{e}^{-\text{x}+\ln {{(x+1)}^{-1}}}}$

$ =C{{e}^{-\text{x}}}{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}$

$ =C{{(x+1)}^{-1}}{{e}^{-\text{x}}}$

$ =C\frac{{{e}^{-\text{x}}}}{(x+1)}$

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

$ y=C\frac{{{e}^{-x}}}{(x+1)}+\frac{{{x}^{2}}{{e}^{-x}}}{\left( x+1 \right)}$

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=-\frac{6{{\text{e}}^{1-x}}}{1+x}-\frac{{{\text{e}}^{-x}}}{1+x}+\frac{{{\text{e}}^{-x}}{{x}^{2}}}{1+x}$, Donde: $ C=-1-6e$. Nuevamente notar que la función $ y=C\frac{{{e}^{-x}}}{(x+1)}+\frac{{{x}^{2}}{{e}^{-x}}}{\left( x+1 \right)}$ , tiene como dominio el intervalo: $ (-1~,\infty )$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ (\text{x}+1)\frac{dy}{dx}+\left( x+2 \right)y=2x{{e}^{-x}}$, es:

$ y=C\frac{{{e}^{-x}}}{(x+1)}+\frac{{{x}^{2}}{{e}^{-x}}}{\left( x+1 \right)}$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis G. Zill cap 2.3. Prob 19

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$implica  $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

División entre Polinomios

$ \frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$

Ya que:

$ x+1\overset{1}{\overline{\left){\frac{x+2}{\frac{-x-1}{1}}}\right.}}$

Lo que intenté escribirles es el algoritmo de la división, el “1”en la parte superior (sobre la “x”), es el entero resultante de dividir $ \frac{x}{x}=1$, este es el “1” que usamos como parte del resultado, la línea debajo de $ x+2$, es el resultado de multiplicar el “1” de la parte superior por $ x+1$ e ir acomodando los términos debajo de sus correspondiente del dividendo, que en este caso es el mencionado término: $ x+2$, al final, al cambiarle los signos a este resultado y sumarlos al mismo dividendo vemos que: $ x+2-x-1=1$, este “1” es el que aparece hasta abajo, es el residuo, el cual es, junto con el divisor, la fracción: $ \frac{1}{x+1}$, sumada al final.