Ecuación Diferencial, Ejercicios Resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10), 7ª Ed.

El siguiente método utilizados en Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10) te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
2. Factor Integrante: $ {{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$

3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

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Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Cap. 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 6 al 10)

a)      $$ \Large {{y’}}+2xy={{x}^{3}}$$

Pasos:

1. $ \frac{dy}{dx}+2xy={{x}^{3}}$
2. $ {{e}^{2{\int }^{}xdx}}={{e}^{2x}}$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx={\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ du=2x$

Por tanto: $ \frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2 \right)xdx=\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ u={{x}^{2}}$   ;    $ dv={{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

$ du=2x$ ; $ v=\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(2)xdx$

$ =\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

De modo que (siguiendo con iv):

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}(\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$)

$ =\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$

Por tanto:

$$\large y=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}+\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$$

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b)      $$\Large {{x}^{2}}{{y’}}+xy=1$$

Pasos:

1. $ \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
2. $ {{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}=x$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln x}}$

$ =C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$

$ =C{{x}^{-1}}$

4.  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{x}{\int }^{}x\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$

$ =\frac{1}{x}{\int }^{}\frac{1}{x}dx$

$ =\frac{1}{x}\ln x$

Por tanto:

$$\large y=C{{x}^{-1}}+\frac{1}{x}\ln x$$

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c)      $$\Large {{y’}}=2y+{{x}^{2}}+5$$

Pasos:

1. $ \frac{dy}{dx}-2y={{x}^{2}}+5$
2. $ {{e}^{-2{\int }^{}dx}}={{e}^{-2x}}$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{2x}}$
4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}}+5)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx={\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx+5{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx$

$ u={{x}^{2}}$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=2xdx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\frac{2}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ u=x$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=dx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( x \right)dx=-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{-2\text{x}}}$

$ du=-2dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

$ \int e^{-2x}\left ( x^{2}+5 \right )dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}x^{2}+(-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}] )+5\int e^{-2x}dx$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}+5(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}}$

Esto implica:

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =\frac{1}{{{e}^{-2x}}}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right){{e}^{-2x}}]$

$ =-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$

Por tanto:

$$\large y=C{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$$

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d)      $$\Large x\frac{dy}{dx}-y={{x}^{2}}\sin x$$

Pasos:

1. $ \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin x$
2. $ {{e}^{-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}={{x}^{-1}}=\frac{1}{x}$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{\left( – \right)-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$ =C{{e}^{\ln x}}=Cx$

4.   $ {{y}_{p}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}{\int }^{}\frac{1}{x}\left( x\sin x \right)dx$

$ =x{\int }^{}\sin xdx$

$ =-x\cos x$

Por tanto:

$$\large y=Cx-x\cos x$$

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e)      $$\Large x\frac{dy}{dx}+2y=3$$

Pasos:

1. $ \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
2. $ {{e}^{2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{-2\ln x}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}$
4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$ =\frac{3}{{{x}^{2}}}{\int }^{}xdx$

$ =\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}=\frac{3}{2}$

Por tanto:

$$\large y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Gráfica para la familia de soluciones del problema #1

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Código de MATHEMATICA para simular el ejercicios # 1

Clear["Global`*"]
Integrate[Exp[x^2]*x^3, x]
(*Sistema homogeneo Asociado*)
s = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == 0, y[x], x]
(*Sistema NO homogeneo*)
sol = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == x^3, y[x], x]
sols1 = Table[Evaluate[s[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
(*Gráfica del Sistema homogeneo*)
Plot[sols1, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]
(*Gráfica del Sistema NO homogeneo*)
Plot[sols, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]