Ecuacion Diferencial lineal. D. G. Zill Capitulo 2.3, Problema 21

Ecuacion Diferencial lineal

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tratar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 21)

Ejemplo de solución de una Ecuacion Diferencial lineal con funciones trascendentes

$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$1$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dr}{d\theta }+P\left( \theta \right)r=f(\theta )$

$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $

II.                    En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \theta \right)\mathbf{d}\theta }}$,

Para esto sustituimos el valor de P($\theta $) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( \theta \right)d\theta }}$, donde:$P(\theta )=\sec \theta $. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\sec \theta d\theta }}={{e}^{\ln (\sec \theta +\tan \theta )}}$

$=\sec \theta +\tan \theta $

III.                  Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{r}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( \theta \right)d\theta }}$, los valores de $P(\theta )=\sec \theta $, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{r}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\sec \theta d\theta }}$

$=C{{e}^{-\ln (\sec \theta +\tan \theta )}}$

$=C{{e}^{\ln {{(\sec \theta +\tan \theta )}^{-1}}}}$

$=C{{(\sec \theta +\tan \theta )}^{-1}}$

$=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{r}_{c}}=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

 Notar que como función, la solución general $r(\theta )=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$, tiene como dominio todo el conjunto de los reales exceptuando $\theta =\frac{\pi }{2}\pm \pi $;

sin embargo, como función SOLUCIÓN, el dominio mas largo es el indicado: $I:\left\{ x\in R|-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2} \right\}$

En esta gráfica es mas claro lo mencionado arriba. Es la misma gráfica anterior, sin ejes de simetría

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver una solución particular ${{r}_{c}}=\frac{1-3\pi }{\sec \left( \theta \right)+Tan(\theta )}$ donde . Notar que la función
${{r}_{c}}=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ (analizar el denominador de la función$\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }$. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(-\frac{\pi }{2}~,\frac{\pi }{2})$, y que para $r(\frac{\pi }{2})\Rightarrow \sec \frac{\pi }{2}+\tan \frac{\pi }{2}$ y ninguna de las dos funciones están definidas para ese valor. Este es un caso especial para cuando $\theta =\frac{\pi }{2}$ , $r(\frac{\pi }{2})$ no está definida a menos que sea para la solución trivial $r(\theta )$=0 , Ver la gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{r}_{p}}=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(\sec \theta +\tan \theta )\cos \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(\frac{1}{\cos \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta })\cos \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}(1+\sin \theta )d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }\mathop{\int }^{}d\theta +\mathop{\int }^{}\sin \theta d\theta $

$=\frac{1}{\sec \theta +\tan \theta }(\theta -\cos \theta )$

$=\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo (con ejes de simetría):

$r=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }+\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Misma gráfica anterior, sin ejes de simetría

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver una solución particular $r\left( \theta \right)=\frac{1-3\pi +\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$, Donde: $C=1-3\pi $. Nuevamente notar que la función

$r=\frac{C}{\sec \theta +\tan \theta }+\frac{\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ . Ver la gráfica al final del ejercicio. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dr}{d\theta }+r\sec \theta =\cos \theta $ , es:

$\huge r=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$

Gráfica que señala el dominio más largo de la solución general de la ED lineal.

Ecuacion Diferencial lineal con valores trascendentes

Se puede ver con claridad como la función solución  $r(\theta )=\frac{C+\theta -\cos \theta }{\sec \theta +\tan \theta }$ No está definida para los puntos donde: $\theta =\frac{\pi }{2}\pm \pi $, pues en estos puntos $r\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$, nada más, y adquiere otro valor diferente a este, como por ejemplo: $r\left( \frac{\pi }{2} \right)=5$, cosa que sí ocurre con los valores dentro del intervalo $I=(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, o más formalmente:  $I:\left\{ x\in R|-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2} \right\}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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