Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR

En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR, y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos.

Utilizaremos la siguiente Metodología.

  • Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
  • Solución de la Ecuación Diferencial resultante
  • Graficación de la corriente encontrada.

Para el Modelado del Circuito Eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo LR.

Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.

Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.

Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LR con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.

Para esto resolveremos un ejercicio.

Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma,(Problema 29).

PROBLEMA

Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente $ i(t)$, si $ i(0) = 0$. Determine la corriente conforme $ t\rightarrow 0$.
El circuito esta descrito en la Figura 1.

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos

Circuito tipo LR conectado en serie

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales

Primeramente obtengamos los modelos para el circuito representado en la Figura 1.

Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchoff:

  1. La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. LEY DE NODOS
  2. Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. LEY DE MALLAS

En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente $ i(t)$), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS.

Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento:

Tabla 1. Caídas de voltaje para cada elemento del circuito descrito en la Figura 1, expresadas en función de la correinte $ i(t)$ y en función de la carga $  q(t)$
Elementos del CircuitoCaídas de VoltajeCaídas de voltaje
en función de $ i(t)$en función de $ q(t)$
Inductor $ L\frac{di}{dt}$ $ = L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}$
Resistor$ i R$$ = R\frac{dq}{dt}$
Capacitor$ \frac{1}{C}q$

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente $ i(t)$, tenemos:

\begin{equation}
L \frac{d i}{d t} + i R = E ( t)
\end{equation}
(1)

Donde $ L$, $ R$ son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente $ i(t)$ se llama también respuesta del sistema.

En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuación es:

\begin{equation}
L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} q = E(t)
\end{equation}
(2)

Menciono ésto porque es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2).

Es importante hacer notar que en la ecuación (2) aparecen 2 variables dependientes $ i$ y $ q$ por lo que para poder resolverla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar:

$ \Large a_2 ( x) \frac{d^2 y}{d x^2} + a_1 ( x) \frac{d y}{d x} + a_0 ( x) y = g (x)$

La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es $ y$ y su variable independiente es $ x$.

Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial linea ordinaria de 2º orden por que al adecuar la ecuación (2) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden de la ecuación (2), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes $ i(t)$ y $ q(t)$ en la ecuación (2) para convertirse en una ED de 2o Orden, es una ecuación diferencial.

Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes $ i(t)$ y $ q(t)$, en su forma de derivada es:
$ \Large i = \frac{d q}{d t}$

Solución de la Ecuación Diferencial resultante

Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:

\begin{equation}
0.1 \frac{d i}{d t} + 50 i = 30
\end{equation}
(3)

Resolviendo la ecuación (3) por el método de los 4 pasos:

I. Forma estándar:

\begin{eqnarray*}
\frac{d y}{d x} + P ( x) y = g ( x) & \Rightarrow & \frac{d i}{d t} + 500 i
= 300
\end{eqnarray*}

II. Factor Integrante:

\begin{eqnarray*}
e^{\int P ( x) d x} & = & e^{\int 500 d t}\\
& = & e^{500 t}
\end{eqnarray*}

III. Forma de la solución:

\begin{eqnarray*}
y = y_c + y_p & \Rightarrow & i ( t) = {itr} ( t) + {ips}
( t)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y_c = C e^{- \int P ( x) d x} & \Rightarrow & {itr}_{} ( t) = C e^{-
\int 500 d t}\\
& \Rightarrow & {itr} ( t) = C e^{- 500 t}
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}} \int e^{\int P ( x) d x} f ( t) d x &
\Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{1}{e^{500 t}} \int e^{500 t} \ast 300
d t\\
& \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{300}{e^{500 t}} \int e^{500 t} d
t\\
& \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{300}{500 \ast e^{500 t}} \int
e^{500 t} \ast 500 d t\\
& \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{3}{5} \ast e^{- 500 t} [ e^{500
t}]\\
& \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}

Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es:

\begin{eqnarray}
i ( t) & = & {itr} ( t) + {ips} ( t) \nonumber\\
& = & C e^{- 500 t} + \frac{3}{5}
\end{eqnarray}
(4)

Para encontrar el valor de $ C$ utilizamos los valores iniciales $ i(0) = 0$, es decir cuando el tiempo $ t$ es $ 0$ la corriente $ i$ en el circuito es $ 0$ también.

Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos:

\begin{eqnarray*}
i ( t) & = & C e^{- 500 t} + \frac{3}{5}\\
0 & = & C e^{- 500 ( 0)} + \frac{3}{5}\\
0 & = & C ( 1) + \frac{3}{5}\\
0 & = & C + \frac{3}{5}
\end{eqnarray*}

Esto implica que:

$ \Large C = – \frac{3}{5}$
De donde la Corriente Buscada es:

\begin{equation}
i ( t) = – \frac{3}{5} e^{- 500 t} + \frac{3}{5}
\end{equation}
(5)

Es evidente, observando la ecuación (5), que cuando $ t \rightarrow \infty$, $ i(t) = \frac{3}{5}$, este resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente $ i(t)$, resultante como en la Figura 2. De aquí que se le llame transitorio al término: $ – \frac{3}{5} e^{- 500 t}$

Graficación de la corriente encontrada

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos

Figura 2. circuito del tipo LR conectado en serie

El código en MATHEMATICA para graficar la corriente resultante es:

Clear["Global`*"]
ip[t_]=-3/5*Exp[-500 t]+3/5;
Plot[ip[t],{t,-0,Pi/200},PlotRange ->{-0.9,0.9}]

El código de MATHEMATICA para simular y resolver el modelo matemático de la ecuación (1), lo puedes ver aquí (da click aquí)

Te invito a que practiques la solución de problemas que incluyan circuitos eléctricos tipo LR, como el aquí descrito, utilizando la misma secuencia de pasos que te mostré, eso hará que mentalmente sea más fácil recordar como resolver un problema de circuitos eléctricos conectados en serie del tipo LR, he inclusive mejor aún, podrás recordar como resolver un problema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden (donde la función de entrada -es decir, la función en el segundo miembro de la ecuación, en este caso $ E(t)$, no sea variable), con lo que podrás entrarle a resolver otros ejercicios de aplicación. 😉

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

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Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. =)

22 pensamientos en “Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos

  1. Hola amigo alejandro que gran blog eh , y gracias por ese mensaje a la derecha , TODO ES POSIBLE, con voluntad desde Ecuador

    • Gracias a ti Byron por tu comentario, es mi firme intensión el poder servirte a ti y a todos los interesados en esta materia. Y te reitero mi mensaje TODO es POSIBLE si tu lo crees y pones manos a la obra; no te permitas dudar. Un saludo cordial

  2. Hola,

    gracias por compartir con nosotros este valioso material para nosotros los docentes. Por mi parte, creo que en la actualidad es necesario el uso de la modelación dentro de la comprensión de conceptos. En mis clases he integrado el uso de softwares libres como los son wxMaxima (http://andrejv.github.io/wxmaxima/) y GeoGebra (http://www.geogebra.org/cms/es/) Me ha resultado útil, y lo comento para que los usuarios aquí lo tomen en cuenta. Saludos desde México

    • Néstor, te agradezco muchísimo tu comentario pues me motiva a pensar mas en los docentes, porque a decir verdad he pensado un poco más en los alumnos. Me parece crucial la integración de las computadoras y su capacidad, sobre todo en este tipo de materias y coincido contigo en que los softwares de libre distribución pueden ser la respuesta para la comprensión de conceptos e inclusive para vincular estas materias con los problemas del mundo real. En este blog he descrito la forma general para resolver ecuaciones diferenciales mediante el software libre SAGE, aquí te dejo unos ejemplos: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales
      Saludos

  3. hola te escribo desde Chile para agradecerte ya que tu blog nos ha guiado mucho en el ramo de control no lineal y poder preparar un informe con los ejemplos que tu explicas, saludos desde chile Inacap, Rancagua.

    • Que tal Roberto.
      Te agradezco muchísmo tu comentario.
      Me es muy satisfactorio el que te haya servido de ayuda.
      Si tienes alguna sugerencia para mejorar es bienvenida y de antemano agradecida.
      Saludos

  4. Estimado Manuel
    Muchas gracias por tus publicaciones, después de buscar bastante, es lo mejor que he visto, me has sido de gran ayuda.

    Atte.
    JJF

  5. muy bueno, solo con respeto creo que en II factor integrante hay un error de signo, mas adelante se corrige, pero ahi esta + y es -..gracias

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