Circuito RC en serie. Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos.
Aplicación de una Ecuación Diferencial a un circuito RC eléctrico conectado en serie
Leyendo éste artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico tipo RC conectado en serie (circuito RC en serie), y resolverás, utilizando un método paso a paso, el circuito RC, para encontrar sus variables de corriente $ i ( t)$ y carga $ q ( t)$.
Circuito RC en Serie. Metodología
Además de entender cómo realizar el análisis de un circuito eléctrico de este tipo. Utilizaremos de nuevo la misma metodología del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos, que consta de los siguientes 3 pasos.
- Modelaremos el Circuito Electrico con Ecuaciones Diferenciales
- Solucionaremos la Ecuacion Diferencial resultante
- Graficaremos la corriente encontrada.
Para el Modelado de éste Circuito Eléctrico, utilizaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo RC
Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos el método de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.
Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.
Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo RC con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.
Para esto resolveremos un ejercicio.
Ejercicio resuelto: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma, (Problema 31).
Circuito rc en serie
PROBLEMA
Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de $ 10^{-4}$ farads. Determine la carga $ q ( t)$ del capacitor, si $ q ( 0) = 0$. Encuentre la corriente $ i ( t)$. El circuito esta descrito en la Figura 1.
Circuito rc en serie. Modelado del Circuito Eléctrico tipo RC en serie con Ecuaciones Diferenciales
Obtengamos los modelos para el circuito representado en la Figura 1. Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchoff.
En este caso, como queremos encontrar un valor (la carga $ q ( t)$), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS.
Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento:
| Elementos del Circuito | Caídas de Voltaje | Caídas de voltaje |
| en función de $ i(t)$ | en función de $ q(t)$ | |
| Inductor | \(L\frac{di}{dt}\) | \( = L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}\) |
| Resistor | \(i R\) | \( = R\frac{dq}{dt}\) |
| Capacitor | \(\frac{1}{C}q\) |
Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la carga $ q ( t)$, tenemos:
| \begin{equation} R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{c} q = E ( t) \end{equation} | (1) |
Donde $c$, $R$ son constantes conocidas como la capacitancia y resistencia, respectivamente. La carga $ q ( t)$ se llama también respuesta del sistema. En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el inductor; dicha ecuación es:
| \begin{equation} L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} q = E ( t) \end{equation} | (2) |
Donde, $ i ( t) = \frac{d q}{d t}$.
Las versiones de circuitos en serie del tipo $ L R$ y $ R C$, son simplemente contracciones de la ecuación (2).
Dicho sea de paso, y como conocimiento general que ayude a entender más el modelado de circuitos eléctricos, te menciono que para convertir la ecuación (2) en una ecuación Diferencial lineal necesitamos llenar los requisitos que delimitan la condición de linealidad de una ED, los cuales son:
- La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.
- Los coeficientes de las derivadas y de la función dependiente, dependen a la mucho de la variable independiente.
Para lograr lo anterior en la ecuación (2), necesitamos, escribir una de las dos variables dependientes de $ t$, las cuales son: $ i$ y $ q$, en función de la otra, esto lo conseguimos haciendo uso de la definición física de corriente eléctrica, la cual enuncia que la corriente es el cambio de carga eléctrica en el tiempo, es decir:
| \begin{equation} i = \frac{d q}{d t} \end{equation} | (3) |
Entonces, sustituyendo (3) en (2) y realizando las derivaciones necesarias, obtenemos:
| \begin{equation} L \frac{d^2 q}{d q^2} + R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{C} q = E ( t) \end{equation} | (4) |
Donde para nuestros fines, utilizaremos (4), en una de sus formas reducidas, pues solo tenemos dos elementos conectados en serie, de modo que, utilizamos:
Solución para encontrar la carga del circuito rc en serie
Para nuestro caso la ecuacion diferencial a resolver, segun la ecuacion (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:
| \begin{equation} 200 \frac{d q}{d t} + \frac{1}{1 \times 10^{- 4}} q = 100 \end{equation} | (5) |
Resolviendo la ecuación (5) por el método de los 4 pasos:
I. Forma estándar:
| \begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} + P ( x) y = g ( x) & \Rightarrow & \frac{d q}{d t} + 50 q = \frac{1}{2} \end{eqnarray*} |
II. Factor Integrante:
| \begin{eqnarray*} e^{\int P ( x) d x} & = & e^{\int 50 d t}\\ & = & e^{50 \int d t}\\ & = & e^{50 t} \end{eqnarray*} |
Forma de la solución:
| \begin{eqnarray*} y = y_c + y_p & \Rightarrow & q ( t) = q{tr} ( t) + q {ps} ( t) \end{eqnarray*} |
III. Solución del Sistema Homogéneo Asociado
| \begin{eqnarray*} y_c = C e^{ -\int P ( x) d x} & \Rightarrow & q {tr}_{} ( t) = C e^{- \int 50 d t}\\ & \Rightarrow & q {tr} ( t) = C e^{- 50 t} \end{eqnarray*} | (6) |
Donde: $ q {tr}$ es la carga transitoria del capacitor en el circuito RC en serie.
IV. Solución del Sistema NO Homogéneo
| \begin{eqnarray*} y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}} \int e^{\int P ( x) d x} f ( x) d x & \Rightarrow & q s ( t) = \frac{1}{e^{50 t}} \int e^{50 t} \ast \frac{1}{2} d t\\ & \Rightarrow & q s ( t) = \frac{1}{2 \ast 50 \ast e^{50 t}} \int e^{50 t} ( 50) d t\\ & \Rightarrow & q s ( t) = \frac{1}{100 \ast e^{50 t}} \int e^{50 t} ( 50) d t\\ & \Rightarrow & q s ( t) = \frac{1}{100} \ast e^{- 50 t} [ e^{50 t}]\\ & \Rightarrow & q s ( t) = \frac{1}{100} \end{eqnarray*} | (7) |
Donde: $ q s$ es la carga estacionaria del capacitor. Por tanto la carga (total en el circuito), buscada es:
| \begin{eqnarray} q ( t) & = & q {tr} ( t) + q s ( t) \nonumber\\ & = & C e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \end{eqnarray} | (8) |
Para encontrar el valor de $ C$ utilizamos los valores iniciales $ q ( 0) = 0$, es decir cuando el tiempo $ t$ es $ 0$ la carga $ q$ en el capacitor es $ 0$ tambien (como en un circuito abierto). Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación (8) para la corriente resultante del circuito, tenemos:
| \begin{eqnarray*} q ( t) & = & C e^{- 50 t} + \frac{1}{100}\\ 0 & = & C e^{- 50 ( 0)} + \frac{1}{100}\\ 0 & = & C ( 1) + \frac{1}{100}\\ 0 & = & C + \frac{1}{100} \end{eqnarray*} |
Esto implica que:
| $ C = – \frac{1}{100}$ |
De donde la Carga en el capacitor buscada es:
| \begin{equation} q ( t) = – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \end{equation} | (9) |
Es evidente, observando la ecuación (9), que cuando $ t \rightarrow 0$, $ q( t) =0$, este resultado se hace más evidente cuando graficámos la corriente $ i ( t)$, resultante.
Graficación de la carga encontrada.
El código en MATHEMATICA para graficar la carga resultante del circuito rc en serie es:
Clear[Global`*]
qp[t_]=-1/100*Exp[-50 t]+1/100;
Plot[qp[t],{t,0,Pi/20},PlotRange ->{0,0.02}]La gráfica resultante se muestra en la Figura 2.
Obteniendo la corriente $ i ( t)$, del circuito RC en serie
Para este propósito utilizaremos la ecuación (2):
| $ L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}q = E(t)$ |
En su forma reducida:
| $ Ri + \frac{1}{C}q = E(t)$ |
De modo que sustituyendo los valores que conocemos, tenemos:
| $ 200 i + \frac{1}{1 \times 10^{- 4}} \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50t} + \frac{1}{100} \right] = 100$ |
Donde: $ q ( t) = – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100}$, de modo que despejando $ i ( t)$, tenemos:
| \begin{eqnarray*} 200 i + \frac{1}{1 \times 10^{- 4}} \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \right] & = & 100\\ i ( t) + \frac{10000}{200} \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \right] & = & \frac{1}{2}\\ i ( t) + 50 \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \right] & = & \frac{1}{2}\\ i ( t) – \frac{1}{2} e^{- 50 t} + \frac{1}{2} & = & \frac{1}{2}\\ i ( t) – \frac{1}{2} e^{- 50 t} & = & – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\\ i ( t) & = & \frac{1}{2} e^{- 50 t} \end{eqnarray*} |
Por tanto la corriente en el circuito, es:
| \begin{equation} i ( t) = \frac{1}{2} e^{- 50 t} \end{equation} | (9) |
Donde es evidente que cuando $ t \rightarrow 0$ la corriente en el circuito tiende a $ i ( t) = \frac{1}{2}$, pero más importante es notar que cuando $ t \rightarrow \infty$, la corriente $ i ( t) \rightarrow 0$, lo cual se hace evidente al graficar la corriente resultante, como lo hacemos a continuación en MATHEMATICA
Clear[Global`*]
ip[t_]=1/2*Exp[-50 t];
Plot[ip[t],{t,0,Pi/20},PlotRange ->{-0.1,0.6}]La gráfica de la corriente en el circuito se muestra en la Figura 3.
La conclusión más importante, tal vez, es notar que cuando el capacitor se carga, mientras el voltaje suministra corriente al circuito, es decir, mientras $ t \rightarrow \infty$, la corriente total tiende a cero, es decir $ i ( t) \rightarrow 0$, lo cual se hace evidente al comparar las figuras 2 y 3.
Te propongo realizar ejercicios o mejor aún, proyectos de aplicación que involucren circuitos RC conectados en serie utilizando los 4 pasos aquí y realices su simulación con un software de computadora como MAHTEMATICA, SAGE, Python o MATLAB.
En nuestro PROGRAMA COMPLETO DE ECUACIONES DIFERENCIALES aprenderás:
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Quiero más ejemplos de circuitos eléctricos en serie:
- conectados en LR
- conectados en RLC
- circuito RC simulado en MATHEMATICA
- circuitos LR simulados en MATHEMATICA
- circuitos RLC simulados en MATHEMATICA
Que estés bien. 😉
Excelente artículo que era justo lo que estaba buscando. Muy bien explicado. Saludos.
Hola Mateo.
Gracias por tu comentario y que bueno que te ha servido el artículo.
Un saludo cordial
solo una duda, de donde sale el 1/2, es que estaba 100?? solo esa conversión no entendí
Aldo,
El coeficiente del primer término entre toda la ecuación:
$$ \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$$
Es decir:
$$200 i + \frac{1}{1 \times 10^{- 4}} \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \right] = 100$$
entre $$200$$
es igual a:
$$i ( t) + \frac{10000}{200} \left[ – \frac{1}{100} e^{- 50 t} + \frac{1}{100} \right] = \frac{1}{2}$$
Saludos
Excelente muchas gracias 🙂
cuando piden carga máxima ¿es cuando el tiempo tiende al infinito?
Sí, aunque el tiempo de carga del capacitor es finito, cuando éste termina de cargarse, la corriente del sistema tiende a cero, en los circuitos RC en serie y la carga se estabiliza, como lo puedes ver en las figuras 2 y 3, de éste artículo.
Para éste ejemplo, la carga máxima del capacitor ocurre al rededor de los \(0.05\) segundos. Si quieres encontrar la carga máxima y no conoces el tiempo al que ésta ocurre, puedes evaluar el límite de la función $$q(t)$$ cuando el tiempo tiende a infinito que para este caso sería $$\frac{1}{100}$$
Saludos
Hola amigo, buen trabajo. No se si seria una molestia pero algún libro que me recomiendes para poder entender mucho mejor el análisis de circuitos con ecuaciones diferenciales. Ya que yo lo aprendí a analizar circuitos con transformada de laplace pero me intera saber como se resuelve con ecuaciones direnciales. agradeceria tu respuesta
Hola Daniel,
La transformada de Laplace es parte de un curso regular de Ecuaciones Diferenciales; es un método más para resolver este tipo de ecuaciones.
En análisis de circuitos, éste método es muy utilizado porque proporciona una solución cuando otros fallan, ya que esto depende del tipo de ED que quieras analizar
Aquí tengo una lista sobre los otros métodos aparte del de transformada de Laplace, revisa éste artículo: CIRCUITO ELECTRICO MIXTO, en el apartado, Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior, dentro del tema: Solución de una ecuación diferencial lineal NO homogénea de 2º orden.
Busca en cualquier libro de ecuaciones diferenciales los temas los métodos de resolución para Ecuaciones Diferenciales LINEALES de 1er y 2o orden y ve si tienes ejemplos de aplicaciones…, probablemente tengas que revisar los que tengas a la mano, porque no sé cual tenga más ejemplos en este sentido.
Puntualmente, tal vez, el libro de MURRAY R SPIEGEL: Ecuaciones diferenciales aplicadas, tenga un buen número de ejemplos que te aclaren el tema.
Saludos
Caballero muy buena explicacion, pero hay un error en la grafica de i vs t, el valor de i(0)=0.5A. Sin embargo felicitaciones por el post
Que tal Sebastian
Cierto. Gracias por el apunte
Saludos
porque la capacitancia es igual a 1×10^-4 ?? no era 10^4 ?
Cesar
Lo escribí mal en la descripción del problema, pero ya lo corregí, Gracias
Saludos
AVR
es posible crear un modelo físico que demuestre la veracidad de las escuaciones?
Que tal Eduardo
Claro que si, puedes crear un modelo físico para corroborrar los resultados o utilizar softwares especializados como PSpice o las alternativas de código abierto, de menor potencia, pero igualmente efectivos para casos sencillos, como el de éste ejemplo. Acá te dejo algunas alternativas:
– CircuitLab
– Virtual Lab
– LTSpice
– KLogic
– Circuit Simulator (de falstad)
etc
Puedes buscarlos por internet.
Tambien hay apps para android:
– Droid Tesla
– EveryCircuit
etc
Incluso puedes utilizar MATLAB. Busca el video: circuitos rlc en matlab, en youtube
De otra forma, podrías construir un modelo tu mismo. Para la simulación con un modelo físico puedes utilizar desde unas simple placa montable para circuitos electrico (como la protoboard). Busca el video: circuito RLC en youtube.
O Arduino o Rasberry pi 2, que te podrían servir para construir cosas mas interesantes, porque para este simple circuito serían tal vez demasiado.
Yo hice la simulación con el software MATHEMATICA, acá el enlace: circuito rc simulado en mathematica
Saludos
Estimado, lo felicito por su excelente labor y por toda la ayuda que brinda. Se me presenta el siguiente ejercicio: un transbordador espacial se eleva verticalmente con una aceleracion constante de 10yardas/s^2. Si un radar a 1200 yardas de la plataforma lo sigue con que rapidez gira el radar 8 seg despues del lanzamiento? (Debo plantear una Ecuacion Diferencial). Gracias de antemano.
Hola Jean
Con gusto te ayudo
El costo sería de $10 USD que los puedes pagar comprando 2 Giggs en fiverr, por transferencia o despósito bancario o uncluso una donación al sitio por la misma cantidad en cualquiera de los íconos de paypal que tenemos. Dime cual es la que mas te conviene, escribiendome a la dirección: ecuaciondiferencialavr@gmail.com
Una vez que realices la operación, envíame el recibo a la misma dirección ecuaciondiferencialavr@gmail.com
Te agradezco el de antemano
Saludos
Hola que tal ocupo apoyo para un pequeño trabajo a donde te contacto???
Que tal Adrian, contáctame en tienpo real mediante la página de Facebook, click aquí
Saludos
buenas. me podrias saca de duda si p(x) es el factor que acompaña a la variable porque pusiste 50?
Hola Hipolito.
El número 50 es lo que he tomado como el valor de la función $P(x)$, porque no existe términos en $x$ que agregar. Recuerda que la función $P(x)$ es una función que multiplica a la variable dependiente de la ecuaciópn diferencial como lo puedes ver en la forma estandar: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=g(x)$, pero en ése caso, dicha función es constante, es decir: $P(x) = 50$.
Un saludo
Hola Manuel
Excelente tu articulo, te escribo pues tengo un trabajo en el cual el docente me pide que utilice la transformada numérica de laplace para resolver un circuito RC en serie, la verdad no se mucho de este método quizás puedas darme una guía sobre este tema en particular puesto que observo que conoces muy bien al análisis de circuitos eléctricos.
Gustavo, es sencillo en realidad, simplemente ve la definición de la transformada de Lapace y luego aplicala término a término en la Ed que modela tu circuito RC incluyendo la función de exitación (es decir, la $f$ que está en el miembro derecho de la igualdad en tu ecuación).
Utiliza las tablas de transformadas para que no desarrolles cada integral (es así como se hace, con las tablas, para pasar del dominio del tiempo $t$ al dominio de la fsecuencia $s$), una vez en el dominio de la frecuancia, simplifica y despeja la variable dependiente.
Esa es la primera parte.
Ahora, para regresar al dominio del tiempo, es necesario aplicar la transformada inversa de laplace, tal vez necesites recordar el tema de fracciones parciales, para poder acomodar el resultado obtenido a las fórmulas conocidas en las tablas de transformada inversa de Laplace, para poder aplicarla.
El resultado de ésta última aplicación es el que buscas.
Si necesitas que te ayude resolviendo tus problemas, proyectos o ejercicios paso a paso y con una metodología consistente que puedas utilizar en otros problemas del mismo tema, te puedo ayudar con un costo. Contáctame mediante el chat (inblox) de la página de nuestra página de facebook, para que te atienda en tiempo real, te dejo el enlace aquí:
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