ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.

Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como

Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(…)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.

METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

-Forma estándar de la ED exactas

  • $ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$

-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)

  • $ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)

1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$

2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) = M (x, y)$

3. $ h (x) = \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$

4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)

$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$

Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS

El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.

Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.

Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.

 

EJEMPLO 1

$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} – 3 y^2) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = y^2 e^{x y^2} + 4 x^3$     $N (x, y) = 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = y^2 (2 x y) e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = (2 x y) y^2 e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

\begin{eqnarray*}
\int M (x, y) d x + g (y) & = & \int (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + g (y)\\
& = & \int y^2 e^{x y^2} d x + 4 \int x^3 d x + g (y)\\
& = & e^{x y^2} + x^4 + g (y)
\end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*}
\frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d x + g’ (y) & = & N (x, y)\\
\frac{\delta}{\delta y} (e^{x y^2} + x^4) + g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3
y^2\\
2 x y e^{x y^2} + g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2\\
g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2 – 2 x y e^{x y^2}\\
g’ (y) & = & – 3 y^2
\end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*}
g (y) & = & \int N (x, y) d y – \int \frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d
x d y\\
& = & – 3 \int y^2 d y\\
& = & – \frac{3}{3} y^3\\
& = & – y^3
\end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*}
\int M (x, y) d x + g (y) & = & c\\
e^{x y^2} + x^4 – y^3 & = & c
\end{eqnarray*}

 

La solución es:

$ \Large e^{x y^2} + x^4 – y^3 = c$

#######################

#######################

EJEMPLO 2

$ \large \left( x \sqrt{x^2 + y^2} – y \right) d x + \left( y \sqrt{x^2 + y^2} – x\right) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2} – y$    $N (x, y) = y \sqrt{x^2 + y^2} -x^{}$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta y} – 1$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2y) – 1$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} – 1$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta x} – 1$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2x) – 1$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} – 1$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados

Paso 1.

\begin{eqnarray*}
\int N (x, y) d y + h (x) & = & \int \left( y \sqrt{x^2 + y^2} – x \right) d
y + h (x)\\
& = & \int y \sqrt{x^2 + y^2} d y – x \int d y + h (x)\\
& = & \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y – x \int d y + h (x)\\
& = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y – x \int d y + h
(x)
\end{eqnarray*}

Consideramos:

$ u = x^2 + y^2$;     $d u = 2 y$  y

$ \int u^n d u = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$

De modo que la integral:

$ \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y = \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2y) d x$

$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right )$

$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right )$

$ = \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$

$ = \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$

Por lo que continuando con el Paso 1:

\begin{eqnarray*}
\int N (x, y) dy + h (x) & = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y – x \int d y + h
(x)\\
& = & \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y + h (x)
\end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*}
\frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) & = & M (x, y)\\
\frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y
\right) + h’ (x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} – y\\
\frac{1}{3} \ast \frac{3}{2} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 x) – y + h’
(x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} – y\\
x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – y + h’ (x) & = & x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – y\\
h’ (x) & = & 0
\end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*}
h (x) & = & \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d
y d x\\
h (x) & = & 0
\end{eqnarray*}

 

Paso 4.

\begin{eqnarray*}
\int N (x, y) d y + h (x) & = & c\\
\frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y & = & c
\end{eqnarray*}

De modo que el resultado es:

$ \large \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y = c$

O escrito de forma alternativa:

$ \frac{1}{3} (x^2 + y^2) (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – x y = c$

De modo que la solución se puede escribir como:

$ \Large \frac{1}{3} x^2 \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{1}{3} y^2 \sqrt{x^2 + y^2} – x y =c$

#######################

#######################

EJEMPLO 3

$ \large (x + 2 y) d x + (2 x + y) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = x + 2 y$                         $ N (x, y) = 2 x + y^{}$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = 2$          $ \frac{\delta}{\delta x} = 2$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados.

Paso 1.

\begin{eqnarray*}
\int N (x, y) d y + h (x) & = & \int (2 x + y) d y + h (x)\\
& = & 2 x \int d y + \int y d y + h (x)\\
& = & 2 x y + \frac{y^2}{2} + h (x)\\
& = & \frac{y^2}{2} + 2 x y + h (x)
\end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*}
\frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) & = & M (x, y)\\
\frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{y^2}{2} + 2 x y \right) + h’ (x) & = &
x + 2 y\\
2 y + h’ (x) & = & x + 2 y\\
h’ (x) & = & x
\end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*}
h (x) & = & \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d
y d x\\
& = & \int x d x\\
& = & \frac{x^2}{2}
\end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*}
\int N (x, y) d y + h (x) & = & c\\
\frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} & = & c
\end{eqnarray*}

La solución es:

$ \Large \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

La representación gráfica en 3D de las curvas solución del Ejemplo 3, se muestra en la Figura 1 y 2.

ecuaciones diferenciales exactas ejemplos

Figura 1.

En la Figura 1, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

ecuaciones diferenciales exactas ejemplos

Figura 2.

En la Figura 2, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

La siguiente figura en 3D es manipulable. Para ver a detalle la figura, posiciónate con el puntero del mouse sobre ella y deja presionado el botón izquierdo (click izquierdo con el mouse) mientras lo mueves. Con esto podrás ver el detalle de la figura en 3D. 😉 Nota: es posible que necesites instalar el software para manejo de CDF de Wolfram, da click aquí para instalarlo. De momento solo se puede ver la funcionalidad 3D del CDF de wolfram en los buscadires Firefox o Safari.

Les dejo el código de MATHEMATICA para obtener las gráficas y la solución del ejemplo 3 de acuerdo a los 4 pasos escritos en éste artículo.

 

Clear[P, Q]
P[x_, y_] := (x + 2*y)
Q[x_, y_] := (2*x + y)
(*Criterio de EXACTITUD*)
xx = Exct == Simplify[D[P[x, y], y] - D[Q[x, y], x]] (* Es exacta? *)

(*Paso 1*)
f3 = fx == Integrate[Q[x, y], y] + h[x]

(*Paso 2*)
df3 = D[f3[[2]], x] == P[x, y]

(*Paso 3*)
s3 = Solve[df3, h'[x]] // Expand

(*Paso 4*)
sf3 = hx == Integrate[s3[[1, 1, 2]], x]

sg3 = f == Evaluate [f3[[2]] /. h[x] -> sf3[[2]]] // Expand

s1 = Solve[sg3[[2]] == c, c] // Expand

(* COMPROBACIÓN *)
eqn = y'[x] == -P[x, y[x]]/Q[x, y[x]] (* Activar si es necesario *)
sol = DSolve[eqn, y[x], x] // Simplify
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -8, 8}];

Plot[Tooltip[sols], {x, .1, 5}, PlotRange -> {-500, 500}, 
 PlotStyle -> Thick]

ContourPlot[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, 
 PlotPoints -> 100]

Plot3D[Evaluate[s1[[1, 1, 2]] /. {y[x] -> y}], {x, .1, 5}, {y, -500, 
 500}, MeshFunctions -> {#3 &}, Mesh -> 15, PlotPoints -> 100]

Plot3D[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, 
 PlotPoints -> 100]

 

Para que obtengas la confianza necesaria deberás practicar los ejercicios con las técnicas que te presento antes de analizarlos para preparar tu mente, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tendrás la información necesaria para que tu mente entienda con facilidad los conceptos más abstractos.

Da click aquí para leer sobre la mejor técnica para aprender ecuaciones diferenciales.

Encontraste la información que buscabas?

No, necesito más ejemplos. (da click aquí)

Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. 😉

5 pensamientos en “ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

    • Ale
      Una disculpa por no haber podido responder antes =S
      Mi interpretación del ejercio es:
      $$(3y^{2}-x^{2})y^{-5}dy+\frac{x}{2}y^{-4}dx=0$$
      Es correcta?
      Te agradezco me señales si estoy interpretando bien la ED.
      Te rrespondo lo más pronto posible
      Saludos

Deja un comentario