ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS
Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.
Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como
Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(…)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.
METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
-Forma estándar de la ED exactas
- $ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$
-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)
- $ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$
4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)
1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$
2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) = M (x, y)$
3. $ h (x) = \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$
4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)
$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$
Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS
El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.
Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.
Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.
EJEMPLO 1
$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} – 3 y^2) d y = 0$
-Determinamos si es exacta la ED
$ M (x, y) = y^2 e^{x y^2} + 4 x^3$; $N (x, y) = 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2$
$ \frac{\delta M}{\delta y} = y^2 (2 x y) e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$; $ \frac{\delta N}{\delta x} = (2 x y) y^2 e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$
-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$
Resolvemos la ED de acuerdo a los pasos listados anteriormente
Paso 1.
\begin{eqnarray*} \int M (x, y) d x + g (y) & = & \int (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + g (y)\\ & = & \int y^2 e^{x y^2} d x + 4 \int x^3 d x + g (y)\\ & = & e^{x y^2} + x^4 + g (y) \end{eqnarray*} |
Paso 2.
\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d x + g’ (y) & = & N (x, y)\\ \frac{\delta}{\delta y} (e^{x y^2} + x^4) + g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2\\ 2 x y e^{x y^2} + g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2\\ g’ (y) & = & 2 x y e^{x y^2} – 3 y^2 – 2 x y e^{x y^2}\\ g’ (y) & = & – 3 y^2 \end{eqnarray*} |
Paso 3.
\begin{eqnarray*} g (y) & = & \int N (x, y) d y – \int \frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d x d y\\ & = & – 3 \int y^2 d y\\ & = & – \frac{3}{3} y^3\\ & = & – y^3 \end{eqnarray*} |
Paso 4.
\begin{eqnarray*} \int M (x, y) d x + g (y) & = & c\\ e^{x y^2} + x^4 – y^3 & = & c \end{eqnarray*} |
La solución es:
$ \Large e^{x y^2} + x^4 – y^3 = c$
EJEMPLO 2
$ \large \left( x \sqrt{x^2 + y^2} – y \right) d x + \left( y \sqrt{x^2 + y^2} – x\right) d y = 0$
-Determinamos si es exacta la ED
$ M (x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2} – y$; $N (x, y) = y \sqrt{x^2 + y^2} -x^{}$
$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta y} – 1$
$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2y) – 1$
$ \frac{\delta M}{\delta y} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} – 1$
Además:
$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta x} – 1$
$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2x) – 1$
$ \frac{\delta N}{\delta x} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} – 1$
-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$
Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados
Paso 1.
\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & \int \left( y \sqrt{x^2 + y^2} – x \right) d y + h (x)\\ & = & \int y \sqrt{x^2 + y^2} d y – x \int d y + h (x)\\ & = & \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y – x \int d y + h (x)\\ & = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y – x \int d y + h (x) \end{eqnarray*} |
Consideramos:
$ u = x^2 + y^2$; $d u = 2 y$ y
$ \int u^n d u = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$
De modo que la integral:
$ \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y = \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2y) d x$
$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right )$
$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right )$
$ = \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$
$ = \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$
Por lo que continuando con el Paso 1:
\begin{eqnarray*} \int N (x, y) dy + h (x) & = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y – x \int d y + h (x)\\ & = & \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y + h (x) \end{eqnarray*} |
Paso 2.
\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) & = & M (x, y)\\ \frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y \right) + h’ (x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} – y\\ \frac{1}{3} \ast \frac{3}{2} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 x) – y + h’ (x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} – y\\ x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – y + h’ (x) & = & x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – y\\ h’ (x) & = & 0 \end{eqnarray*} |
Paso 3.
\begin{eqnarray*} h (x) & = & \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y d x\\ h (x) & = & 0 \end{eqnarray*} |
Paso 4.
\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & c\\ \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y & = & c \end{eqnarray*} |
De modo que el resultado es:
$ \large \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} – x y = c$
O escrito de forma alternativa:
$ \frac{1}{3} (x^2 + y^2) (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} – x y = c$
De modo que la solución se puede escribir como:
$ \Large \frac{1}{3} x^2 \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{1}{3} y^2 \sqrt{x^2 + y^2} – x y =c$
EJEMPLO 3
$ \large (x + 2 y) d x + (2 x + y) d y = 0$
-Determinamos si es exacta la ED
$ M (x, y) = x + 2 y$; $ N (x, y) = 2 x + y^{}$
$ \frac{\delta M}{\delta y} = 2$; $ \frac{\delta N}{\delta x} = 2$
-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$
Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados.
Paso 1.
\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & \int (2 x + y) d y + h (x)\\ & = & 2 x \int d y + \int y d y + h (x)\\ & = & 2 x y + \frac{y^2}{2} + h (x)\\ & = & \frac{y^2}{2} + 2 x y + h (x) \end{eqnarray*} |
Paso 2.
\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) & = & M (x, y)\\ \frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{y^2}{2} + 2 x y \right) + h’ (x) & = & x + 2 y\\ 2 y + h’ (x) & = & x + 2 y\\ h’ (x) & = & x \end{eqnarray*} |
Paso 3.
\begin{eqnarray*} h (x) & = & \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y d x\\ & = & \int x d x\\ & = & \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*} |
Paso 4.
\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & c\\ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} & = & c \end{eqnarray*} |
La solución es:
$ \Large \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$
La representación gráfica en 3D de las curvas solución del Ejemplo 3, se muestra en la Figura 1 y 2.
En la Figura 1, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$
En la Figura 2, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$
Les dejo el código de MATHEMATICA para obtener las gráficas y la solución del ejemplo 3 de acuerdo a los 4 pasos escritos en éste artículo.
Clear[P, Q] P[x_, y_] := (x + 2*y) Q[x_, y_] := (2*x + y) (*Criterio de EXACTITUD*) xx = Exct == Simplify[D[P[x, y], y] - D[Q[x, y], x]] (* Es exacta? *) (*Paso 1*) f3 = fx == Integrate[Q[x, y], y] + h[x] (*Paso 2*) df3 = D[f3[[2]], x] == P[x, y] (*Paso 3*) s3 = Solve[df3, h'[x]] // Expand (*Paso 4*) sf3 = hx == Integrate[s3[[1, 1, 2]], x] sg3 = f == Evaluate [f3[[2]] /. h[x] -> sf3[[2]]] // Expand s1 = Solve[sg3[[2]] == c, c] // Expand (* COMPROBACIÓN *) eqn = y'[x] == -P[x, y[x]]/Q[x, y[x]] (* Activar si es necesario *) sol = DSolve[eqn, y[x], x] // Simplify sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -8, 8}]; Plot[Tooltip[sols], {x, .1, 5}, PlotRange -> {-500, 500}, PlotStyle -> Thick] ContourPlot[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, PlotPoints -> 100] Plot3D[Evaluate[s1[[1, 1, 2]] /. {y[x] -> y}], {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, MeshFunctions -> {#3 &}, Mesh -> 15, PlotPoints -> 100] Plot3D[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, PlotPoints -> 100]
Ecuaciones Diferenciales Exactas Ejemplos. Video
Aquí te dejo éste video para dejar claro, de una vez por todas, ¿Qué es una ecuación diferencial exacta? y ¿Cómo se construye el método de solución? entre otras cosas. Estoy seguro que te servirá mucho 😉
Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones
Para que obtengas la confianza necesaria deberás practicar los ejercicios con las técnicas que te presento antes de analizarlos para preparar tu mente, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tendrás la información necesaria para que tu mente entienda con facilidad los conceptos más abstractos.
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Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. 😉
Esta bien explicado todo paso por paso me gusta
Ira, gracias por tu comentario.
Esa es la idea, que sirva de ayuda efectiva. 😉
Saludos
Buenos días. discúlpa podrías ayudarme con está ecuación (x^2 + y/x)dx +(lnx+2y)dy=0 muchas gracias.
Buenas podrias ayudarme con esta ecuacion?:
(3y^2-x^2)y^-5dy + x/2y^-4dx=0
Gracias 🙂
Ale
Una disculpa por no haber podido responder antes =S
Mi interpretación del ejercio es:
$$(3y^{2}-x^{2})y^{-5}dy+\frac{x}{2}y^{-4}dx=0$$
Es correcta?
Te agradezco me señales si estoy interpretando bien la ED.
Te rrespondo lo más pronto posible
Saludos
por que en ocasiones se integra a N? por ejemplo en el ejercicio No. 2
Porque es la única forma o por que es la opción más sencilla
Gracias!!
Hola tengo una pregunta acerca de esta ecuación diferencial exacta: (2ye^x)dx + (4e^x+5y^3)dy = 0, ya que utilizo el factor integrante «y», la solución que me da es c=2y^2e^x+y^5, y me piden que resuelva el PVI y(0)=1 y no me sale. Cuál es el error?
Hola Laura
Simplemente sustituye en el resultado, es decir en: $y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = C$, para casa valor de $x$ le pones $0$ y para cada valor de $y$ le pones $1$, te debe dar $C = 3$
Desarrollo:
$y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = C$
es igual a:
$y^{5} + 2 \, e^{x}y^{2} = C$
entonces:
$(1)^{5} + 2 \, e^{0} (1)^{2} = C$
Y resuelves para $C$
De modo que:
$(1)^{5} + 2 (1) (1)^{2} = C$
Por lo que:
$C = 3$
Vale muchas gracias. Sabe si el resultado de dicha ecuación es el correcto?
El resulado que me enviaste es correcto, cuando $C = 3$, es decir; $y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = 3$
Hola Alejandro. Si la ecuación no me da exacta en el chequeo previo para aplicar los 4 pasos que debo hacer?
Hola Juan, en el caso que mencionas, lo que debes hacer, en caso de que quieras revisar si puedes convertirla en exacta, puedes buscar un factor integrante, para ese caso, utiliza el siguiente ejemplo: Ecuación Diferencial NO exacta hecha exacta, click aquí
Saludos
Hola Alejandro tengo dudas como hacer esta ecuacion diferencial exacta
(xy^3+1)dx-x^2 y^2 dy = 0
Juan Calos:
M = $xy^{3}+1$
N = $x^{2}y^{2}$
y sigue los pasos del ejemplo, si no es exacta prueva ver si la puedes convertir en una, utiliza ése artículo:ED No exacta hecha Exacta
Espero te sirva la orientación, de todas formas, con gusto te ayudo a detalle si no puedes resolver la ED y sería con costo.
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