Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Ecuación Logística

Al terminar el siguiente artículo podrás resolver cualquier Ecuación Diferencial No lineal en su version de Ecuación Logística de manera ordenada y en solo 4 pasos. Además contarás con el código de MATHEMATICA para simularlas. =)

La técnica presentada para resolver la ecuación logística mediante pasos definidos (descrita más adelante), tiene el objetivo principal de acortar la curva de aprendizaje haciendo asequible el conocimiento repetitivo mediante el estructurar el mismo. Esto puede ser aprovechado por el estudiante o profesor novicio para dedicarse a obtener un CONOCIMIENTO PROFUNDO del tema al utilizar la técnica para INDAGAR en la APLICACIONES del mismo; como dice la Dra. Joe Boaler profesora de matematicas en la Universidad de Stanford: “Las matemáticas …, no se trata de respuestas correctas o equivocadas sin NTERPRETACIÓN, SIN oportunidad para la CREATIVIDAD…” (curso: How to learn Math, for students), refiriendose a la importancia de vincular las matemáticas con conceptos VISUALES o, mejor aún, conceptos de la vida real para encontrale un significado, poder interpretarlas, ENTENDERLAS y crear con ellas.

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 1. Conecciones entre los métodos para encontrar el volumen de una pirámide trunca y el áres de un trapezoide.

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA

PASOS:

  1. Escribir la Ecuación Logística separando sus variables en la ecuación. Es decir:
    1. Tenemos la ecuación logística general:

$ \frac{dP}{dt} = P \left( r – \frac{r}{K} P \right)$

O en su versión reducida:

$ \frac{dP}{dt} = P (a – b P)$

b. Escribimos la ED separando sus variables:

$ \frac{dP}{P \left( r – \frac{r}{K} P \right)} = {dt}$

II. Analizamos la función racional del primer miembro ($ \frac{p (x)}{q(x)} = {dt}$) e identificamos las integrales a resolver.

Para resolver un ED Logística, necesitamos recordar cómo INTEGRAR una función racional. Para este fin, describimos una secuencia de pasos a seguir que la desarrollamos en el artículo: Integración de Funciones Racionales; parte de ésta secuencia se utiliza para resolver las ED que ahora nos ocupan.

Análisis de la función racional para integrar ED Logísticas

  1. Sefactoriza el denominador de la función racional y se identifica qué tipo de integral es. Para éste caso las más comunes son:
    1. Integral del tipo logarítmica: $ \int \frac{dT}{T}$
    2. Integral por fracciones parciales, ejemplo: $ \int\frac{constante}{polinomio} = \int\frac{A_1}{factor_1} + \int \frac{A_2}{factor_2} + \ldots$
    3. Integral:
      • Arco Tangente: $ \int \frac{dT}{1 + T^2}$
      • Arco Tangente hiperbólica: $ \int \frac{dT}{1 – T^2}$
      • del tipo: $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2}$
    4. Una combinación de algunas y/o todas las integrales de los puntos anteriores al descomponer en fraciones mas simples (por ejemplo fracciones parciales).
    5. Por último, recordar que es posible encontrar una integral mas simple que las mencionadas al realizar la factorizacion del denominador de la funcion racional, por ejemplo, encontrar una integral de la forma: $ \int T^n dT$
  2. Este procedimiento es una guía ordenada para abordar este tipo de ED’s, sin embargo las integrales a resolver pueden ser de más tipos, por lo cual habrá que revisar las tablas de integración al toparnos con integrales diferentes a las acá mencionadas.

III. Resolvemos las integrales mediante la técnica e integración correspondiente al tipo de integral:

  1. $ \int \frac{dT}{T} = {Ln} | T | + C$
  2. Fracciones Parciales:
    1. Factores lineales en el denominador. Por cada factor lineal escribimos una fracción del tipo: $ \frac{A}{a x + b}$
    2. Factores cuadráticos en el denominador. Por cada factor cuadratico escribimos: $ \frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$

Nota: Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales para mayor detalle

    C.                 Integral:

  • $ \int \frac{dT}{1 + T^{2}} = {arcTan} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{1 – T^{2}} = {arcTanh} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^{2}} = \frac{1}{2 T} {Ln} \left|\frac{a + T}{a – T} \right| + C$,    $ | T | \neq a$   ó
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2} = \frac{1}{a} {arcTanh} \left(\frac{T}{a} \right) + C$,     $ | T | < a$

D.                Combinacion de las anteriores.

E.                $ \int T^n {dT} = \frac{T^{n + 1}}{n + 1} + C$

 IV. Resolvemos el PVI, mediante la sustitución de los valores iniciales en la función solución.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Ecuación Logística

Ejemplo 1. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

La cantidad $ N (t)$ de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales

$ \frac{dN}{dt} = N (1 – 0.0005 N)$

$ N (0) = 1$

  1. Use el concepto de sistema de fase para predecir cuantos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento en un periodo de tiempo largo. A mano, dibuje una curva solución del problema con valores iniciales dados.
  2. Resuelva el problema con valores iniciales y después utilice un programa de graficación para comprobar y trazar la curva solución del inciso a)  ¿Cuantas compañías se espera adopten la nueva tecnología cuando t=10?

Solución.

  1. Esquema de fase. Ver la presentación: Cómo analizar cualitativamente un Ecuación Diferencial No lineal
  2. Problema del Valor Inicial (PVI):

$ \frac{dN}{dt} = N (1 – 0.0005 N)$

$ N(0)=1$

Pasos:

  1. $ \frac{dN}{N (1 – 0.0005 N)} = {dt}$
  2. Si obtenemos la derivada del denominador de la función racional del primer miembro, nos da: $ (N (1 – 0.005 N))^{‘} = (N – 0.005 N^{2})^{‘} = 1 – 0.01 N$, por tanto, descartamos la técnica de integración letra A del paso III.

   Además, el denominador, no puede ser descompuesto en un mayor numero de factores, pues es de 1er grado, por lo que descartamos la técnica de   integración letra E del paso III.

  Si obtenemos las raices del denominador, igualádolo a cero, vemos que éstas son reales, por lo que podemos utilizar fracciones parciales para realizar la integración de la función. (Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales)

  Procedemos.

  Fracciones Parciales.

  • $ \frac{1}{N (1 – 0.0005 N)} = \frac{A}{N} + \frac{B}{1 -0.0005 N}$

Esto implica

  • $ 1 \equiv A (1 – 0.0005 N) + B N$

  $ 1 \equiv A – 0.0005 A N + B N$

  $ 1 \equiv A + (B – 0.0005 A) N$

  • Igualando términos semejantes para obtener un sistema de ecuaciones lineales, tenemos
\begin{equation}
1 = A
\end{equation}
(1)
\begin{equation}0 = B – 0.005 A
\end{equation}
(2)
  • Resolviendo el sistema

  De (1):

  $ A = 1$

  De (2):

$ 0 = B – 0.0005 A$  $ \Rightarrow$   $ B = 0.0005$

  • Por tanto

$ \frac{1}{N (1 – 0.0005 N)} = \frac{1}{N} + \frac{0.0005}{1 – 0.0005N}$ \]

III. Resolvemos

\begin{eqnarray*}
\frac{{dN}}{N (1 – 0.0005 N)} & = & {dt}\\
\frac{{dN}}{N} + \frac{0.0005 {dN}}{1 – 0.0005 N} & = &
{dt}\\
\int \frac{{dN}}{N} + \int \frac{0.0005 {dN}}{1 – 0.0005 N}
& = & \int {dt} + C\\
\int \frac{{dN}}{N} – \frac{0.0005}{0.0005} \int \frac{- 0.0005
{dN}}{1 – 0.0005 N} & = & \int {dt} + C
\end{eqnarray*}

Integrando

\begin{eqnarray*}
{Ln} | N | – {Ln} | 1 – 0.0005 N | & = & t + C\\
{Ln} \left| \frac{N}{1 – 0.0005 N} \right| & = & t + C\\
\frac{N}{1 – 0.0005 N} & = & e^{t + C}\\
\frac{N}{1 – 0.0005 N} & = & C_1 e^t\\
N & = & C_1 e^t (1 – 0.0005 N)\\
N & = & C_1 e^t – 0.0005 C_1 e^t N\\
N + 0.0005 C_1 e^t N & = & C_1 e^t\\
N & = & \frac{C_1 e^t}{1 + 0.0005 C_1 e^t}
\end{eqnarray*}

 

De modo que la solución es:

$ N (t) = \frac{C_1 e^t}{1 + 0.0005 C_1 e^t}$

IV. Resolviendo el PVI

Sabemos que, $ N (0) = 1$, implica:

\begin{eqnarray*}
N (t) & = & \frac{C_1 e^t}{1 + 0.0005 C_1 e^t}\\
1 & = & \frac{C_1 e^{(0)}}{1 + 0.0005 C_1 e^{(0)}}\\
1 & = & \frac{C_1}{1 + 0.0005 C_1}\\
1 + 0.0005 C_1 & = & C_1\\
1 & = & C_1 – 0.0005 C_1\\
C_1 – 0.0005 C_1 & = & 1\\
C_1 (1 – 0.0005) & = & 1\\
C_1 & = & \frac{1}{1 – 0.0005}\\
C_1 & = & \frac{1}{0.9995}\\
C_1 & = & 1.00050025
\end{eqnarray*}

De modo que la solución particular buscada es:

\begin{equation}
N (t) = \frac{1.00050025 e^t}{1 + 0.0005002501251 e^t}
\end{equation}
(3)

Generalmente en la función solución de una Ecuación Logística se pretende tener en el numerador una cantidad numérica que nos describa el comportamiento a largo plazo del modelo cuando $ t \rightarrow \infty$, dicho comportamniento se puede encontrar en esta solución si dividimos el numerador y el denominador de la misma entre: $ 0.0005002501251 e^{t}$

De modo que tenemos:

\begin{equation}
N (t) = \frac{2000}{1999 e^{- t} + 1}
\end{equation}
(4)

Nota . Esta última forma de la función solución de la Ecuación Logística es la que se debe buscar al resolver ED’s de éste tipo. Es decir, una vez que se ha obtenido la forma de la ecuacion (3), es necesario realizar las divisiones adecuadas entre los valores del numerador y denominador para obtener la forma de la ecuacion (4).

Fundamentalmente, ésta forma de la solución de la Ecuación Logística, es preferible debido a la facilidad con la que se puede leer el comportamiento a largo plazo de la población cuando buscamos su límite si $ t \rightarrow \infty$. Ver el ejemplo (2).

La curva Solución del problema obtenida con MATHEMATICA es:

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 2. Función solución para el PVI

Al final del artículo se presenta el código de MATHEMATICA para corroborar estos resultados.

Ahora, ¿Cuantas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando $ t = 10$?

Resolvemos la pregunta anterior cuando evaluamos $ N (t)$, cuando $ t =10$.

\begin{eqnarray*}
N (t) & = & \frac{2000}{1999 e^{- t} + 1}\\
N (10) & = & \frac{2000}{1999 e^{- (10)} + 1}\\
N (10) & = & \frac{2000}{0.090754459 + 1}\\
N (10) & = & \frac{2000}{1.090754459}\\
N (10) & = & 1833.5932
\end{eqnarray*}

De modo que la respuesta es que: 1834 compañías se espera que adopten la nueva tecnología.

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Ejemplo 2. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)

Un modelo para la poblacion $ P (t)$ en un suburdio de una gran ciudad esta descrito por el problema con valores iniciales:

$ \frac{{dP}}{{dt}} = P (10^{- 1} – 10^{- 7} P)$

$ P (0) = 5000$

donde $ t$ se expresa en meses.

Pregunta 1. ¿Cual es el valor limite de la poblacion ?

Pregunta 2. ¿Cuanto tardara la poblacion en alcanzar la mitad de ese valor limite?

Solución

Respuestas a las preguntas.

P1. ¿Cual es el valor limite de la poblacion?

Para responder a ésta pregunta podemos seguir, al menos, dos caminos, el del análisis cualitativo y el de resolver analíticamente la ED. Acá utilizaremos el segundo, que es el que utiliza los pasos que hemos mensionado con anterioridad.

Pasos:

$ \frac{{dP}}{P (10^{- 1} – 10^{- 7} P)} = {dt}$

     II. Descartamos técnicas de integración A y E del paso III. Leer el paso II del ejemplo 1 para mayor detalle.

   Si obtenemos las raices del denominador, igualándolo a cero, vemos que éstas son reales, por lo que podemos utilizar fracciones parciales. (Ver artículo: Integración de Funciones Racionales)

Procedemos.

Fracciones Parciales

  • $ \frac{1}{P (10^{- 1} – 10^{- 7} P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{10^{- 1} – 10^{- 7} P}$

Esto implica:

$ 1 \equiv A (10^{- 1} – 10^{- 7} P) + B P$

$ 1 \equiv A10^{- 1} – A10^{- 7} P + B P$

$ 1 \equiv A 10^{- 1} + P (B – A 10^{- 7})$

  • Igualando términos semejantes para obtener un sistema de ecuaciones lineales, tenemos
\begin{equation}
1 = A 10^{- 1}
\end{equation}
(5)
\begin{equation}
0 = B – A 10^{- 7}
\end{equation}
(8)
  • Resolviendo el sistema

De (1), tenemos:

$ A = \frac{1}{10^{- 1}} = 10^1 = 10$

De (2), tenemos:

$ B = A 10^{- 7}$

$ B = (10) 10^{-7}$

$ B = \frac{10}{10^{7}} = \frac{1}{10^{-6}}=10^{-6}$

  • Por tanto

$ \frac{1}{P (10^{- 1} – 10^{- 7} P)} = \frac{10}{P} + \frac{10^{-6}}{10^{- 1} – 10^{- 7} P}$

III. Resolvemos

\begin{eqnarray*}
\frac{{dN}}{N (1 – 0.0005 N)} & = & {dt}\\
\frac{10 {dP}}{P} + \frac{10^{- 6} {dP}}{10^{- 1} – 10^{- 7}
P} & = & {dt}\\
\int \frac{10 {dP}}{P} + \int \frac{10^{- 6} {dP}}{10^{- 1} (1
– 10^{- 6} P)} & = & \int {dt} + C\\
10 \int \frac{{dP}}{P} + \int \frac{10^{- 5} {dP}}{1 – 10^{-
6} P} & = & \int {dt} + C\\
10 \int \frac{{dP}}{P} + 10^{- 5} \int \frac{{dP}}{1 – 10^{-
6} P} & = & \int {dt} + C\\
10 \int \frac{{dP}}{P} – \frac{10^{- 5}}{10^{- 6}} \int \frac{-
10^{- 6} {dP}}{1 – 10^{- 6} P} & = & \int {dt} + C\\
10 \int \frac{{dP}}{P} – 10 \int \frac{10^{- 6} {dP}}{1 –
10^{- 6} P} & = & \int {dt} + C
\end{eqnarray*}

Integrando

\begin{eqnarray*}
10 {Ln} (P) – 10 {Ln} (1 – 10^{- 6} P) & = & t + C\\
10 [{Ln} P – {Ln} (1 – 10^{- 6} P)] & = & t + C\\
10 {Ln} \left( \frac{P}{1 – 10^{- 6} P} \right) & = & t + C\\
{Ln} \left( \frac{P}{1 – 10^{- 6} P} \right) & = & \frac{t +
C}{10}\\
\frac{P}{1 – 10^{- 6} P} & = & e^{\left( \frac{t + C}{10} \right)}\\
\frac{P}{1 – 10^{- 6} P} & = & e^{\frac{t}{10}} e^{\frac{C}{10}}\\
\frac{P}{1 – 10^{- 6} P} & = & C_1 e^{\frac{t}{10}}\\
P & = & C_1 e^{\frac{t}{10}} (1 – 10^{- 6} P)\\
P & = & C_1 e^{\frac{t}{10}} – 10^{- 6} C_1 e^{\frac{t}{10}} P\\
P + 10^{- 6} C_1 e^{\frac{t}{10}} P & = & C_1 e^{\frac{t}{10}}\\
P \left( 1 + 10^{- 6} C_1 e^{\frac{t}{10}} \right) & = & C_1
e^{\frac{t}{10}}\\
P & = & \frac{C_1 e^{\frac{t}{10}}}{1 + 10^{- 6} C_1 e^{\frac{t}{10}}}
\end{eqnarray*}

De modo que la solución es:

$ P(t) = \frac{C_{1}e^{\frac{t}{10}}}{1+10^{-6}C_{1}e^{\frac{t}{10}}}$

IV. Resolviendo el PVI

Sabemos que, $ P (0) = 5000$, entonces:

\begin{eqnarray*}
P (t) & = & \frac{C_1 e^{\frac{t}{10}}}{1 + 10^{- 6} C_1
e^{\frac{t}{10}}}\\
5000 & = & \frac{C_1 e^{\frac{(0)}{10}}}{1 + 10^{- 6} C_1
e^{\frac{(0)}{10}}}\\
5000 & = & \frac{C_1 e^0}{1 + 10^{- 6} C_1 e^0}\\
5000 & = & \frac{C_1}{1 + 10^{- 6} C_1}\\
5000 (1 + 10^{- 6} C_1) & = & C_1\\
5000 + (5000) 10^{- 6} C_1 & = & C_1\\
5000 & = & C_1 – (5000) 10^{- 6} C_1\\
5000 & = & C_1 (1 – (5000) 10^{- 6})\\
\frac{5000}{1 – (5000) 10^{- 6}} & = & C_1\\
C_1 & = & \frac{5000}{1 – 0.005}\\
C_1 & = & \frac{5000}{0.995}\\
C_1 & = & 5025.1256
\end{eqnarray*}

De modo que la solución particular buscada es:

\begin{equation}
P (t) = \frac{5025.1256 e^{\frac{t}{10}}}{1 + 10^{- 6} (5025.1256)
e^{\frac{t}{10}}}
\end{equation}
(7)

Dividimos tanto el numerador como el denominador del segundo miembro de la solución $ P (t)$ entre la cantidad, $ 10^{- 6} (5025.1256)e^{\frac{t}{10}}$. Ver el punto IV del ejemplo 1.

De ésta forma obtenemos una función solución $ P (t)$, que tenga la forma de la ecuación (4), la cual nos permite leer fácilmente el comportamiento a largo plazo del modelo de población cuando obtenemos su límite si $ t \rightarrow \infty$.

De modo que:

$ \large P (t) = \frac{5025.1256 e^{\frac{t}{10}}}{1 + 10^{- 6} (5025.1256)e^{\frac{t}{10}}} \ast \frac{\frac{1}{10^{- 6} (5025.1256)e^{\frac{t}{10}}}}{\frac{1}{10^{- 6} (5025.1256) e^{\frac{t}{10}}}}$

Realizando la multiplicación, vemos que la ecuacion (7) se transforma en:

$ \large P (t) = \frac{1000000}{199 e^{- \frac{t}{10}} + 1}$

Ahora, para responder a la pregunta: ¿Cual es el valor limite de la poblacion ?

Calculamos el límite de la función $ P (t)$ cuando $ t \rightarrow\infty$, de manera que:

$ Lim_{t \rightarrow \infty} P (t) = Lim_{t \rightarrow\infty} \frac{1000000}{199 e^{- \frac{t}{10}} + 1}$

Esto implica:

\begin{eqnarray*}
{Lim}_{t \rightarrow \infty} \frac{1000000}{199 e^{- \frac{t}{10}}
+ 1} & = & \frac{1000000}{199 e^{- \frac{\infty}{10}} + 1}\\
& = & \frac{1000000}{\frac{199}{e^{- \frac{\infty}{10}}} + 1}\\
& = & \frac{1000000}{0 + 1}\\
& = & \frac{1000000}{1}\\
& = & 1000000
\end{eqnarray*}

Por tanto, el valor límite de la poblacion es: 1,000,000

La curva solución del problema obtenida con MATHEMATICA es:

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 3. Función solución para el PVI

P2. ¿Cuanto tardara la poblacion en alcanzar la mitad de ese valor limite?

Para responder ésta pregunta, vemos que habrá que calcular el tiempo cuando, $ P (t) = 500000$, de modo que:

\begin{eqnarray*}
P (t) & = & \frac{1000000}{199 e^{- \frac{t}{10}} + 1}\\
500000 & = & \frac{1000000}{199 e^{- \frac{t}{10}} + 1}\\
500000 \left( 199 e^{- \frac{t}{10}} + 1 \right) & = & 1000000\\
99500000 e^{- \frac{t}{10}} & = & 1000000 – 500000\\
e^{- \frac{t}{10}} & = & \frac{500000}{99500000}\\
e^{- \frac{t}{10}} & = & 5.02512 \times 10^{- 3}\\
– \frac{t}{10} & = & {Ln} (5.02512 \times 10^{- 3})\\
– t & = & 10 {Ln} (5.02512 \times 10^{- 3})\\
t & = & – 10 {Ln} (5.02512 \times 10^{- 3})\\
t & = & 52.93
\end{eqnarray*}

Por tanto, la población tardará 52.93 meses en alcanzar la mitad de la población límite.

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CÓDIGO DE MATHEMATICA

Código para resolver el Ejemplo 1.

Clear["Global`*"]
soln = DSolve[{n'[t] == n[t]*(1 - 0.0005*n[t]), n[0] == 1}, n[t], t]
"REDUCIENDO LA FUNCIÓN SOLUCIÓN A LA EXPRESION BUSCADA"
InputForm[%]
"Multiplicamos el NUMERADOR por e^-t"
InputForm[%]
n = numerador == Numerator[soln[[1, 1, 2]]]*(1/Exp[t])
"Multiplicamos el DENOMINADOR por e^-t"
InputForm[%]
d = denominador == Denominator[soln[[1, 1, 2]]]*(1/Exp[t]) // Expand
(*Graficando el resultado*)
p1 = Plot[soln[[1, 1, 2]], {t, -0.5, 16}, PlotRange -> {-1, 2050}, 
 PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, AxesLabel -> {"t", "P(t)"}, 
 Epilog -> {Dashed, Black, Line[{{0, 2000}, {15, 2000}}]}]

 

NOTA Es importante que al pegar el código en MATHEMATICA corroboren que no haya espacios ni caracteres diferentes a los acá puestos, además de confirmar que la variable independiente (“x”, en este caso), sea de color verde y la dependiente (“y” en este caso), sea de color azul.

Una de las formas efectivas de aprender cualquier cosa se obtiene al aplicar los conocimientos y “hacer” lo que se ha aprendido, no sin antes entender cómo funciona nuestro cerebro.

En mi artículo “La técnica perfecta. Cómo aprender ecuaciones diferenciales o cualquier cosa“, hablo de cómo con la conciencia adecuada del funcionamiento del cerebro y las herramientas apropiadas, puedes rápidamente adquirir conocimiento en cualquier área.

Para entender y aplicar los conocimiento de Ecuaciones Diferenciales hoy en día es indispensable la programación, por eso te invito a aprender a programar de una vez por todascon el curso que te presento en el siguiente link, da click aquí.

Puedes empezar a programar utilizando las celdas de SAGE que he habilitado en este sitio para tal efecto; aquí puedes ver unos ejemplos (click aquí) de su aplicación, una vez visto dichos ejemplos escribe tus propios códigos en esta celda, da click aquí y haz tu simulación.

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Para cualquier comentario, sugerencia o duda puedes utilizar el cuadro de comentario de abajo o contáctanos aquí.

Que estes bien. 😉

2 pensamientos en “Ecuaciones Diferenciales No Lineales

  1. hola necesito si me puedes ayudar con esto por favor es de vida o muerte.

    4: Proponga un sistema de EDO no lineal el cual tenga una aplicacion en el control,
    la electricidad o la electronica, describiendo como se obtiene el modelo y cuales
    son las leyes fsicas que lo rigen. Calcule los puntos de equilibrio del sistema y
    determine la linealizacion de este en los puntos obtenidos.

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