Funcion Error: solución de una Ecuacion Diferencial expresada como Función Error

Funcion Error. Cómo utilizar la funcion error $ \text{erf}\left( x \right)$ , para expresar una solución o función que incluya una integral no elemental.

Al finalizar  el artículo podrás utilizar y entender fácilmente cómo implementar la función error para expresar funciones con integrales no elementales.

La utilidad de ésta función (error) es despejar nuestra función de salida de la integral no elemental; esto lo logramos mediante recordar que:

$\huge \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\sqrt{\pi }$(1)

Lo cual sabemos del cálculo multivariable y que podemos integrar utilizando integrales dobles y un cambio de variables a coordenadas polares para comprobar, siga este link.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 37).

De modo que si tomamos la mitad de la función en (1), tenemos:

$\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x$(2)

Por tanto, utilizando la propiedad de la unión de intervalos:

$\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$(3)

Y de (2) y (3), tenemos:

$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left( \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-t}}\text{d}{{t}^{2}} \right)=1$

$=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t+\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=1$

De donde obtenemos las siguiente definiciones:

FUNCION ERROR:

$\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$(4)

FUNCION ERROR COMPLEMENTARIA:

$\text{e}rfc\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$(5)

Una opción alterna para relacionar la ecuación (2) con las integrales no elementales, es:

$\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{dx}$ es equivalente a $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t=\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$

Donde, habiendo considerado la veracidad de la ecuación (2), solo reataría comprobar que:

$\int_{\infty }^{0}e^{-{t^{2}}}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$(6)

Una vez explicado brevemente (y de una manera para invocar la intuición) el origen de la función error, procedemos igual que siempre a solucionar nuestra ED lineal por medio de los 4 pasos:

Tenemos:

Encontrar la solución del PVI:

$ \Large {{y}^{\prime }}-2xy=1$,        $\Large y\left( 1 \right)=1$

Buscamos:

Solución en términos de la función error.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 37).

Pasos:

I. Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+p\left( x \right)y=f(x)$

 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy=1$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}$,          $P\left( x \right)=2x$

${{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}={{\text{e}}^{-2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}={{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:$\frac{\text{dy}}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=0$, ${{y}_{c}}=C{{\text{e}}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}$               (Ecuaciones Generales)

 

$y_{c}=C_{1}{{\text{e}}^{2\mathop{\int }^{}x\text{d}x}}$

$={{C}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=f\left( x \right)$,                      ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}p\left( x \right)\text{d}x}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}f\left( x \right)\text{d}x$   (Ecuaciones Generales)

 

$\displaystyle {{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\left( 1 \right)\text{d}x$

$={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x$

Por tanto, la solución del PVI es: $y=y_{c}+y_{p}$

$y={{c}_{1}}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}\text{d}x$

Utilizamos ahora la función error y el Teorema Fundamental del Cálculo:

$\int{{{\text{e}}^{-{{x}^{2}}}}}=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$                 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Por tanto, considerando la ecuación (4) y despejando la integral no elemental, tenemos:

$\text{e}rf\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$

Por tanto, La solución del PVI en términos de la función error, es:

$y_{p}={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{\text{e}}^{-{{t}^{2}}}}\text{d}t$

$={{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\left[ \frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{e}rf\left( x \right) \right]=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)$

$y_{c}=c_{1}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}$

De donde:

$y=y_{c}+y_{p}$

$\Large y=c_{1}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{e}rf\left( x \right)$

Sustituyendo los valores iniciales:

Tenemos:

$1=c_{1}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{\left( 1 \right)}^{2}}}}\text{erf}\left( 1 \right)$

$\Rightarrow 1=c_{1}\text{e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}\left( 1 \right)$

$\Rightarrow 1=\text{e}\left( c_{1}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}\left( 1 \right) \right)$

$\Rightarrow \frac{1}{\text{e}}=c_{1}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}\left( 1 \right)$

$\Rightarrow c_{1}={{\text{e}}^{-1}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}\left( 1 \right)$

De modo que la solución del PVI, es:

$\Large y=\left( {{\text{e}}^{-1}}-\sqrt{\frac{\pi }{2}}\text{erf}\left( 1 \right) \right){{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{erf}\left( x \right)$

$\Large y={{\text{e}}^{-1+{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{erf}\left( 1 \right)+\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{\text{e}}^{{{x}^{2}}}}\text{erf}\left( x \right)$

Para calcular los valores de la función error en MATHEMATICA podemos utilizar el siguiente código:

Clear["Global`*"]
Limit[Integrate[Exp[-t^2],{t,0,x}],x->Infinity]
TableForm[Table[{x,Erf[x]},{x,-1,2,0.05}],
TableHeadings->{None,{"x","Erf(x)"}}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-10,10}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,-1,1}]
Plot[{Erf[x],Erfc[x]},{x,0,2}]

Nota: Es importante que a la hora de pegar el código en MATHEMATICA se cercioren de que la distribución de los comandos quede igual a como se muestra acá. Además de que no existan caracteres diferentes a os mostrados acá y que las variables independiente y dependiante sean de color verde y azul respectivamente (en este caso”x” y “t” deben ser de color verde). 

Los valores obtenidos, se muestran en la siguiente tabla:

x

Erf(x)

1

-1

-0.842701

2

-0.95

-0.820891

3

-0.9

-0.796908

4

-0.85

-0.770668

5

-0.8

-0.742101

6

-0.75

-0.711156

7

-0.7

-0.677801

8

-0.65

-0.642029

9

-0.6

-0.603856

10

-0.55

-0.563323

11

-0.5

-0.5205

12

-0.45

-0.475482

13

-0.4

-0.428392

14

-0.35

-0.379382

15

-0.3

-0.328627

16

-0.25

-0.276326

17

-0.2

-0.222703

18

-0.15

-0.167996

19

-0.1

-0.112463

20

-0.05

-0.056372

21

0

0

22

0.05

0.056372

23

0.1

0.112463

24

0.15

0.167996

25

0.2

0.222703

26

0.25

0.276326

27

0.3

0.328627

28

0.35

0.379382

29

0.4

0.428392

30

0.45

0.475482

31

0.5

0.5205

32

0.55

0.563323

33

0.6

0.603856

34

0.65

0.642029

35

0.7

0.677801

36

0.75

0.711156

37

0.8

0.742101

38

0.85

0.770668

39

0.9

0.796908

40

0.95

0.820891

41

1

0.842701

42

1.05

0.862436

43

1.1

0.880205

44

1.15

0.896124

45

1.2

0.910314

46

1.25

0.9229

47

1.3

0.934008

48

1.35

0.943762

49

1.4

0.952285

50

1.45

0.959695

51

1.5

0.966105

52

1.55

0.971623

53

1.6

0.976348

54

1.65

0.980376

55

1.7

0.98379

56

1.75

0.986672

57

1.8

0.989091

58

1.85

0.991111

59

1.9

0.99279

60

1.95

0.994179

61

2

0.995322

Por último, graficamos los valores obtenidos:

Funcion Error, gfrafica

El intervalo de la gráfica es de $-10~\le x\le 10$ y su rango $ -1~\le y\le 2$.

funcion error

El intervalo de la gráfica es de $ -1~\le x\le 1$ y su rango $ -1~\le y\le 2$.

Funcion Error

El intervalo de la gráfica es de $0~\le x\le 2$ y su rango $0~\le y\le 1$.

Da un paso adelante y descarga este mismo ejercicio y además con un desarrollo básico del código de MATHEMATICA para resolverlo. Para DESCARGARLO da click aquí.

Para dominar cualquier tema te invito a dedicarte diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas de tus estudio en esta fascinante materia.

Otra fórmula infalible, y seguramente más conveniente para lidiar con los problemas actuales que incluye EDO’s y simulación de sistemas, es resolver los ejercicios utilizando técnicas de programación. En la actualidad, es importante poseer conocimientos sólidos de programación y simulación por computadora, pero los software son muy caros de adquirir. Sin embargo existen alternativas que son utilizadas a nivel científico en todo el mundo para realizar simulación de sistemas ingenieriles, físicos y/o computación científica en general como el software SAGE, desarrollado por la una gran comunidad científica internacional. Para aprender a simular tus EDO’s en este lenguaje sencillo de aprender descarga el siguiente archivo y corre los códigos de SAGE en la página de Haz tu simulación, de este sitio BLOG.

 

Descarga este mismo ejercicio resuelto, con el plus adicional, que incluye:

  1. Una explicación mas detallada del ejercicio,
  2. Una EXPLICACIÓN DETALLADA del CÓDIGO EN MATHEMATICA y SAGE para resolverlo.
  3. El archivo .nb para correr en MATHEMATICA y
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  5. La simulación gráfica en MATHEMATICA y SAGE
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