Integral $\int e^{-t} \sin{t} dt$ o $\int e^{-t} \cos{t} dt$

¿Cómo resolver una integral del tipo: $\int e^{-t} \sin{t} dt$?

En éste artículo aprenderás a resolveremos, de una vez y para siempre, la integral $\large \int e^{-t}\sin{t}$ (o la integral $\int e^{-t} \cos{t} dt$) o todas las de éste tipo, por el método mas efectivo, directo y elegante que existe que es el método de integración de funciones exponenciales complejas; además, realizaremos la misma integral por el método mas utilizado que es el método de integración por partes.

Terminando el artículo no volveras a terner dudas de cómo resolver este tipo de integrales, esenciales para la Transformadas de LaPlace, las series de Fourier, la Transformada Integral, entre otros. 😉

integral e^-t sint dt

Metodología utilizada:

  1. Conversión de la integral trigo
  2. nométrica a integral de una función exponencial compleja
  3. Resolvemos la integral para la función compleja obtenida

Para resolver éste tipo de integral mediante funciones exponenciales complejas necesitaremos recordar los conceptos de:

      • Ley de suma de los exponentes

$e^{x}e^{y} = e^{(x+y)}$

$e^{iy} = \cos{y}+i\sin{y}$

      • Obtención de la parte Real($Re$) e Imaginaria($Im$) de un Número Complejo:

$Re\left(\cos{y}+i\sin{y}\right) = \cos{y}$

$Im\left(\cos{y}+i\sin{y}\right) = \sin{y}$

Notar que la parte imaginaria no incluye la unidad imaginaria $i$

Donde:

$Re \left( …\right)$ = Parte REAL

$Im \left( …\right)$ = Parte IMAGINARIA

La FORMULA para INTEGRAR FUNCIONES EXPONENCIALES, es:

$$\large \int e^{-ax}dx = -\frac{1}{a}e^{-ax}$$
Comprobación con SAGE de la fórmula de integración para funciones exponenciales:

 

  1. Extraer la PARTE REAL de una FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA

¿Cómo utilizar los conceptos anteriores para aclarar el procedimiento para Integrar un Función Exponencial Compleja?

El proceso de convertir una integral del tipo: $\Large \int e^{t}\sin{t}$ en una integral de función compleja, se llama COMPLEXIFICACIÓN, y procedemos según la metodología descrita:

Conversion de la integral trigonométrica a la de una integral de función compleja

Para éste fin, hacemos uso de la Formula de Euler:

$$e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}$$

la cual es el vínculo entre las funciones trigonométricas y las funciones complejas. De modo que observamos que si tenemos una función exponencial del tipo:

$$e^{(a+ib)}$$

la cual equivale a:

$$e^{a}e^{ib}$$

podemos, por la ley de los exponentes y la Fórmula de Euler, escribir la última relación como:

$$e^{a}e^{ib} = e^{a} \left( \cos{b} + i \sin{b}\right) $$

Donde lo importante es notar que la relación antrior se compone de una parte real y una imaginaria, es decir:

\begin{eqnarray*}
e^{a}e^{ib}=e^{a}\left( \cos{b} + i \sin{b}\right)  & = & \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{ccccc}
Re \left(e^{a} \cos{b} + i \sin{b} \right) = e^{a} \cos{b} & \\
Im \left(e^{a} \cos{b} + i \sin{b}\right) = e^{a} \sin{b} & &
\end{array} \right.
\end{array}
\end{eqnarray*}

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Ejemplos Resueltos: Integrando una Función Exponencial Compleja

¿Cómo resolver la integral: $\int e^{-t}\sin{t}dt$ ? mediante Integración de Funciones Complejas

Ejemplo 1: Resolver el problema:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt$$

Solución:

Paso 1.
Reconocemos:

$\large e^{-t}\sin{t}=$ parte imaginaria de $\large e^{(-t+it)}dt$

O, escrito en simbología matemática:

$\large e^{-t}\sin{t}=$ $\large Im \left(e^{(-1+i)t} \right)$

Escribimos la integral del problema en términos de una integral de una función compleja, tenemos:
$$\large \int e^{(-1+i)t}dt$$
Paso 2.
Integramos:
$$\large \int e^{-t}\sin{t}dt = Im \left(\int e^{(-1+i)t}dt \right)$$

Aplicando la FÓRMULA para INTEGRACIÓN de FUNCIONES EXPONENCIALES, tenemos:

$$\large \int e^{(-1+i)t}dt = \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i}$$

Paso 3.

Ahora, nos corresponde encontrar la parte Imaginaria de nuestro resultado, y para eso, procedemos como sigue:

$$Im \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) = Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{(-1+i)t} \right)$$

Utilizando la FÓRMULA DE EULER Y la ley de los exponentes, desarrollamos nuestro resultado, como sigue:

\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) & = & Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}e^{it} \right) \\ & = & Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) \end{eqnarray*}

Parte Imaginaria del Resultado

Multiplicamos por el conjugado del denominador de la fracción:

$\large \frac{1}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{-1-i}{1-(-1)} = \frac{-1-i}{1+1} = \frac{-1-i}{2}$

De modo que:

$Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) = Im \left( \frac{-1-i}{2}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

Sustraemos los términos constantes:

$ \frac{e^{-t}}{2} Im \left(\left(-1-i \right) \left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

Realizamos las multiplicaciones del parentesis:

$ \frac{e^{-t}}{2} Im \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) $

Procedemos a multiplicar, como sigue:

\begin{eqnarray*} & &\frac{e^{-t}}{2} Im \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Im \left( \left(-\cos{t}-i\sin{t} \right) – \left(i\cos{t}+i^{2}\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Im \left( \left(-\cos{t}-i\sin{t} \right) – \left(i\cos{t}-\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Im \left( -\cos{t}-i\sin{t} – i\cos{t}+\sin{t} \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Im \left( \left(-\cos{t}+\sin{t} \right) + \left(-i\cos{t}-i\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} \left[Im \left( -\cos{t}+\sin{t}\right) + Im \left(-i\sin{t} – i\cos{t} \right)\right] \end{eqnarray*}

Donde, $Im \left( -\cos{t}+\sin{t}\right)$, no es la parte imaginaria pues NO tiene unidad inaginaria $i$, de modo que, la parte imaginaria es:

$$Im \left(-i\sin{t} – i\cos{t} \right) = Im(-i \left( \sin{t}+\cos{t}\right)) = -\left( \sin{t}+\cos{t}\right)$$

Por tanto:

$$ Im\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right) = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right) $$

Es decir, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)$$

Comprobando con SAGE la integración de la integral NO definida, $\large \int e^{-t}\sin{t}dt$ :

Ahora, si tuvieramos límites que evaluar:

$$\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt = \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty} $$
La evaluación la realizamos como sigue:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[ -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left[ e^{-t} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ e^{-(\infty)} \left( \sin{\infty}+\cos{\infty}\right)\right] – \left[ e^{-(0)} \left( \sin{0}+\cos{0}\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ 0 \right] – \left[ e^{0} \left( 1+0\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( -e^{0} \left( 1\right) \right) \\ & = & \frac{ e^{0}}{2} \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Comprobando con SAGE, integramos la integral definida, $\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt$ :

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Ejemplo 2: Resolver el problema:

$$\Large \int e^{-t}\cos{t}dt$$

Solución:

Paso 1.
Reconocemos:

$\large e^{-t}\cos{t}=$ parte real de $\large e^{(-t+it)}dt$

$\Rightarrow \large e^{-t}\cos{t}=$ $\large Re \left(e^{(-1+i)t} \right)$

Escribimos la integral del problema en términos de una integral de una función compleja, tenemos:
$$\large \int e^{(-1+i)t}dt$$
Paso 2.
Integramos:
$$\large \int e^{-t}\cos{t}dt = Re \left(\int e^{(-1+i)t}dt \right)$$

$$\large \int e^{(-1+i)t}dt = \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i}$$

Paso 3.

Encontrando la Parte Real, de nuestro resultado:

\begin{eqnarray*} Re \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{(-1+i)t} \right) \\ & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}e^{it} \right) \\ & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) \end{eqnarray*}

Parte Real del Resultado

Procedemos igual que en el problema anterior:

$\large \frac{1}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{-1-i}{1-(-1)} = \frac{-1-i}{1+1} = \frac{-1-i}{2}$

$\Rightarrow Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) = Re \left( \frac{-1-i}{2}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

Es decir:

$\Rightarrow Re \left( \frac{-1-i}{2}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) = \frac{e^{-t}}{2} Re \left(\left(-1-i \right) \left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

De Donde:

$\Rightarrow \frac{e^{-t}}{2} Re \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) $

Procedemos a multiplicar, como en el problema anterior:

\begin{eqnarray*} & &\frac{e^{-t}}{2} Re \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Re \left( \left(-\cos{t}-i\sin{t} \right) – \left(i\cos{t}-\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Re \left( \left(-\cos{t}+\sin{t} \right) + \left(-i\cos{t}-i\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} \left[Re \left( -\cos{t}+\sin{t}\right) + Re \left(-i\sin{t} – i\cos{t} \right)\right] \end{eqnarray*}

Donde, $Re \left( -i\sin{t} – i\cos{t}\right)$, no es la parte real pues TIENE la unidad imaginaria $i$, de modo que, la parte real es:

$$Re \left(-\cos{t} + \sin{t} \right) = Re(- \left( \cos{t} – \sin{t}\right)) = -\left( \cos{t} – \sin{t}\right)$$

Por tanto:

$$ Re\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right) = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t} – \sin{t}\right) $$

Es decir, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\cos{t}dt = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t} – \sin{t}\right)$$

Comprobando con SAGE la integración de la integral NO definida, $\large \int e^{-t}\cos{t}dt$ :

Ahora, si tuvieramos límites que evaluar:

$$\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt = \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty} $$
La evaluación la realizamos como sigue:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[ -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left[ e^{-t} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ e^{-(\infty)} \left( \cos{\infty}-\sin{\infty}\right)\right] – \left[ e^{-(0)} \left( \cos{0}-\sin{0}\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ 0 \right] – \left[ e^{0} \left( 1-0\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( -e^{0} \left( 1\right) \right) \\ & = & \frac{ e^{0}}{2} \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Comprobando con SAGE, integramos la integral definida, $\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos{t}dt$ :

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¿Cómo resolver la integral: $\int e^{-t}\sin{t}dt$ ? mediante Integración por Partes

Ejemplo 3: Resolver el problema:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt$$

Solución:

 

Integramos por partes:

$u = \sin{t}$,
$du = \cos{t}dt$,

$dv = e^{-t}dt$,
$v = -e^{-t}$

 

Para éste fin, utilizamos la formula:

$\int udv = uv – \int vdu$

Por tanto, desarrollando la integral:

$$\int e^{-t}\sin{t} = -e^{-t}\sin{t} + \int e^{-t}\cos{t}dt$$

Integramos por partes:

$\int e^{-t}\cos{t}dt$

$u = \cos{t}$,
$du = -\sin{t}dt$,

$dv = e^{-t}dt$,
$v = -e^{-t}$

De modo que:

\begin{eqnarray*} \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t}\sin{t} + \int e^{-t}\cos{t}dt\\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t}\sin{t} + \left[\int e^{-t}\cos{t}dt\right] \\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} +\left[- e^{-t}\cos{t} – \int e^{-t}\sin{t}dt\right] \end{eqnarray*}

Y continuando el desarrollado:

\begin{eqnarray*} \int e^{-t}\sin{t} + \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} – e^{-t}\cos{t} \\ 2\int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} – e^{-t}\cos{t} \\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right) \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t} = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right)$$

Por último, evaluando límites:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right)\right]_{0}^{\infty} \\ & = & -\frac{1}{2}\left[ \left(e^{-\infty}\sin{\infty} + e^{-\infty}\cos{\infty}\right) – \left(e^{-0}\sin{0} + e^{-0}\cos{0}\right)\right] \\ & = & -\frac{1}{2}\left[ \left(0\right) – \left(1*0 + 1*1\right)\right] \\ & = & \frac{1}{2} \left(1\right) \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Recordar que:
$e^{-\infty} = 0$

 

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