Metodo de Euler para Ecuaciones Diferenciales con SAGE

Al terminar este artículo podrás resolver TODAS tus ecuaciones diferenciales con valores iniciales con el Metodo de Euler para ecuaciones diferenciales con SAGE. El método es implementado en SAGE el cual es un software libre para simulación científica SAGE. La programación y simulación con dicho lenguaje es muy sencillo y podrás simular tus ejercicios aquí mismo.

Se ponen ejemplo resueltos con SAGE de los ejercicios vistos en artículos anteriores. Ver los enlaces específicos para cada artículo en cada ejercicio resuelto.

Para saber cómo editar (utilizar) las celdas de SAGE, ve al siguiente enlace: Simulación con SAGE, da click aquí

Para entender a detalle el código de SAGE para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales mediante el método de Euler ve la siguiente presentación: De donde sale el método de Euler.

El código para el Método de Euler escrito en SAGE es el siguiente:

CÓDIGO PARA EL MÉTODO DE EULER CON SAGE

### Metodo de Euler
def Euler(fun, a, b, N, y0):
    h = (b - a)/N
    x = [a]
    y = [y0]

    for k in range(N):
        x.append(x[k]+h)
        y.append(y[k]+(h)*fun(x[k], y[k]))
 
return zip(x, y)

Este código se encuentra embebido en las celdas y no necesita ser modificado.

Para Utilizar las celdas para simular otras ecuaciones diferenciales solo es necesario editar el apartado de “datos iniciales” y “Solución numérica para h=…”. Al final de este artículo les dejo una versión simplificada de esta celda para que la modifiquen y puedan simular otras ecuaciones diferenciales de primer orden con valores iniciales. 😉

Ejercicios Resueltos con el Método de Euler implementado en SAGE

La siguientes celdas de SAGE contienen el código para ejecutar el método de Euler, para diferentes problemas planteados. Notar que el código para el método de euler es el mismo y no es necesario modificarlo si se quiere simular el comportamiento de algún otra ecuación diferencial con valores iniciales.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 1:


1. $\large y’=2x-3y+1$; $y(1)=5$;  $y(1.2)$

Da click en el botón siguiente para copiar el código que necesitas para simular esta ED. Copia y pega este código en la celda de SAGE que está mas adelante.

Ver este problema resuelto manualmente paso a paso en el siguiente enlace: Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 2


2. $\large y'(x)=x+y^{2}$;   $y(0)=0$;  $y(0.2)$

Da click en el botón siguiente para copiar el código que necesitas para simular esta ED. Copia y pega este código en la celda de SAGE que está mas adelante.

Ver este problema resuelto manualmente paso a paso en el siguiente enlace: Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 3


3. $\large y'(x)=y$; $y(0)=1$;  $y(1.0)$

Da click en el botón siguiente para copiar el código que necesitas para simular esta ED. Copia y pega este código en la celda de SAGE que está mas adelante.

Ver este problema resuelto manualmente paso a paso en el siguiente enlace: Ejemplo 1. Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 4


4. $\large y'(x)=2xy$;  $y(1)=1$;  $y(1.5)$

Da click en el botón siguiente para copiar el código que necesitas para simular esta ED. Copia y pega este código en la celda de SAGE que está mas adelante.

Ver este problema resuelto manualmente paso a paso en el siguiente enlace: Ejemplo 2. Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 4)

CELDA SAGE. Instrucciones

A continuación te dejo la siguiente celda de SAGE para que modifiques sus datos y simules CUALQUIER ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales mediante el método numero de Euler codificado en SAGE.

Las instrucciones para la edición de la celda te las doy a contuniación:

1.- Modifica el apartado “Datos iniciales“:

##### Datos iniciales
x = var('x')     ### "No modificar" ### 
y = var('y')     ### "No modificar" ###
f(x,y) = y       ## -> cambiar aquí la función f(x, y) (Solo cambiar el miembro derecho)
y0=1             ## Valor inicial en 'y' 
a = 0.0          ## Extremo inferior sobre 'x' (Valor Inicial: "x0")
b = 1.0          ## Extremo superior sobre 'x' (Es el valor contenido en la información dentro del parentesis: y(aqui))
n = 10           ## numero de pasos a modificar para ver aproximación
h = (b - a)/n    ### "No modificar" Esta es la fórmula para calcular la amplitud del paso "No modificar" ###

Modificalo de la siguiente manera:

1.- Cambia el segundo miembro de la función $f(x,y)=y$, es decir cambia la $y$ en:

f(x,y) = y       ## -> cambiar aquí la función f(x, y) (Solo cambiar el miembro derecho)

2.- Cambia el valor inicial de $y_{0}$, por el valor inicial de la ED a calcular, este es el valor del segundo miembro de la ecuación que se da en los datos como valores iniciales; ejemplo, para el problema 3 es: $1$ de $y(0)=1$:

y0=1             ## Valor inicial en 'y' 

3.- Cambia el valor inicial para $x_{0}$, modificando el valor de $a$, por los datos de la nueva ecuación. Este es el dato entre paréntesis del primer miembro de la ecuación que se da en los datos como valores iniciales; para el problema e es, por ejemplo: $0$ de $y(0)=1$:

a = 0.0          ## Extremo inferior sobre 'x' (Valor Inicial: "x0")

4.- Cambia el valor máximo para $x$ por el nuevo valor; este es el valor contenido en los datos del problema que generalmente se expresa como $y(valor_x)$, por ejemplo para el problema 3 es: $0.2$ de $y(0.2)$

b = 1.0          ## Extremo superior sobre 'x' (Es el valor contenido en la información dentro del parentesis: y(aqui))

Por Utltimo.

5.- Cambia el numero de pasos que quieres utilizar en tu solución. Ésta cantidad es la que determina el valor del incremente $h$ de acuerdo a la fórmula $h = (b – a)/n$, de modo que si se quiere un incremento de, por ejemplo $h=0.1$ y se tienen los valores, como en el Problema 3, $ b=1.0$, $a=0$, se necesita que $n=10$ para obtener el objetivo de que el paso sea $h=0.1$

n = 10           ## numero de pasos a modificar para ver aproximación

CELDA SAGE. Para Uso

Modifica la Siguiente celda de acuerdo a las instrucciones anteriores y simula cualquier PVI para una ed ordinaria de primer orden

Da click en el siguiente botón para desplegar el código que necesitas copiar para simular tus ecuaciones diferenciales y editalo según las instrucciones dadas. No es necesario escribir el texto que esta precedido por cualquier cantidad de símbolos de #.

 IMPORTANTE: No olvides borrar la suma embebida dentro de la celda (1 + 2):

 

Actualmente para la enseñanza/aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se utiliza los métodos cualitativos y numéricos por sobre los métodos analíticos; esto es debido sobre todo a la aplicabilidad de esta materia en el mundo real, ya que las aplicaciones requieren de muchos cálculos de simulación donde se supongan varios escenarios para que al momento de presentar un resultado determinado, las probabilidades de éxito sean casi aseguradas.

Además las simulaciones permiten el ahorro de dinero y tiempo si se considera por ejemplo la construcción de modelos a escala o prototipos.

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Puedes utilizar SAGE, que es un software para simulación científica de código abierto, del cual hemos puesto ejemplos en este artículo. (También ver:  Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.)

Prepara tu mente para desarrollar tu intuición y confianza, para este propósito te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios.

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Cómo simular circuitos eléctricos o cualquier Ecuacion Diferencial con SAGE

Presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

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