Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes (trozos), lineal de primer orden.

Al terminar de leer este ejercicio del Problema del Valor Inicial, ecuación diferencial dividida en partes, lineal y de primer orden,  entenderás:

  • El concepto de Ecuación Diferencial por partes,
  • Qué significa gráficamente la función o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y
  • Cómo resolver un Problema con Valores Iniciales (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED), de estas características.

La metodología que utilizaremos es:

  1. Encontrar las soluciones generales para las dos funciones que componen la función de entrada.
  2. Evaluar individualmente las soluciones generales con los valores iniciales utilizando el concepto de continuidad de funciones dividida en partes, para encontrar sus soluciones particulares.

Utilizaremos los mismos 4 pasos que ya hemos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 1er Orden, en este caso DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES y mostraremos las gráficas de la función solución dividida en parte.

Al final dejo el artículo descargable donde incluyo el desgloce paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para simular este tipo de EDO Lineal.

Ejercicio resuelto:

a)      $\frac{dy}{dx}+2xy=f(x)$, $y\left( 0 \right)=2$,

 

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x< 1\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

 

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace).

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 33). Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

A. Empezamos con encontrar la solución general de la ED cuando  $f\left( x \right)=x$:

Pasos:

I.  Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$, Solo sustituimos el valor de la función de entrada $f(x)=x$, de modo que:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$
$\Large {{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$
El valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2x$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2×1$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el enlace: método de 4 pasos.

$\Large {{y}_{c1}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}xdx}}$

$\Large =C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$

$\Large =\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:
Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2x$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: método de 4 pasos.
$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ \Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2}$

Para ver el cómo se evalúa la integral $\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$, ver el desarrollo al final del artículo.
Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+2xy=x$donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}$, es:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

B. Ahora encontraremos la solución general para la función de entrada $f(x)=0$.

En este caso podemos notar que nuestra ecuación se convierte en el sistema homogéneo asociado de nuestro caso previo, por lo que ya conocemos la solución, es decir:

Tenemos.

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Donde su solución general es:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{c1}}=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

Y su factor integrante es igual al anterior:  ${{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

Solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, lineal y de 1er Orden.

Ahora, evaluamos cada solución general individualmente. Primero evaluamos cuando:

$\large f\left( x \right)=x$,

es decir:

$\large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

con valores iniciales:

$\large x=0;y=2$

Vimos que la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo, cuando $f\left( x \right)=x$, es:

$\Large y_{1}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Para este caso, como la restricción para la función de entrada: $f(x)=x$ es: $0\leq x< 1$, podemos sustituir los valores iniciales $x=0,y=2$ en la solución general obtenida puesto que no violan la restricción, de modo que:

$\large y\left( 0 \right)=2$

Implica, en la solución general $\large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$ que:

$\Large 2=\frac{C}{{{e}^{{{(0)}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2-\frac{1}{2}=C$

$\Large \Rightarrow C=\frac{3}{2}$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{3}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Ahora evaluamos cuando $f\left( x \right)=0$ Para conocer la solución particular de la EDO lineal con la Función de Entrada anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal, no está definida para cuando: $x=0$, según podemos ver en la definición de la función de entrada, definida por partes:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}…\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Por lo que para evaluar la función de Salida obtenida, es decir la solución general obtenida para cuando $f(x)=0$, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, ver el desarrollo paso a paso de la definición en el siguiente enlace (click aquí).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN: De manera informal podemos decir que una función es continua si el límite de ésta función existe, cuando su variable independiente tiende a un número específico. Para saber si existe dicho límite, debemos probar que, el límite de la función cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda.

De acuerdo a esta definición, podemos asumir que el límite de la función solución obtenida, si existe (la solución general de laEDO lineal cuando ($f(x)=0$), es decir  $f(x)={{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$ si existe,  y es igual a:

  • A la izquierda la función solución general obtenida para cuando $f(x)=x$, es decir:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

  • A la derecha la función general obtenida para cuando $f(x)=0$, es decir:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

De modo que con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$\Large \frac{3}{2\text{e}}+\frac{1}{2}=\frac{C}{\text{e}}$

Esto implica:

$\Large C=\frac{3}{2}+\frac{e}{2}$

Por tanto:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{e}{2}}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{3{{e}^{-{{x}^{2}}}}}{2}+\frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2}$

De donde, la solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, es:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2e^{x^{2}}}+\frac{1}{2},0\leq x< 1\\ \frac{3e^{-x^{2}}}{2}+\frac{e^{1-x^{2}}}{2},x\geq 1\end{matrix}\right.$

Este resultado no es válido, en realidad, por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. Ver el siguiente enlace, click aquí

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

Problema del Valor Inicial. Ecuacion Diferencial dividida en partes

En esta gráfica podemos ver que en el punto , la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad. Ver el enlace, da click aquí.

Evaluando la integral del paso IV:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

$u={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$du=2xdx$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2x \right)dx\Rightarrow \frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS. Descarga gratuitamente éste mismo ejercicio resuelto en este link: Ecuación Diferencial Lineal definida en partes.

 

Da un paso adelante y descarga este mismo ejercicio y además con un desarrollo paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para resolverlo, para DESCARGARLO da click aquí. Puedes introducir el código de SAGE aquí (da click aquí), para simularlo.

 

O MEJOR AÚN Descarga el ejercicio resuelto: Que incluye:

  1. Una explicación mas detallada del ejercicio,
  2. Una EXPLICACIÓN DETALLADA del CÓDIGO EN MATHEMATICA y SAGE para resolverlo.
  3. El archivo .nb para correr en MATHEMATICA y
  4. El código en formato plain- text para pegarlo en SAGE.
  5. La simulación gráfica en MATHEMATICA y SAGE
  6. Da Click en el boton de “agrégalo a tu carrito”. =)

 

Practica los ejercicios utilizando la técnica adecuada, para esto te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

Ver mas ejemplos?  probl 32, problema 34probl 35

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