Cómo encontrar la solución de un problema de valores iniciales (PVI) y expresarla como una Integral no Elemental

Solución de un Problema de Valores Iniciales(PVI), expresada como integral no elemental.

En este artículo analizaremos cómo resolver un PVI donde la ED lineal está dividida en partes, pero con una particularidad, que el coeficiente de la segunda Variable de Estado “$ y$” es igual a: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$, con esto nos dará como resultado, al resolver la ED, una integral no elemental y ésto nos permitirá tener una visión más profunda del significado de la función $ P\left( x \right)$, que es el coeficiente de la función de estado $ y(x)$, que la ED posee como segundo término del lado izquierdo de la ecuación*.

Utilizaremos los mismos 4 pasos utilizados con anterioridad para hallar la solución de una ED lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, sujeta a 3 casos iniciales.

La Ecuación Diferencial es:

$ \LARGE y’+{{e}^{x}}y=4x$,             $ \LARGE y\left( 0 \right)=1$,

Y los 3 casos son:

1.- $\LARGE f(x) = 1, x > 0$

2.- $\LARGE f(x) = 0, x > 0$

3.- $\LARGE f(x) = e^{x}, x > 0$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 36).

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PRIMER CASO: Empezamos con $ f\left( x \right)=1$:

$ \LARGE y’+{{e}^{x}}y=1$
Pasos:
I.                    Forma estándar de la ED a resolver: $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada $ f(x)$.

$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1$
II.                  Encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$.

$ {{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=0$ $ {{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}$

$ ={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$ (obtenido en el punto II.) y $ f\left( x \right)={{e}^{x}}$.  obtenido en el punto i.

Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo. $ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1$

$ {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{e}^{x}}}}(1)dx$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea $ f$ continua en el intervalo [a,b], y $ F$ esté definida dentro del mismo intervalo cerrado [a,b], como: $ F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$ Entonces $ F$es un primitiva de $ f$. Es decir, $ {{F}^{‘}}\left( x \right)=f(x)$ Para $ x$en $ (a,b)$ Siga el link para la demostración:

Teorema Fundamental del Cálculo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Utilizamos el Teorema Fundamental del Cálculo, para poder lidiar con la integral No Elemental con la que nos hemos topado.

Tenemos:

$ {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

$ {{y}_{p1}}={{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1$, donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1$, es:

$ \Large {{y}_{1}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

Ahora sustituimos los valores iniciales en la función general anterior para encontrar una solución particular Los valores iniciales, son: $ x=0;~~y=1$

Tenemos:

$ {{y}_{1}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

$ 1={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}+{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}\underset{0}{\overset{(0)}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

$ \Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}+{{e}^{-1}}(0)$

$ \Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}$

$ \Rightarrow \frac{1}{{{e}^{-1}}}={{C}_{1}}$

Por tanto:

${{C}_{1}}=e$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

$ \huge {{y}_{1}}\left( x \right)={{e}^{1-{{e}^{x}}}}+{{e}^{-{{e}^{x}}}}\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,{{e}^{{{e}^{t}}}}dt$

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SEGUNDO CASO: $ f\left( x \right)=0$:

Procedemos realizando los mismos 4 pasos para encontrar la solución del sistema No Homogéneo.
Es decir, si tenemos: $ \LARGE y’+{{e}^{x}}y=0$
I. Forma estándar de la ED a resolver:
$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=0$
II. Encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Es el mismo que el anterior: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado: Es la misma que la anterior: $ {{y}_{c2}}={{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo: En esta ocasión el sistema es Homogéneo, así que omitimos el buscar el No homogéneo.

Donde su solución general es:

$ \huge {{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

De nuevo, sustituimos los valores iniciales en la función general anterior para encontrar una solución particular

Los valores iniciales, son: $ x=0;~~~y=1$

Tenemos:

$ {{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

$1={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{(0)}}}}$

$ \Rightarrow 1={{C}_{1}}{{e}^{-1}}$

$\Rightarrow \frac{1}{{{e}^{-1}}}={{C}_{1}}$

Por tanto:

$ {{C}_{1}}=e$

De la misma forma que antes sustituimos  el último resultado en la solución general y encontramos UNA solución particular del sistema Lineal Homogéneo:

$ {{y}_{2}}\left( x \right)={{e}^{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

$\Rightarrow \huge {{y}_{2}}\left( x \right)={{e}^{1-{{e}^{x}}}}$

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TERCER CASO: $ f\left( x \right)={{e}^{x}}$:

Realizamos el mismo procedimiento de las dos veces precedentes. Es decir, si tenemos: $ \LARGE y’+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}$

I. Forma estándar de la ED a resolver:

$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}$
II. Encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

Es igual a los dos anteriores: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado: Es la misma que la de los dos casos anteriores:

$ {{y}_{c3}}={{y}_{c2}}={{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo: $ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y={{e}^{x}}$

$ {{y}_{p3}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{e}^{x}}}}({{e}^{x}})dx$

Vemos que en este caso tenemos una derivada directa, ya que:

$ {{e}^{u}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$ $ du={{e}^{x}}dx$

Esto implica:

$ {{y}_{p3}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}[{{e}^{{{e}^{x}}}}]$

Por tanto:

${{C}_{1}}=e$

Donde su solución general es:

$\huge {{y}_{3}}\left( x \right)=1$

Debemos notar que éste último resultado lo pudimos deducir por inspección, al ver la forma Estándar de la Ecuación Diferencial. A continuación mostramos las gráficas solución de cada solución particular.

integral no elemental Las Gráficas Sólidas representan el dominio de $ f(x)$, el cual es $ x>0$.

Cada gráfica es una FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales.

integral no elemental

En esta gráfica podemos ver que en el punto $ (0,1)$, todas las soluciones coinciden por lo que todas las soluciones pueden ser consideradas como soluciones válidas para el problema de Valores Iniciales.

El código de MATHEMATICA es:

Clear["Global`*"]
sol0 = DSolve[{y'[x] + Exp[x] y[x] == 1, y[0] == 1}, y[x], x]//Expand (* sol0=solucion del primer valor de f(x), \evaluado con valores iniciales *)
sol0a = DSolve[{y'[x] + Exp[x] y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]//Expand (* sol0a=solución del segundo valor de f(x), evaluado con \valores iniciales *)
sol1a = DSolve[{y'[x] + Exp[x] y[x] == Exp[x], y[0] == 1}, y[x], x]//Expand (* sol1a=solución del tercer valor de f(x), evaluado \con valores iniciales *)
pspsn = Plot[sol0[[1, 1, 2]], {x, -6, 6}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {White, Thickness[0.001]}];
pspsnh = Plot[sol0[[1, 1, 2]], {x, 0, 6}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}];
pspsnh0 = Plot[sol0[[1, 1, 2]], {x, -6, 0}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Blue, Dashed, Thickness[0.01]}]; (* Gráfica de la función solución de la ED lineal cuando f(x) es \igual a su 1er valor *)
pspsnh1 = Plot[sol0a[[1, 1, 2]], {x, 0, 6}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}];
pspsnh10 = Plot[sol0a[[1, 1, 2]], {x, -6, 0}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Red, Dashed, Thickness[0.01]}];
pspsnh1a = Plot[sol1a[[1, 1, 2]], {x, 0, 6}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Orange, Thickness[0.01]}];
pspsnh1a0 = Plot[sol1a[[1, 1, 2]], {x, -6, 0}, PlotRange -> {-3, 4}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Orange, Dashed, Thickness[0.01]}];
(* Gráfica de la función solución de la ED lineal cuando f(x) es \igual a su 2do valor *)
Show[pspsn, pspsnh, pspsnh0, pspsnh1, pspsnh10, pspsnh1a, pspsnh1a0]
s1 = Show[pspsn, pspsnh, pspsnh0];
s2 = Show[pspsn, pspsnh10, pspsnh1];
s3 = Show[pspsn, pspsnh1a0, pspsnh1a];
Show[GraphicsRow[{s1, s2, s3}]]

NOTA: es importante que cuando pegue el código en MATHEMATICA revise que la configuración la estructura que resulte sea idéntica a la aquí presentada, que al final del código pegado no existan links a la página, que las variables independientes y dependientes se vean en color verde y azul respectivamente y que los espacios entre variables sean iguales a los aquí mostrados.

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA y FUNCIÓN DE ESTADO acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS (SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO).

Es importante tomar en cuenta que la práctica hace al maestro, te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicios además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

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