Factores Integrantes

En este artículo aprenderás a obtener con facilidad los factores integrantes para diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales (EDO’s lineales 1er orden, EDO’s de Bernoulli, EDO’s no exactas hechas exactas), utilizando álgebra para deducir dichos factores, así como las leyes de derivación e integración.

Además, podrás comparar estos resultados con los obtenidos mediante los métodos de 4 pasos que utilizamos en este blog para que entiendas los conceptos más a fondo (Ver el Ejemplo 1).

Según el Dr. Torben K. Jensen, del Center for Learning and Educacation en la University of Aarhus en Dinamarca, dice que la mejor forma de aprender es construir nueva información sobre la vieja información ya adquirida y afianzada (Ver: Video: Teaching Teaching & Understanding Understanding en youtube);  por esta razón compararemos los dos procedimientos utilizados en este blog para resolver el mismo tipo de ecuación; es decir, utilizaremos los métodos de 4 pasos y los deducidos acá para construir un puente de conocimiento que nos permita crear conexiones cerebrales y afianzar el conocimiento, además de poder comprender más a fondo los temas desarrollados.

Metodología Utilizada

En cada Ejercicio:

– Determinaremos el tipo de Ecuación Diferencial que se nos presenta para resolver

– Escribiremos la estrategia específica que nos permita convertir en lineal o exacta la ED a solucionar.

– Encontraremos el factor integrante para dicha ecuación

– Resolvemos la ED mediante un método mas intuitivo y diferente al de los 4 pasos utilizados en este blog:

i. Para las ED lineales de primer orden:

Utilizaremos la regla de derivación del producto: $d ( {uv} ) ={udv} + {vdu}$, junto con el Factor Integrante encontrado, para hallar la función solución de la ED. Una explicacion del porque de esta técnica se puede ver en el siguiente link: Click aquí.

ii. Para las ED exactas:

Utilizaremos la forma estándar de la ecuación:

\begin{equation}
M ( x,y ) d x+N ( x,y ) d y=0
\end{equation}
(1)

y el hecho de que un Factor Integrante $\mu$ al ser multiplicado por la ED de la forma de (1) la convierte en una ED exacta si cumple con el criterio de exactitud:

$\frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Utilizaremos la comparación de los dos métodos (el visto en este artículo y el de los 4 pasos) en el Ejemplo 1 de los ejercicios desarrollados, para la comprensión más profunda de los temas.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA OBTENCIÓN DE FACTORES INTEGRANTES

Ejemplo 1. Resolver la ED siguiente (ED lineal del 1er orden)

\begin{equation}
\frac{d y}{d x} +y=2+2x
\end{equation}
(2)

Tipo de Ecuación Diferencial

La ecuación de arriba concuerda con la forma estándar de una ED lineal de primer orden, la cual es:

$\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )$

Estrategia de Solución

Encontraremos el factor integrante y utilizaremos la regla del producto, para integrar parte de la ecuación directamene (lado izquierdo), mediante el adecuar la ecuación a la forma de la regla del producto usando el factor integrante. Compararemos esta técnica con la de los 4 pasos.

Factor Integrante (FI)

Sabemos, de acuerdo a lo desarrollado en el artículo: Cómo resolver ecuaciones diferenciales con el método del factor integrante, que el factor integrante para una ED lineal de primer orden es:

$e^{\int P ( x ) d x}$

De modo que sustituyendo los valores de (2), en la expresión anterior, obtenemos el factor integrante buscado, es decir:

$e^{\int P ( x ) d x} =e^{\int d x} =e^{x}$,

De modo que el FI es:
$\large e^{x} $

donde:

$P ( x ) =1$

Resolvemos la ED Sigue leyendo

Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion diferencial autonoma de primer orden

En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuacion Diferencial (ED) ordinaria de primer orden es autonoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.

Este es un ejercicio resuelto extraído de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal $y = 4$  conforme $x \rightarrow \infty$ .

ANÁLISIS:

La solución de una ecuación diferencial :

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6$ …………………….(1)

Es la suma de dos soluciones:

$y=y_{c}+y_{p}$

Donde:

$y_{C}=C{{\text{e}}^{3x}}$ , es la solución homogénea del (1).

$y_{p}=-2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea: $y’-3y=6$ .


(Se puede verificar estos resultados aplicando el Método de los 4 pasos, aquí hay un ejemplo de la aplicación del método, da click aquí, o mejor aún se puede utilizar el método de separación de variables, ver más adelante un ejemplo de solución con este último método)

Ecuación diferencial autonoma y la forma estándar de una ED

Cuando $a_{1}{(x)}, a_{0}{(x)}$ y $g{(x)}$ son constantes en la siguiente ecuación:$a_{1}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+a_{0}\left( x \right)y=g\left( x \right)$ (FormaestándardeunaED de 1er orden),

La ecuación diferencial es autonoma.

Dicho de otra forma, una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama ecuación diferencial autonoma.

En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right)$, podemos ver que $-2$, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de  de $C$, de su solución: $y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}$.

Valores para CValores de y(x)
-80-2-80 E^(3 x)
-20-2-20 E^(3 x)
-5-2-5 E^(3 x)
-1-2-E^(3 x)
-0.1-2-0.1 E^(3 x)
-0.01-2-0.01 E^(3 x)
-0.001-2-0.001 E^(3 x)
-0.0001-2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001-2-0.00001 E^(3 x)
0-2
0.00001-2+0.00001 E^(3 x)
0.0001-2+0.0001 E^(3 x)
0.001-2+0.001 E^(3 x)
0.01-2+0.01 E^(3 x)
0.1-2+0.1 E^(3 x)
1-2+E^(3 x)
5-2+5 E^(3 x)
20-2+20 E^(3 x)
80-2+80 E^(3 x)
ecuacion diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-3y=6$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de $y=-2$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=-2$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal $y’-3y=6$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): $y=-2$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty $ .

FIN DEL ANÁLISIS.

Ahora, el problema a plantear es:

CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA $y=4$ , CONFORME $x\to \infty $.

Sigue leyendo

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes (trozos), lineal de primer orden.

Al terminar de leer este ejercicio del Problema del Valor Inicial, ecuación diferencial dividida en partes, lineal y de primer orden,  entenderás:

  • El concepto de Ecuación Diferencial por partes,
  • Qué significa gráficamente la función o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y
  • Cómo resolver un Problema con Valores Iniciales (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED), de estas características.

La metodología que utilizaremos es:

  1. Encontrar las soluciones generales para las dos funciones que componen la función de entrada.
  2. Evaluar individualmente las soluciones generales con los valores iniciales utilizando el concepto de continuidad de funciones dividida en partes, para encontrar sus soluciones particulares.

Utilizaremos los mismos 4 pasos que ya hemos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 1er Orden, en este caso DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES y mostraremos las gráficas de la función solución dividida en parte.

Al final dejo el artículo descargable donde incluyo el desgloce paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para simular este tipo de EDO Lineal.

Ejercicio resuelto:

a)      $\frac{dy}{dx}+2xy=f(x)$, $y\left( 0 \right)=2$,

 

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x< 1\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

 

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace).

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 33). Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

A. Empezamos con encontrar la solución general de la ED cuando  $f\left( x \right)=x$:

Pasos:

I.  Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$, Solo sustituimos el valor de la función de entrada $f(x)=x$, de modo que:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$
$\Large {{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$
El valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2x$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2×1$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el enlace: método de 4 pasos.

$\Large {{y}_{c1}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}xdx}}$

$\Large =C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$

$\Large =\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:
Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2x$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: método de 4 pasos.
$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ \Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2}$

Para ver el cómo se evalúa la integral $\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$, ver el desarrollo al final del artículo.
Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+2xy=x$donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}$, es:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

B. Ahora encontraremos la solución general para la función de entrada $f(x)=0$.

En este caso podemos notar que nuestra ecuación se convierte en el sistema homogéneo asociado de nuestro caso previo, por lo que ya conocemos la solución, es decir:

Tenemos.

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Donde su solución general es:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{c1}}=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

Y su factor integrante es igual al anterior:  ${{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

Solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, lineal y de 1er Orden.

Ahora, evaluamos cada solución general individualmente. Primero evaluamos cuando:

$\large f\left( x \right)=x$,

es decir:

$\large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

con valores iniciales:

$\large x=0;y=2$

Vimos que la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo, cuando $f\left( x \right)=x$, es:

$\Large y_{1}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Para este caso, como la restricción para la función de entrada: $f(x)=x$ es: $0\leq x< 1$, podemos sustituir los valores iniciales $x=0,y=2$ en la solución general obtenida puesto que no violan la restricción, de modo que:

$\large y\left( 0 \right)=2$

Implica, en la solución general $\large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$ que:

$\Large 2=\frac{C}{{{e}^{{{(0)}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2-\frac{1}{2}=C$

$\Large \Rightarrow C=\frac{3}{2}$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{3}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Ahora evaluamos cuando $f\left( x \right)=0$ Para conocer la solución particular de la EDO lineal con la Función de Entrada anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal, no está definida para cuando: $x=0$, según podemos ver en la definición de la función de entrada, definida por partes:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}…\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Por lo que para evaluar la función de Salida obtenida, es decir la solución general obtenida para cuando $f(x)=0$, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, ver el desarrollo paso a paso de la definición en el siguiente enlace (click aquí).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN: De manera informal podemos decir que una función es continua si el límite de ésta función existe, cuando su variable independiente tiende a un número específico. Para saber si existe dicho límite, debemos probar que, el límite de la función cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda.

De acuerdo a esta definición, podemos asumir que el límite de la función solución obtenida, si existe (la solución general de laEDO lineal cuando ($f(x)=0$), es decir  $f(x)={{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$ si existe,  y es igual a:

  • A la izquierda la función solución general obtenida para cuando $f(x)=x$, es decir:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

  • A la derecha la función general obtenida para cuando $f(x)=0$, es decir:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

De modo que con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$\Large \frac{3}{2\text{e}}+\frac{1}{2}=\frac{C}{\text{e}}$

Esto implica:

$\Large C=\frac{3}{2}+\frac{e}{2}$

Por tanto:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{e}{2}}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{3{{e}^{-{{x}^{2}}}}}{2}+\frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2}$

De donde, la solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, es:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2e^{x^{2}}}+\frac{1}{2},0\leq x< 1\\ \frac{3e^{-x^{2}}}{2}+\frac{e^{1-x^{2}}}{2},x\geq 1\end{matrix}\right.$

Este resultado no es válido, en realidad, por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. Ver el siguiente enlace, click aquí

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

Problema del Valor Inicial. Ecuacion Diferencial dividida en partes

En esta gráfica podemos ver que en el punto , la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad. Ver el enlace, da click aquí.

Evaluando la integral del paso IV:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

$u={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$du=2xdx$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2x \right)dx\Rightarrow \frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS. Descarga gratuitamente éste mismo ejercicio resuelto en este link: Ecuación Diferencial Lineal definida en partes.

 

Da un paso adelante y descarga este mismo ejercicio y además con un desarrollo paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para resolverlo, para DESCARGARLO da click aquí. Puedes introducir el código de SAGE aquí (da click aquí), para simularlo.

 

O MEJOR AÚN Descarga el ejercicio resuelto: Que incluye:

  1. Una explicación mas detallada del ejercicio,
  2. Una EXPLICACIÓN DETALLADA del CÓDIGO EN MATHEMATICA y SAGE para resolverlo.
  3. El archivo .nb para correr en MATHEMATICA y
  4. El código en formato plain- text para pegarlo en SAGE.
  5. La simulación gráfica en MATHEMATICA y SAGE
  6. Da Click en el boton de “agrégalo a tu carrito”. =)

 

Practica los ejercicios utilizando la técnica adecuada, para esto te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

Ver mas ejemplos?  probl 32, problema 34probl 35

Quiero saber como expresar mi resultado usando la Función Error (Dale Click aquí)

Quiero aprender a simular mis Ecuaciones Diferenciales con un Software de Computadora (Dale Click)

Te ha servido el artículo? contáctame para cualquier sugerencia o duda en el siguiente link: contacto

Mientras te dejo con mi artículo: La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales.

Seguramente te facilitará tus estudios y te hará mas fácil la vida. 😉

Cómo resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden separable

Cómo resolver una Ecuación Diferencial de 1er orden de variables separables

En este artículo hablaré un poco de cómo resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables, acercándonos al modelado de sistemas físicos básicos.

Utilizaré dos las conjeturas que propuso Galileo en su tiempo para determinar la velocidad de caída de los cuerpos para ver cómo con Ecuaciones Diferenciales ordinarias de primer orden y variables separables podemos resolver este problema que le tomo a Galileo muchos años de su vida y que aunque se dio cuenta del error de sus conjeturas, no pudo explicar, al menos matemáticamente.

Mi intensión es desarrollar una visión de análisis intuitivo y relacionarlo con estos datos históricos para que tengamos en la mente imágenes que nos ayuden a “VER” los conceptos.

Galileo y sus conjeturas acerca de la velocidad de caída de los cuerpos

PRIMERA CONJETURA

Resulta que en el tiempo de Galileo (siglo XVI), había tenido la inquietud por determinar la velocidad de caída de los objetos. Habían varios eruditos entre ellos, Aristóteles, quienes creían que mientras más alto, la caída del objeto, éste caía más rápido.

Galileo quería ser más preciso y conjeturó que: la velocidad de los objetos era proporcional a la altura, esta fue su ecuación:

$ \huge v=c~y$ ,    Eq. (1)    (Conjetura de Galileo)

Donde:

c: constante

y: altura de la partícula

Galileo llegó, eventualmente a la conclusión de que esta conjetura no era absurda. En ese momento de la historia todavía no habían descubierto el Cálculo, por lo que Galileo no tenía de otra más que argumentar de manera elusiva.

Sin embargo, nosotros podemos verificar con el cálculo diferencial lo que después Galileo descubrió, que la conjetura era errada; entones veamos:

Tenemos:

Una partícula, en caída libre.

como resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden

Caída Libre

Dónde:

y = 0,  t = 0 como condiciones iniciales

Alguien dirá que por que y=0 y no a la altura que la que está cayendo el objeto, en realidad simplemente estamos considerando el eje cartesiano poniendo su origen en la parte alta desde donde empieza a caer el objeto (o si lo prefieren pueden imaginarse un pozo)

Bien, regresando al problema de Galileo, nosotros podemos conjeturar muy fácilmente una ecuación que nos permita resolverlo ya que sabemos que la velocidad instantánea, en cálculo (y por ende en ecuaciones diferenciales), se representa como una derivada. La derivada de la altura, respecto del tiempo (en este caso).

CONCEPTO INTUITIVO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

La derivada en nuestro caso no es mas que una forma de representar: CUANTA DISTANCIA RECORRE UN OBJETO POR UNIDAD DE TIEMPO.

Este concepto es la idea medular de las Ecuaciones Diferenciales, pues si lo queremos ver de manera sencilla, cada Ecuación Diferencial representa un conjunto de derivadas que a su vez representan VARIACIONES EN EL TIEMPO O EL ESPACIO DE UNA FUNCIÓN.  Las variaciones en el tiempo generalmente estarán representadas por $\frac{dx}{dt}$ y las variaciones en el espacio serán generalmente representados como $\frac{dy}{dx}$.

Entonces, la idea medular es representar coeficientes de cambio de una FUNCIÓN DESCONOCIDA respecto de una o varias variables de las cuales depende su comportamiento. Esta es la idea que podemos tener para entender qué buscamos cada vez que resolvemos una Ecuación Diferencial. 😉

Bueno, regresando a nuestro cálculo simplificado de lo que a Galileo le costó mucho tiempo y empeño, la fórmula que en su momento desconocía galileo (pues newton quien inventó el calculo no había nacido), pero que nosotros si conocemos y la podemos utilizar para ahorrarnos varios siglos de prueba y error es la de velocidad instantánea:

$ \huge v=\frac{dy}{dt}$     Eq. (2)    (Fórmula para la velocidad Instantánea)  

Ahora, desarrollemos este ejercicio con Ecuaciones Diferenciales con el fin de: ENCONTRAR UNA FUNCIÓN QUE REPRESENTE LA VELOCIDAD CON LA QUE CAEN LOS CUERPOS y que desacredite o confirme la conjetura de Galileo. Aqui viene lo bueno, jaja

Para esto lo que necesitamos hacer es igualar la Eq. (2) con la ecuación Eq. (1), ¿Por qué? pues simplemente porque sabemos cómo se representa la velocidad instantánea y queremos verificar la conjetura de Galileo:

$ \frac{dy}{dt}=cy$

Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales

Ahora, realicemos las operaciones (paso a paso), para determinar el valor de la función:

$ \frac{dy}{dt}=c~y,$               Por tanto:                $ dy=c~y~dt$

$ \frac{dy}{y}=c~~dt$,            (Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos. -Nemotecnia)

$ \mathop{\int }^{}\frac{dy}{y}=c\mathop{\int }^{}dt+k$

$ \ln y=c*t+k$,             y recordando:       $ ln~a=b~\Rightarrow a=~{{e}^{b}}$

$ \mathbf{y}\left( t \right)={{\text{e}}^{ct+k}}$(A)

Ahora para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y conocer, no solo su solución general sino, su Solución Particular es necesario encontrar el valor de la variable de integración. En este caso es el valor de la variable $latex k$. Para eso sustituimos los valores iniciales que consideramos para el problema ($ y=0$, $ t=0$) en la solución general encontrada, es decir la ecuación (A).

Por tanto, las condiciones iniciales, son:

$ \large y~=~0,~~t~=~0$      Entonces:

Y sustituyendo en la solución general (A), tenemos:

$ 0={{\text{e}}^{c0+k}}~~~~~\Rightarrow ~~~~~~~0={{\text{e}}^{k}}$,,

Si k >= 0, entonces  $ {{e}^{k}}$ sería positivo, si k < 0, entonces podríamos decir: k = -k’, donde k’ es positiva, tendríamos:

$ {{e}^{k}}=~{{e}^{-k’}}=~\frac{1}{{{e}^{k’}}}=~\frac{1}{positivo}=positivo$

Por tanto,  $ {{e}^{k}}$ es necesariamente positivo. En pocas palabras: “Si la Velocidad de caída libre es proporcional al desplazamiento”, entonces:

$ 0=n\acute{u}mero~positivo$

Lo cual es absurdo, como diría Euclides. Jaja. De modo que, concluimos que:

“La Velocidad de caída libre no puede ser proporcional al desplazamiento”.

Por tanto en este caso no podemos decir que la solución encontrada (1) es la solución a nuestro problema. Aquí tenemos un problema resuelto mediante Ecuaciones Diferenciales con condiciones iniciales. Esta es una de las ecuaciones diferenciales más básicas, pero con mucha importancia, inclusive histórica.

Aunque las teorías físicas insostenibles han sido y serán rechazadas o aceptadas  mediante la experimentación, ésta la hemos podido rechazar aquí, mediante la lógica: se ha probado su inconsistencia. :-O

SEGUNDA CONJETURA

Lo segundo que conjeturó Galileo, es que la velocidad en un instante dado, era proporcional al tiempo que tardó el objeto en llegar a ese instante. Es decir:

$ \huge v=\mathbf{g}~t$       Eq. (3)   (2da. Conjetura de Galileo)

Donde:

g = cte.

= tiempo

g = es independiente del tiempo

Volvemos aplicar el procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales

Ahora, resolvamos ésta también con ecuaciones diferenciales separando las variables. Si sustituimos la Eq. (3) con la ecuación Eq. (2), tenemos:

$ \frac{dy}{dt}=\mathbf{g}~t$

$ dy=\mathbf{g}~~t~dt$,                  (Ya sabemos, “Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos”)

$ \mathop{\int }^{}dy=\mathbf{g}\mathop{\int }^{}tdt+k$

Por lo que la Solución General de nuestro problema es:

$ y=\frac{1}{2}\mathbf{g}~{{t}^{2}}+k$ (B)

Ahora, para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden separable y encontrar su Solución Particular sustituimos los valores de las condiciones iniciales en la Solución General (B):

$ \large y~=~0,~~t~=~0$ 

$ 0=~\frac{1}{2}\mathbf{g}~{{(0)}^{2}}+k$

Lo que implica:

$ \large k = 0$                    y:

Por tanto, la SOLUCIÓN PARTICULAR de nuestra ecuación diferencial, es:

$ \huge x=~\frac{1}{2}~\mathbf{g}~{{t}^{2}}$            Eq. (4)

La Eq. (4) es una de las proposiciones más usadas de la física. Con esto comprobamos la veracidad de la conjetura de Galileo en un cierto nivel, es decir:

La velocidad en un instante dado de un cuerpo en caída libre es proporcional al tiempo que tarda el en llegar a ese instante.

De hecho Galileo planteo la hipótesis de que:

En ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos caen con una misma aceleración uniforme.

Y logró probar su hipótesis utilizando planos inclinados.

De esta forma ya sabemos como resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales notando el gran poder de manejo de nuestro entorno que nos proporciona las Ecuaciones Diferenciales al haber echándole un ojo a la perspectiva histórica del modelado y simulación de la velocidad de la caída de los cuerpos.

Este artículo fue basado en el Libro: “MATHEMATICAL METHODS IN SCIECE” de G.PÓLYA. Cap. 5. El cual termina con la siguiente reflexión del Dr. POLYA:

“Efectuando soluciones sin tener que pensar en realidad qué estamos haciendo, ganamos mucho –y perdemos mucho”.

Refiriéndose a la utilidad de las Ecuaciones diferenciales y las matemáticas en general, para simplificarnos las comprobaciones de un fenómenos físicos y también a la desventaja que podría tener para el estudiante que no reflexione sobre lo que está haciendo.

Te invito a plantear y resolver Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales siguiendo la lógica aquí descrita.

Quiero ejemplos de ecuaciones lineales de primer orden (sigue este link)

Quiero ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales (sigue el link)