Cómo simular un circuito LR en serie, con MATHEMATICA

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos tipo LR conectado en serie, con MATHEMATICA

En este artículo aprenderás a aplicar y simular muy fácilmente la Ecuación Diferencial que modela un circuito eléctrico LR conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA. Esto te permitirá comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos LR en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.

Para este Efecto utilizaremos la siguiente metodología:

  • Definimos el Esquema o diagrama Eléctrico y los datos, según el ejercicio del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos
  • Describiremos directamente el código de MATHEMATICA utilizado para modelar el circuito LR (o cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y función de entrada constante).
  • Desarrollaremos paso a paso el código en MATHEMATICA según los 4 pasos que hemos utilizado para resolver una ecuación diferencial lineal de 1er orden.

El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 1er orden de coeficientes constantes y función de entrada constante (función de entrada: la función del segundo miembro de la ecuación (1) que aparece en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos), así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos LR simples conectados en serie con dichas características. OJO: es muy importante que sustituyamos bien los coeficientes del código al adecuarlo a futuros problemas de EDO’s Lineales de 1er orden con coeficientes constantes y función de entrada constante.

El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.

Diagrama Eléctrico y los datos, según el ejercicio del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos

Comenzamos retomando el ejemplo visto en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos, el cual es descrito en la Figura 1.

Figura 1. Circuito Eléctrico del tipo LR

Figura 1. Circuito Eléctrico del tipo LR

Datos: Sigue leyendo

¿Qué significa el teorema de existencia y unicidad para una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden?

Teorema de Existencia y Unicidad

En este artículo aprenderás cómo interpretar el teorema de existencia y unicidad de una solución, aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED’s) ordinarias de primer orden, de manera gráfica, clara y sencilla.

Podrás identificar los 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de primer orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad.

Este es un ejercicio resuelto basado de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 39).

Analice el siguiente razonamiento y utilice el Teorema de la existencia y unicidad de una solución, para determinar si el problema con valores iniciales (PVI), tiene o no una solución única en los siguientes tres casos.

PVI:  $xy^{\prime }-4y=x^{6}\text{e}^{x}$ y las condiciones dadas:

a). $y\left( 0 \right)=0$

b). $y\left( 0 \right)=y_{0},y_{0}>0$

c). $y\left( x_{0} \right)=y_{0}$, $x_{0}>0,y_{0}>0$

Primero enunciamos el Teorema:

 

Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución

Supóngase que tanto la función $f\left( x,y \right)$ y su derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$son continuas en algún rectángulo $R$ en el plano “xy” que contiene el punto $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ en su interior.

Entonces, para algún intervalo abierto $I$ conteniendo el punto ${{x}_{0}}$, el problema del valor inicial

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$ , $y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}$

Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo $I$. (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo de solución  $I$ puede no ser tan “ancho” en continuidad como el rectángulo original $R$).

 

Para determinar la existencia y unicidad de una solución de una Ecuación diferencial, podemos tomar diferentes caminos, algunos autores los clasifican en: Concepción Geométrica, Concepción Numérica, Concepción analítica, Concepción topológica.

Aquí desarrollaremos la concepción analítica y la visualización del concepto y posteriormente haremos un desarrollo numérico y geométrico en otro artículo.

Según el Teorema, si las funciones $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en algún intervalo $R$  que contenga al punto considerado como valora inicial de una ED Ordinaria de Primer Orden (es decir, el punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ que se muestra en el enunciado del teorema como: $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, entonces se encontrará una solución para la ED Ordinaria de Primer Orden, la cual será única y se alojará en in intervalo $I$, que puede no ser tan grande como el intervalo $latex R$, pero que también contiene al punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$.

Por tanto, calculemos dichos valores y grafiquémoslos.

Primero calculamos $f(x,y)$  y $\frac{\partial f}{\partial y}$ y graficamos para analizar la existencia y unicidad de la solución para el problema que queremos resolver.

De la forma estándar obtenemos $f(x,y)$ y derivando esta ecuación encontraremos $\frac{\partial f}{\partial y}$.

De esta forma, tenemos:

$x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$, la cual escrita en forma estándar, es: $\displaystyle $

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

De la forma estándar $latex \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ vemos que:

$P\left( x \right)=-\frac{4}{x}$

Y

$f\left( x \right)={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$,

Entonces, para nuestro análisis y según el Teorema de existencia y unicidad, si:

$f\left( x,y \right)=P\left( x \right)y+f\left( x \right)$ (del despeje de la eq. ) ;

Y  $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial (-P(x)y+f(x))}{\partial y}$, son continuas en algún rectángulo $R$, entonces existe una solución única para el problema de valores iniciales).

De donde:

$f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

Y

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4}{x}=-P\left( x \right)$

Para recordar cómo determinar la continuidad de una función de dos variables seguir el siguiente enlace: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES:$f(x,y)$.

Ahora, graficando ambas curvas, en los INTERVALOS ABIERTOS $(-\infty ,\infty )$ y $(0,\infty )$, tenemos:

Sigue leyendo

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes (trozos), lineal de primer orden.

Al terminar de leer este ejercicio del Problema del Valor Inicial, ecuación diferencial dividida en partes, lineal y de primer orden,  entenderás:

  • El concepto de Ecuación Diferencial por partes,
  • Qué significa gráficamente la función o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y
  • Cómo resolver un Problema con Valores Iniciales (PVI), de un SISTEMA LINEAL o Ecuación Diferencial (ED), de estas características.

La metodología que utilizaremos es:

  1. Encontrar las soluciones generales para las dos funciones que componen la función de entrada.
  2. Evaluar individualmente las soluciones generales con los valores iniciales utilizando el concepto de continuidad de funciones dividida en partes, para encontrar sus soluciones particulares.

Utilizaremos los mismos 4 pasos que ya hemos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de 1er Orden, en este caso DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES y mostraremos las gráficas de la función solución dividida en parte.

Al final dejo el artículo descargable donde incluyo el desgloce paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para simular este tipo de EDO Lineal.

Ejercicio resuelto:

a)      $\frac{dy}{dx}+2xy=f(x)$, $y\left( 0 \right)=2$,

 

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}x,0\leq x< 1\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

 

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace).

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 33). Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

A. Empezamos con encontrar la solución general de la ED cuando  $f\left( x \right)=x$:

Pasos:

I.  Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$, Solo sustituimos el valor de la función de entrada $f(x)=x$, de modo que:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$
$\Large {{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$
El valor de P(x) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2x$

III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2×1$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el enlace: método de 4 pasos.

$\Large {{y}_{c1}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}xdx}}$

$\Large =C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$

$\Large =\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:
Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2x$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: método de 4 pasos.
$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$

$\Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ \Large {{y}_{p1}}=\frac{1}{2}$

Para ver el cómo se evalúa la integral $\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(x)dx$, ver el desarrollo al final del artículo.
Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+2xy=x$donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\mathbf{x}$, es:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

B. Ahora encontraremos la solución general para la función de entrada $f(x)=0$.

En este caso podemos notar que nuestra ecuación se convierte en el sistema homogéneo asociado de nuestro caso previo, por lo que ya conocemos la solución, es decir:

Tenemos.

$\Large \frac{dy}{dx}+2xy=0$

Donde su solución general es:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)={{y}_{c1}}=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

Y su factor integrante es igual al anterior:  ${{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

Solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, lineal y de 1er Orden.

Ahora, evaluamos cada solución general individualmente. Primero evaluamos cuando:

$\large f\left( x \right)=x$,

es decir:

$\large \frac{dy}{dx}+2xy=x$

con valores iniciales:

$\large x=0;y=2$

Vimos que la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo, cuando $f\left( x \right)=x$, es:

$\Large y_{1}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Para este caso, como la restricción para la función de entrada: $f(x)=x$ es: $0\leq x< 1$, podemos sustituir los valores iniciales $x=0,y=2$ en la solución general obtenida puesto que no violan la restricción, de modo que:

$\large y\left( 0 \right)=2$

Implica, en la solución general $\large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$ que:

$\Large 2=\frac{C}{{{e}^{{{(0)}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}$

$\Large \Rightarrow 2-\frac{1}{2}=C$

$\Large \Rightarrow C=\frac{3}{2}$

Sustituyendo este último resultado en la solución general, vemos que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{3}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

Ahora evaluamos cuando $f\left( x \right)=0$ Para conocer la solución particular de la EDO lineal con la Función de Entrada anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal, no está definida para cuando: $x=0$, según podemos ver en la definición de la función de entrada, definida por partes:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}…\\ 0,x\geq 1\end{matrix}\right.$

Por lo que para evaluar la función de Salida obtenida, es decir la solución general obtenida para cuando $f(x)=0$, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, ver el desarrollo paso a paso de la definición en el siguiente enlace (click aquí).

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN: De manera informal podemos decir que una función es continua si el límite de ésta función existe, cuando su variable independiente tiende a un número específico. Para saber si existe dicho límite, debemos probar que, el límite de la función cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda.

De acuerdo a esta definición, podemos asumir que el límite de la función solución obtenida, si existe (la solución general de laEDO lineal cuando ($f(x)=0$), es decir  $f(x)={{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$ si existe,  y es igual a:

  • A la izquierda la función solución general obtenida para cuando $f(x)=x$, es decir:

$\Large {{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}+\frac{1}{2}$

  • A la derecha la función general obtenida para cuando $f(x)=0$, es decir:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}$

De modo que con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$\Large \frac{3}{2\text{e}}+\frac{1}{2}=\frac{C}{\text{e}}$

Esto implica:

$\Large C=\frac{3}{2}+\frac{e}{2}$

Por tanto:

$\Large {{y}_{2}}\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{e}{2}}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\frac{3{{e}^{-{{x}^{2}}}}}{2}+\frac{{{e}^{1-{{x}^{2}}}}}{2}$

De donde, la solución del Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes, es:

$\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2e^{x^{2}}}+\frac{1}{2},0\leq x< 1\\ \frac{3e^{-x^{2}}}{2}+\frac{e^{1-x^{2}}}{2},x\geq 1\end{matrix}\right.$

Este resultado no es válido, en realidad, por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. Ver el siguiente enlace, click aquí

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.

Problema del Valor Inicial. Ecuación Diferencial Dividida en partes

La Gráfica en negro es la FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para el problema de valores iniciales; la forma que adquiere esta gráfica se puede entender si sobreponemos sus componentes (las gráficas en azul y anaranjado)

Problema del Valor Inicial. Ecuacion Diferencial dividida en partes

En esta gráfica podemos ver que en el punto , la gráfica aparece continua, sin embargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no la reducen a la identidad. Ver el enlace, da click aquí.

Evaluando la integral del paso IV:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

$u={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$du=2xdx$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2x \right)dx\Rightarrow \frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS. Descarga gratuitamente éste mismo ejercicio resuelto en este link: Ecuación Diferencial Lineal definida en partes.

 

Da un paso adelante y descarga este mismo ejercicio y además con un desarrollo paso a paso del código de MATHEMATICA y SAGE para resolverlo, para DESCARGARLO da click aquí. Puedes introducir el código de SAGE aquí (da click aquí), para simularlo.

 

O MEJOR AÚN Descarga el ejercicio resuelto: Que incluye:

  1. Una explicación mas detallada del ejercicio,
  2. Una EXPLICACIÓN DETALLADA del CÓDIGO EN MATHEMATICA y SAGE para resolverlo.
  3. El archivo .nb para correr en MATHEMATICA y
  4. El código en formato plain- text para pegarlo en SAGE.
  5. La simulación gráfica en MATHEMATICA y SAGE
  6. Da Click en el boton de “agrégalo a tu carrito”. =)

 

Practica los ejercicios utilizando la técnica adecuada, para esto te invito a que revises la técnica que te describo en el siguiente link: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales y te dediques diariamente a resolver al menos un ejercicio aplicando la técnica que te describo, además de los problemas de tarea que tengas al comienzo de tu estudio de esta fascinante materia.

Ver mas ejemplos?  probl 32, problema 34probl 35

Quiero saber como expresar mi resultado usando la Función Error (Dale Click aquí)

Quiero aprender a simular mis Ecuaciones Diferenciales con un Software de Computadora (Dale Click)

Te ha servido el artículo? contáctame para cualquier sugerencia o duda en el siguiente link: contacto

Mientras te dejo con mi artículo: La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales.

Seguramente te facilitará tus estudios y te hará mas fácil la vida. 😉

Intervalo de solucion: ¿Cómo encontrarlo en un Problema del Valor Inicial(PVI)?

Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solucion), para el Problema del Valor inicial(PVI):

a)      $\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$,             $y(1)=10$

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 29).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que $f(x)$ , es una constante.

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}={{e}^{\ln (x+1)}}$

$ =\text{x}+1$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es :$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$=C{{e}^{-\ln (x+1)}}$

$=C{{e}^{-\ln (x+1)}}$

$=C{{e}^{\ln {{(x+1)}^{-1}}}}$

$=C{{(x+1)}^{-1}}$

$=\frac{C}{(x+1)}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $x=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=10$ , de modo que:

Sustituyendo en:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}$

Tenemos:

$10=\frac{C}{1+1}~\Rightarrow ~~C=\left( 2 \right)10~\Rightarrow C=20$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

${{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}$ y la solución particular  ${{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}$

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

La función $y_{c}=\frac{C}{x+1}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $D_{y_{c}}:\left \{x \epsilon R | -1x<\infty \right \}$. Por tanto, la solución particular $y_{c1}=\frac{20}{x+1}$, tiene el mismo dominio: $D_{{y}_{c1}}:\left\{ x\in R |-1<x<\infty \right\}$, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de $C=20$ , para la solución particular del PVI $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$$y(1)=10$. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo es: $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{-kt}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=\frac{1}{x+1}$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogéneo

${{y}_{p}}=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\text{x}+1(\frac{\ln x}{x+1})dx$

$=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\ln xdx$

Utilizando, integración por partes:

$u=\ln x~~~~;~~~~~~~~dv=dx$

$du=\frac{dx}{x}~~~~~~;~~~~~~~~v=x$

Por tanto:

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}x\frac{dx}{x}]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}dx]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-x]$

$=\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” e “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$x=1;~~~~~~y=10$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$y\left( 1 \right)=10$

Tenemos:

$10=\frac{C}{1+1}+\frac{1\ln 1}{1+1}-\frac{1}{1+1}$

$\Rightarrow 10=\frac{C}{2}+\frac{1\ln 1}{2}-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 10=\frac{C+1\ln 1-1}{2}$

$\Rightarrow 20=C+1\ln 1-1$

$\Rightarrow 20+1=C+1\ln 1$

$\Rightarrow 21=C+\ln {{1}^{1}}$

$\Rightarrow 21=C+0$

$\Rightarrow C=21$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

y la solución particular del PVI:
$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de la solución $y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$ está en el intervalo: ${{D}_{y(x)}}:0<x<\infty$ . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI ($\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$,   $y(1)=10$), es el intervalo abierto: $(0,\infty )$, ver que el cero no se incluye en el intervalo solución. Notar que el valor de $C=21$ , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: 

$\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$, $y(1)=10$, es,

$\large y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon R|0 < x < \infty\right\}$

Si analizamos la función Solución General $y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$, por separado viendo que: $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$ ,   $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$  y  $h\left( x \right)=\frac{x\text{Log}(x)}{1+x}$, podemos notar más evidentemente cual es el dominio de ésta, al notar con mayor claridad el dominio de cada una de sus componentes particulares.

A continuación ponemos las gráficas de cada una de las funciones que conforman la solución del PVI para el sistema NO Homogéneo, por separado y luego en conjunto, para analizar con más cercanía por qué el intervalo de solución se reduce a $latex (0,\infty )$:

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{f(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”.

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{g(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”. Como sabemos ésta parte de la solución del PVI, es la solución general del sistema homogéneo, que incluye a la gráfica anterior $f(x)$.

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

El dominio de esta función es $D_{y(x)}:0<x<\infty$, es decir, son todos los números reales exceptuando los negativos y el CERO. Esto se debe a que la función “Logaritmo Natural”, no está definida para cero: ($\ln 0=\infty$).

Esto se pone en mayor evidencia si evaluamos la siguiente función:

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

intervalo de solucion del problema de valores iniciales

Por último, Vemos que la forma de la gráfica solución la da las funciones $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$Y $h\left( x \right)=\frac{x\ln x}{1+x}$, que al agregarles la función $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$, solo termina desplazándola un poco hacia abajo.

Desarrollar tu intuición y confía en ella cuando estés estudiando ecuaciones diferenciales. Para esto necesitas preparar tu mente, es por esto que te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios utilizando esta técnica, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tu mente entenderá con facilidad los conceptos más abstractos.

Necesitas mas ejemplos, ver el Problema 30,

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Ecuacion Diferencial ejercicios resueltos Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (10-11)

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y= y_{c}+y_{p}$

3               ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 10 al 12)

a)      $x{{y}^{‘}}+2y=3$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. ${{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}=\frac{C}{{{x}^{2}}}$
  4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}3xdx$

$=\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx=\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}$

$=\frac{3}{2}$

Por tanto:

                          $y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$

______________________________________________________________________________________

b)      $x{{y}^{‘}}+4y={{x}^{3}}-x$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y={{x}^{2}}-1$
  2. ${{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{4\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{4}}}}={{x}^{4}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-4\ln x}}$

$=C{{e}^{\ln {{x}^{-4}}}}$

$=C{{x}^{-4}}$

$=\frac{C}{{{x}^{4}}}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}({{x}^{2}}-1)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{6}}-{{x}^{4}})dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{6}}dx-\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}dx$

$=\frac{1}{7{{x}^{4}}}{{x}^{7}}-\frac{1}{5{{x}^{4}}}{{x}^{5}}$

$=\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

Por tanto:

$y=\frac{C}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

Te invito a que practiques la solución de problemas mediante los pasos aquí descritos y que puedes ver a detalle en el siguiente artículo: Método de 4 pasos para ED’s lineales.

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

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Quiero un Ejemplo de un circuito del tipo RLC  en serie

Quiero un ejemplo de un circuito  del tipo RC en serie

Quiero un ejemplo de un circuito RLC en paralelo

Cómo simulo problemas de Ecuaciones Diferenciales con Software libre y poderoso?

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