Ecuacion diferencial lineal de primer orden. Prob 25 Cap 2.3. G. Zill.

Ecuacion diferencial lineal de primer orden

Intervalo de definición de la solución del problema del valor inicial. Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.

Utilizaremos el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

$xy’+y={{e}^{x}}$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, $P(x)=\frac{1}{x}$. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}$

$=\text{x}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, donde: $P(x)=\frac{1}{x}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-\ln x}}$

$=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$

$=C{{\text{x}}^{-1}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden

Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogéneo asociado ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$  . Además, mostramos una solución particular ${{y}_{c1}}=\frac{2}{x}$ donde $C=2$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$  , tiene como dominio más largo el intervalo: ${{D}_{{{y}_{c}}}}:x\in \mathcal{R}-(0,0)$. Es decir, el dominio de la función abarca todos los reales a excepción del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos más largo de solución de la función es  $0Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo..

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Observar como la solución particular fue idéntica a $f\left( x \right)$. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x(\frac{{{e}^{x}}}{x})dx$

$=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx$

$=\frac{1}{x}[{{e}^{x}}]$

$=\frac{{{e}^{x}}}{\text{x}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y=\frac{C}{x}+\frac{{{e}^{x}}}{x}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden

La solución del sistema no homogéneo, es decir la solución de la ED lineal completa, para el problema del valor inicial (PVI) es:$ ~y\left( x \right)=\frac{2-\text{e}+{{\text{e}}^{x}}}{x}$  , Donde: $ C=2-e$. El dominio de la solución está en el intervalo: $D_{y_{p}}:0< x< \infty$ o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: $\left ( 0,\infty  \right )$

Por tanto, la solución general de la ecuacion diferencial lineal de primer orden

$xy’+y={{e}^{x}}$, es:

$y=\frac{C{{e}^{x}}}{x}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty  \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos, Zill C. 2.3 (Prob 20)

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos: El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ecuacion diferencial lineal de primer orden mediante ejemplos en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 20)

$ \large {{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $ \frac{dy}{dx}$   , que es “$ {{(x+2)}^{2}}$   ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8}{{{(x+2)}^{2}}}y+\frac{4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8+4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4(2+x)}{(x+2)(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de P(x) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   ,   donde:$ P(x)=\frac{4}{x+2}$   . Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y la división entre polinomios, vea el final del ejercicio.

$ {{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+2}dx}}={{e}^{4\ln (x+2)}}$

$ ={{e}^{\ln {{(x+2)}^{4}}}}$

$ ={{(\text{x}+2)}^{4}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=0$    . Para resolverla sustituimos en la fórmula: $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , los valores de $ P(x)=\frac{4}{x+1}$   , encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{-4\ln (x+2)}}$

$ =C{{e}^{\ln {{(x+2)}^{-4}}}}$

$ =C{{(\text{x}+2)}^{-4}}$

$ =\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ \large {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y=-\frac{243}{{{(2+x)}^{4}}}$    donde $ C=-243$   . Notar que la función $ {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, tiene como dominio más largo el intervalo: $ -2\le x\le \infty $    (analizar el denominador de la función $ \frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, (notar que el intervalo $ -\infty \le x\le -2$    , es menor que el mencionado. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $ (-2~,\infty )$   . El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$   , que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$   , donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$    (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$    obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{4}}\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{2}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{2}}+4x+4)dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx+4\mathop{\int }^{}xdx+4\mathop{\int }^{}dx$

$ =\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}(\frac{{{x}^{3}}}{3}+4\frac{{{x}^{2}}}{2}4x)$

$ =\frac{5{{x}^{3}}}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(x+2)}^{4}}}$

$ =(\frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}})(\frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4)$

$ =\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y\left( x \right)=-\frac{824}{3{{(2+x)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{5{{x}^{3}}}{3{{(2+x)}^{4}}}$, Donde: $ C=-\frac{824}{3}$. Nuevamente notar que la función $ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$, tiene como dominio el intervalo (más largo): $ (-2~,\infty )$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ ({{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$, es:

$ \LARGE y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos (Repasos)

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$    implica  $ x=\ln y$    y además $ \ln y= \log_{e}y$ recordamos que la función $ x=\log_{e}y$   , es inversa de $ y=e^{x}$   , por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$      y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Factorización

$ \left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4 \right)=\left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3} \right)=\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

$ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4=\frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3}$


Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos. Libro: Dennis G. Zill 7ª Ed. Capítulo 2.3 (1-5)

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos.

Ecuacion diferencial lineal ejercicios resueltos. El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tratar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de Ecuaciones Diferenciales lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante (en 4 pasos, da click aquí)

  1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$

3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 1 al 5)

a)      $ \frac{dy}{dx}=5y$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-5y=0$
  2. $ {{e}^{-5\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{-5x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{5\mathop{\int }^{}dx}}=C{{e}^{5x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-5x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-5x}}\left( 0 \right)dx=0$

$ y=C{{e}^{5x}}+0=C{{e}^{5x}}$


b)      $ \frac{dy}{dx}+2y=0$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2y=0$
  2. $ {{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2x}}$
  4. $ \mathop{y}_{p}=\frac{1}{\mathop{e}^{2x}}\int{\mathop{e}^{2x}}(0)=0$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-2x}}+0=C{{e}^{-2x}}$


c)       $ \frac{dy}{dx}+y={{e}^{3x}}$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+y={{e}^{3x}}$
  2. $ {{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}{{e}^{3x}}dx$

$ =\frac{1}{{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{4x}}dx$

$ =\frac{1}{4{{e}^{x}}}{{e}^{4x}}dx$

$ =\frac{1}{4}{{e}^{3x}}dx$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-x}}+\frac{1}{4}{{e}^{3x}}dx$


d)    $ 3\frac{dy}{dx}+12y=4$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}$
  2. $ {{e}^{\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{4x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{4x}}(\frac{4}{3})dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{4x}}}\mathop{\int}^{}{{e}^{4x}}(4)dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{4x}}}{{e}^{4x}}=\frac{1}{3}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-4x}}+\frac{1}{3}$


e)      $ {{y}^{‘}}+3{{x}^{2}}y={{x}^{2}}$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+3{{x}^{2}}y={{x}^{2}}$
  2. $ {{e}^{3\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx}}={{e}^{{{x}^{3}}}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{3}}}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{3}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{3}}}}\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ =\frac{1}{{{e}^{{{x}^{3}}}}}\frac{1}{3}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{3}}}}(3)\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ =\frac{1}{3{{e}^{{{x}^{3}}}}}{{e}^{{{x}^{3}}}}=\frac{1}{3}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-{{x}^{3}}}}+\frac{1}{3}$

El código de MATHEMATICA para resolver y graficar éste último ejercicio se muestra en la Figura 1.

CodMATHEMATICA_Ejerc23(1_5)

¿Cómo cerciorarme de que mis ejercicios resueltos son correctos?

No te preocupes, con esta herramienta que habilité para tí lo podrás hacer y al mismo tiempo aprenderás a simular tu Ecuaciones Diferenciales, como vez? ;). Sigue los pasos que acontinuación enumero:

1- Para esto te invito a que escribas tu código en cualquiera de los siguientes lenguajes: SAGE, Octave, Maxima o Python en la página “Haz tu Simulación“, dandole click aquí.

2- Para ir aprendiendo a teclear el código en SAGE descarga los ejercicios resueltos que están en esta liga “Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos

3 – Aprende haciendo y disfruta.

Cómo aprender Ecuaciones Diferenciales

El enfoque para aprender mediante el “hacer”, requiere de desarrollar nuestra intuición para poder aplicar las técnicas que vamos aprendiendo de forma más rápida.

Para esto es necesario que desarrolles o adoptes metodologías que te permitan aplicar de manera ordenada el conocimiento que adquieres. Esto te permitirá desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

Te sirvió la información?

Para cualquier sugerencia, duda o retroalimentación sobre el artíaculo te invito a que dejes tu comentario más abajo en esta misma página ó nos contactes en esta página:

Descarga el archivo: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos en PDF, los cuales son los ejercicios resueltos del capítulo de Ecuaiones Diferenciales Lineales del libro de Dennis G. Zill: Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera, en el siguiente link (Dale click aquí):

O, si lo prefieres descargalos desde el siguiente link: Ejercicios 23(1-5) Zill by ecuaciondiferencial