Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Modelos No lineales

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

EVAPORACION

Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales.

En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así
obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema. De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.

Metodología para modelado matemático de un sistema físico

Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:

1.- Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,

2.- Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combinalas de acuerdo al diagrama del sistema y obten un modelo matemático,

3.- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predecido – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.

(La validación de cualquier modelo matematico puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación).

Ecuaciones diferenciales aplicadas ejercicios resueltos

Modelo No lineal

EVAPORACION (Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20)

Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $ R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $ \pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema

Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $ k = 0.01$.

a) La rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $ t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $ h$ del agua al tiempo $ t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $ V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $ R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $ A = \pi r^2$ en terminos de $h$.

b) Resuelva la ecuacion diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.

c) Si no hubiera evaporacion, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?

d) Con evaporacion, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?

Solución

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