Simulación y Graficación de Ecuaciones Diferenciales con SAGEMATH

Utiliza la siguiente celda para aplicar tu conocimiento de Ecuaciones Diferenciales realizando la Simulación de tus ejercicios junto con sus gráficas, o simula cualquier sistema físico escrito muy fácilmente con lo que te voy a mostrar aquí utilizando código escrito en SAGEMATH o Python

Simulación Ecuaciones Diferenciales


Escribe en la siguiente celda tu código:

Aquí tienes ejemplos de como realizarlo:

¿Cómo simular una Ecuación Diferencial (ED) Ordinaria con SAGEMATH?:

Tenemos la ecuación a resolver:

$\large y’=-\frac{x}{y}$

El código se puede ver dándole click al botón Mostrar Código:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")          # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)       # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y     # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solg = desolve(DE, y)      # Solucion general de la ED: x*y' + y = e^x mediante el comando "desolve"
show(solg)

El código requerido también se puede ver dentro de la Celda de SAGEMATH. Dale clic a evaluate para ver el resultado:

¿Cómo simular un Problema del Valor Inicial (PVI) para una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Utilizamos la misma ecuación diferencial anterior, con condiciones iniciales:

$\large y’=-\frac{x}{y}$

$\large y(1) = 1$

El código es muy parecido al anterior, con una pequeña variación dentro de la función desolve, como se ve en el código. Éste se puede ver dándole click al botón Mostrar Código:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")               # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)            # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y          # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solp = desolve(DE,[y,x], [1,1]) # Solucion general de la ED: x*y' + y = e^x mediante el comando "desolve"
show(solp)

El código requerido también se puede ver dentro de la Celda de SAGEMATH. Dale clic a evaluate para ver el resultado:

A continuación te dejo el código de SAGEMATH para graficar la solución particular anterior, copialo y pegalo en la celda de SAGEMATH para ver el resultado

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")               # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)            # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y          # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solp = desolve(DE,[y,x],[1,1])  # Solucion particular de la ED: x*y' + y = e^x para y(1)=1

f = -1/2*y^2==1/2*x^2-1

y = solve([f],y)
show(y[0]); show(y[1]);
print('Graficando y(x) = sqrt(-x^2 + 2)')

y = y[1].rhs()

plot(y,-1.42,1.42,ymax=1.5,ymin=0)

¿Cómo graficar una Solución del Problema del Valor Inicial (PVI) para una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Para éste ejemplo utilizamos la siguiente ED:

$\large xy’ + y = e^{x}$

Con valores iniciales:

$y(1) = 1$

El código en SAGEMATH y la gráfica se ven dándole clic al siguiente botón:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")                 
y = function("y")(x)          
DE = diff(y,x) == (e^x-y)/x      
solp = desolve(DE,[y,x],[1,1])
show(solp)
plot(solp, -5, 5, ymin=-5, ymax=5)
La Gráfica deberá tener la forma:
Mostrar Gráfica de SAGE

El código también esta dentro de la celda:

¿Cómo simular y graficar un campo de direcciones de una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Utilizaremos el mismo PVI, anterior:

$\large xy’+y=e^{x}$

$y(1) = 1$

El código incluye la graficación de la solución particular del PVI, además del campo de direcciones, clic al siguiente botón:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")                 
y = function("y")(x)          
DE = diff(y,x) == (e^x-y)/x     
solg = desolve(DE,[y,x])        

## Código para graficar el CAMPO DE DIRECIONES
y, x = var('y x')
F=plot_slope_field((e^x-y)/x, (x,-5,5), (y,-5,5))
B=F

## Código para Graficar la FAMILIA DE SOLUCIONES
Lista = [k/2 for k in[-10..10]]
for k in Lista:
    C=implicit_plot((e^x-y)/x == k, (x,-5,5), (y,-5,5))
    B=B+C
print('La Familia de soluciones xy\' + y = e^x es \n')
show('y(x)= '), show(solg);
show(B)
La gráfica deberá verse de la siguiente forma:
Mostrar Gráfica de SAGE

El código también esta dentro de la celda:

Nota: todos los códigos se pueden editar.  Para adaptarlos a tus propios ejercicios, lee los comentarios que incluí en estos y que están precedidos por el simbolo «#»

Por último, tomaré un ejemplo de la página The Azimut project, para mostrar la simulación de un sistema físico y la capacidad interactiva de SAGEMATH:

Mostrar Código de SAGE
def lv(g,k=None):
   Tg = ode_solver()
   Tg.function = lambda t, y: [y[0]*(1 - y[1]), -g*y[1] + y[0]*y[1]]
   sol_lines = Graphics()
   for i in srange(0.1,1.1,.2):
      Tg.ode_solve(y_0=[i,i],t_span=[0,10],num_points=10^3)
      y = Tg.solution
      sol_lines += line([x[1] for x in y], rgbcolor = (i,i,0))
   return sol_lines

@interact
def lv_explorer(gamma = (0.,1.,0.1)):
    show(lv(gamma))

La funcionalidad interactiva se describe en el siguiente video:

Dale click a «Evaluate» y juega con los campos para los parámetros y los botones deslizantes del comando @Interact:

 Nota que todos los códigos se pueden editar.  Para adaptarlos a tus propios ejercicios, lee los comentarios que incluí en estos y que están precedidos por el simbolo «#»

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Hayne W. Reese. West Virginia University


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HAZLO

El aprendizaje mediante el hacer es una de las técnicas más utilizadas de todos los tiempos que ha demostrado una efectividad enorme a la hora de emplearla por sobre la técnica de la memorización.

Según el libro Introducción a la PNL de Joseph O’Connor y John Seymour, dice que debes involucrarte en el hacer antes de tratar de comprender completamente una materia.

El aprendizaje acelerado consiste en hacer algo y solo después aprender cómo se hace

Introducción a la PNL: Joseph O’Connor y John Seymour

Éste el principio que sigo en este blog y que en lo personal me ha dado mayor resultado puesto que me he dado cuenta que tomar el método y utilizarlo, aun cuando no haya comprendido su significado del todo, me resulta totalmente conveniente y efectivo pues la mente necesita ser alimentada antes de que trate de comprender algo.

Posteriormente, cuando ya hayamos avanzado en la aplicación de las técnicas podremos avanzar en su comprensión  a fondo.

Por tanto, te invito a no preocuparte más por querer comprender desde el principio las técnicas de la materia de Ecuaciones Diferenciales o de cualquier materia que te resulte difícil si no más bien, dedícate a emplear las técnicas, observa los resultados y vuelve a aplicarlas.

Confía en que tu mente está obteniendo la información que necesita y descifrará en cualquier momento el significado de las instrucciones; esto siempre sucede si avanzas sin presionarte ni preocuparte demasiado.

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Confía

Disfruta de realizar los ejercicios, olvida el porqué, de momento y aplícate en el cómo, y veras que aparece la magia.  😉

Manuel Alejandro Vivas Riverol

PD.  Lo que oyes, lo olvidas; lo que vez, lo recuerdas; lo que haces, lo entiendes

Mantra: Lo que hago lo entiendo


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Aprender y desarrollar tus habilidades es una manera segura de:

  • Obtener Seguridad Emocional.
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Perfeccionando lo que mejor haces y viviendo de ello es una formula, probablemente, inmejorable para adquirir seguridad emocional. ¿Lo puedes ver? 🙂

No habrá un trabajo en donde tengas toda la energía, la tenacidad y la determinación para llevarlo al más alto nivel que no sea el trabajo que ames porque utilices tus habilidades. Solo en un trabajo así podrás tener las mayores ganancias que puedas hacer en tu vida (siendo todo legal), porque lo desarrollarás al máximo ya que lo disfrutas al 100%.

Brindar servicio efectivo a los demás ayudándolos a resolver sus problemas con lo que mejor sabes hacer y vivir de ello te hará sentirte realizado.

La contribución a tu entorno (familia, colonia, ciudad, país, al mundo)  te hará sentir que la vida tiene un sentido más elevado, un sentido en donde todos tienen un papel para hacer un mundo mejor. 😉

Contribución

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El sentido de la vida

Estoy seguro de que te has sentido de maravilla cuando has realizado alguna acción en beneficio de alguien más, utilizando tus habilidades, y has podido resolverle su problema…, ¿puedes recordar esa sensación?

Hacer felices a los demás nos hace felices…

Todos podemos vivir de nuestras propias habilidades; te invito a desarrollarlas.


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