Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Circuitos Eléctricos RLC en serie
En el siguiente artículo aprenderás mediante un ejemplo cómo se resuelve un circuito electrico mixto o circuito electrico RLC utilizando ecuaciones diferenciales y conocerás la relación entre los componentes del circuito y su representación como cantidades diferenciales que cambian con el tiempo.
Para desarrollar este ejemplo partiremos de la configuración básica para un circuito RLC, que es cuando sus componentes están conectados en serie, como lo muestra la Figura 1.
Donde, los elementos mostrados son:
- Un resistor con una resistencia $ R$ ohms
- Un inductor con una inductancia de $ L$ henries,
- Un capacitor con una capacitancia de $ C$ faradios,
- Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje $ E(t) $de $ 110$ V
- a $ 60$ Hz, en el tiempo $ t$.
De acuerdo con los principios elementales de electricidad, las caídas de voltaje a través de los elementos del circuito son las que se muestran en la Tabla 1.
| Elementos del circuito | Símbolo | Caída de Voltaje(representación diferencial) | Valores |
| Inductor | $ L$ | $ L\frac{dI}{dt}$ | $ 100$ mH |
| Resistor | $ R$ | $ RI$ | $ 50$ Ω |
| Capacitor | $ C$ | $ \frac{1}{C}Q$ | $ 500$ μF |
| Fuente de corriente alterna | $ E(t)$ | Voltaje suministrado en el tiempo $ t$ | $ 110$ V a 60Hz |
Estas expresiones, para las caídas de voltaje, derivadas de la física, provienen de conclusiones experimentales, que han llevado a las siguientes definiciones:
Caídas de Voltaje. Circuito electrico mixto
- Resistencia. La caída de voltaje a través de una resistencia ($ R$) es proporcional a la corriente que pasa a través de ésta, es decir: $ E(t) \alpha I$ ó $ E(t) =R I$ (Ley de Ohm). Donde $ R$ es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o simplemente resistencia.
- Inductor. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente, es decir: $ E(t) \alpha\frac{d{I}}{d{t}}$ ó $ E(t) = L \frac{d{I}}{d{t}}$. Donde $ L$ es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductáncia o simplemente inductor.
- Capacitor (condensador). La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador: $ E(t) \alpha Q$ ó $ E(t) =\frac{{Q}}{C}$. Donde $ \frac{1}{C}$ es la constante de proporcionalidad y $ C$ es la capacitancia del capacitor o inductor.
Estas definiciones se pueden entender mejor si guardamos en mente que una resistencia disipa una parte de corriente como calor, un inductor se opone a los cambios de corriente por el efecto del campo magnético que genera alrededor de sí que a su vez le autoinduce una tensión, un capacitor (condensador), es un elemento que almacena energía.
La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie.
Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de $ E(t)$ en el tiempo $x t$, como lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto provoca una corriente $ I(t)$ en amperes en el circuito y una carga $ Q(t)$ en coulombs en el capacitor en el tiempo $ t$. La relación entre las funciones $ I$ y $ Q$ es:
| \begin{equation} \frac{dQ}{dt} = I(t) \end{equation} | (1) |
Es decir:
La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por unidad de tiempo que recorre un material.
Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se obtienen de la experimentación. Las unidades utilizadas para esta ecuación pertenecen al sistema $ mks$, por lo que la unidad de tiempo es el segundo(s).
Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1, utilizamos una de las leyes de Kirchoff -la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos.
Ley de Kirchoff (mallas)
La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.
Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico mixto RLC
De modo que, sumando las caídas de voltaje (ver Tabla 1) e igualándolas al voltaje de la fuente de corriente alterna, tenemos:
| \begin{equation} L \frac{d\mathbf{I}}{d{t}} +{R}{I}+ \frac{1}{C} \mathbf{Q}= E ( t) \end{equation} | (2) |
Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una función como incógnita (digamos $ Q$), obtenemos:
| \begin{equation} L \frac{d^2 {Q}}{d{t}^2} +{R} \frac{d{Q}}{d{t}} + \frac{1}{C} {Q}= E ( t) \end{equation} | (3) |
Con lo que tenemos una expresión consistente para el circuito RLC conectado en serie como el mostrado en la Figura 1.
Ahora, si derivamos la ecuación (3) en ambos lados, sustituyendo $ {I}$ por $ {Q}’$ obtenemos:
| \begin{eqnarray*} L \frac{d^2{I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} \ast\frac{d}{d{t}} \int {I}d{t} & = & E’ ( t) \end{eqnarray*} |
ya que:
| \begin{eqnarray*} \frac{d{Q}}{d{t}} & = & {I} ( t)\\\\ \int d{Q} & = & \int {I} ( t) d{t}\\\\ {Q} & = & \int {I} ( t) d{t} \end{eqnarray*} |
Es decir:
| \begin{equation} L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R} \frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t) \end{equation} | (4) |
De esta forma tenemos las ecuaciones (3) y (4), para resolver nuestro problema ejemplo, que a continuación describo.
Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Aplicaciones.
Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden
Ejemplo:
Considere un circuito RLC con $ R = 50 {ohms} ({\Omega})$, $ L =0.1 {henry} ( H)$ y $ C = 5 \times 10^{- 4} {farad} ( F)$. En el tiempo $ t=0$, cuando tanto $ {I}(0)$ como $ {Q}(0)$ son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de $ 110 {Volts}, 60 {Hz}$. Encuéntrese la corriente en el circuito.
Solución:
Para resolver este problema recordemos lo siguiente:
El caso típico el voltaje de corriente alterna, se representa como:
| \begin{equation} E(t) = E_0 {sen} {\omega}{t} \end{equation} | (5) |
Donde, $ E_0$es el voltaje inicial (en el tiempo 0).
Solución de una ecuación diferencial lineal NO homogénea de 2º orden
La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de 2º orden, se compone de la suma de la solución de su sistema homogéneo asociado mas una solución particular, es decir la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea:
$ \Large {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$
Donde $ {a}_2$, ${a}_1$, ${a}_0$, son constantes.
Tiene la forma:
$ \large y = y_c + y_p$
Donde:
$ y$: solución general
$ y_c :$ es la solución complementaria o solución del sistema homogéneo asociado: $ {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = 0$
$ y_p$: es una solución particular o solución del sistema no homogéneo:
$ {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$
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En circuitos eléctricos dicha solución tiene un significado físico por lo que para un circuito RLC respresentado por la ecuación diferencial de 2º orden (4): $ L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)$, la solución está compuesta por:
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