Ecuacion diferencial homogenea 1er orden

Una vez que hayas finalizado la lectura de este artículo podrás resolver cualquier ecuacion diferencial homogenea 1er orden, mediante un método eficaz y fácil de aplicar, con lo que rápidamente podrás resolver tus ejercicios.

Según la Doctora Barbara Oakley profesora de ingeniería en el departamento de ingeniería de sistemas e industrial de la universidad de Oakland en Rochester, Michigan; una de las formas no solo de recordar información si no también de comprenderla es realizando analogías y/o metáforas que relacionen la información que queremos aprender con conocimiento fácil de recordar para nosotros, por ejemplo cuando visualizamos la corriente eléctrica como flujo de agua.

O cuando hacemos las metaforas para relacionar los CAtIONES con el signo (+) y los AnIONES con el signo (- , n EGATIVO) utilizando sus propias letras.

Por este motivo, te propongo formular una analogía para recordar cómo identificar una ED homogénea de primer orden. Puedes ver un ejemplo en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden. Utiliza el criterio de homogeneidad de una ED que a continuación se describe.

Criterio de homogeneidad de una Ecuación Diferencial

El criterio que determina la homogeneidad de una ED es el siguiente, cuando veas una ED escrita de esta forma:

\begin{equation} M ( x,y ) d x+N ( x,y ) d y=0 \end{equation}

(1)

Para determinar su homogeneidad corrobora que la suma de los exponentes para las variables de cada uno de sus términos sea la misma; es decir, supongamos que $ M=-C x^{r} y^{s} -B x^{p} y^{q}$ y $N=Ax^{m} y^{n}$, entonces (1) se transforma en:

\begin{equation} – ( C x^{r} y^{s} +B x^{p} y^{q} ) d x+A x^{m} y^{n} d y=0 \end{equation}

(2)

Donde A, B, C son funciones polinomiales también.

De tal manera de que si la suma TOTAL de los exponentes de cada termino es la misma, es decir, siguiendo con la ecuación anterior:

$ \large r+s=p+q=m+n=K$

Entonces la Ecuación Diferencial es homogénea.

Ver un ejemplo en este enlace: click aquí.

Ver un desarrollo mas detallado del criterio de homogeneidad en la presentación: Homogeneidad de una ecuación diferencial de primer orden.

METODOLOGÍA UTILIZADA

Cómo resolver una ED homogénea de primer orden en 4 pasos.

Para resolver ED homogéneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, que describimos a continuación:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$ o $ \frac{d x}{d y} =f ( y,x )$

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la
convierta en la forma:

$ \frac{d y}{d x} =f \left( \frac{y}{x} \right)$ o $ \frac{d x}{d y} =f\left( \frac{x}{y} \right)$

2. Seleccionamos la sustitución adecuada:

$ u= \frac{y}{x}$ o $ v= \frac{x}{y}$

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

$ x \frac{d u}{d x} =F ( u ) -u$  o  $ y \frac{d v}{d x} =F ( v ) -v$

4. Integramos e inmediatamente después de aplicar la formula de integración regresamos a las variables originales.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ecuaciones Diferenciales homogeneas 1er orden

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

$ \large 2x y \frac{d y}{d x} =4x^{2} +3y^{2}$

Solución

Paso 1. Determinamos homogeneidad Sigue leyendo →