Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17)

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 (Problema 17): el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método de solución de ED lineales

A continuación describimos el método para solución de cualquier ecuación diferencial lineal mediante 4 apsos sencillos. Una explicación más detallada de de éste método la puedes encontrar en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

1. Forma Standard: $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
2. Factor Integrante: ${{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 17)

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$

Pasos:

I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$\cos x$” , los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”.

Por último agrupamos términos semejantes y simplificamos.

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,

${{e}^{{\int }^{}\frac{\sin x}{\cos x}dx}}={{e}^{{\int }^{}\tan xdx}}$

$={{e}^{-\ln (\cos x)}}$

$={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}$

$={{(\cos x)}^{-1}}$

$=\frac{1}{\cos x}$

$=\sec x$

Para esto sustituimos el valor de P(x) en ${{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,   donde: $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}\tan xdx}}$

$=C{{e}^{\ln (\cos x)}}$

$=C\cos x$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$\large {{y}_{c}}=C\cos x$

Se puede ver una solución particular $y=-3\cos x\sec 1$ donde $C=-3\sec 1$

Notar que la función
${{y}_{c}}=C\cos x$ , tiene como dominio $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$. Ya que cuando $x=\frac{\pi }{2}$, o un múltiplo entero de este, ${{y}_{c}}=0$ únicamente, es decir, ${{y}_{c}}$ no está definida para otro valor que no sea cero cuando “x” si lo es, por eso, para este caso el intervalo más largo de solución es $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\sin x}{\cos x}y=\frac{1}{\cos x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\sec x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{1}{\cos x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{\sec x}{\int }^{}\sec x(\frac{1}{\cos x})dx$

$=\frac{1}{\sec x}{\int }^{}{{(\sec x)}^{2}}dx$

$=\frac{1}{\sec x}(\tan x)$

$=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})$

$=\sin x$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$\large y=C~cosx+sinx$

Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=-3\cos x\sec 1+\sin x-\cos x\tan 1$,

Donde: $C=-3\sec 1-\tan 1$. Nuevamente notar que la función $y=C~cosx+sinx$ , tiene como dominio el intervalo $~(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$\cos x\frac{dy}{dx}+\left( \sin x \right)y=1$, es:

$$\Large y=C\cos x+\sin x$$

Ecuación Diferencial Dennis G. Zill, Capítulo 2.3 Problema 17

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Identidades Trigonométricas

$\frac{1}{\cos x}=\sec x$,

Fórmulas de Integración

${\int }^{}\tan xdx=-\ln \cos x+C=\ln \sec x+C$

Necesitas mas ejemplos?

Ve el siguiente ejemplo para reconocer la diferencial entre el intervalo de solución de una solución particular y el intervalo de solución de la función, solución general.

Otro caso de Intervalo de solución particular, donde la función solución general, tiene un intervalo diferente del intervalo de solución de una solución particular.

Ve al ejemplo siguiente: Ecuación diferencial capitulo-2.3 (Ecuaciones Diferenciales Lineales) del libro de Dennis G. Zil. Problema18

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