Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,             $ i(0)={{i}_{o}}$

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.

$ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$

$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

$ {{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

$ {{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}$

$ =C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que:

Sustituyendo en:

$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

$ {{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

$ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt$

$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]$

$ =\frac{E}{R}$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$

Tenemos:

$ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$

$ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

y la solución particular:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:

$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$

O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:

($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,   $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,

$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$

Con intervalo de solución:

$ \Large I:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$implica  $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Graficación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.

Para aprender a realizar las simulaciones de ecuaciones lineales en SAGE, visita la siguiente página: Cómo simular con SAGE.

La intuición y la confianza son parte importantes en el aprendizaje de esta materia, es por eso que para desarrollarlas será necesario practicar varias veces con los métodos y técnicas aquí descritos teniendo una actitud mental apropiada. Para que conozcas la actitud mental que me ha hecho prosperar en esta y otras materias a lo largo de mi vida, te comparto el artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, donde te revelo la actitud que me ha hecho tener éxito en materias arduas pero fascinantes como esta.

Por último te recomiendo revises los productos que me han servido en mis propios estudios; están al final del artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, bajo el apartado Técnicas perfectas para aprender. Estoy seguro te servirán. 🙂

Encontraste la información que buscabas?

Necesito otros ejemplos: ejercicio 28, ejercicio 29

Quiero ejemplos de circuitos electricos RLC en serie click aquí

Quiero ejemplos de circuitos electricos RC en serie click aquí

Quiero otro ejemplos de circuitos electricos RL en serie click aquí

Quiero mas ejemplos de aplicaciones

Para cualquier duda sobre los ejercicios resueltos o el sitio WEB te invito a dejar un comentario o contáctame  en esta página: Contacto (da click aquí)