En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuacion Diferencial (ED) ordinaria de primer orden es autonoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.
Este es un ejercicio resuelto extraído de:
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).
Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal $y = 4$ conforme $x \rightarrow \infty$ .
ANÁLISIS:
La solución de una ecuación diferencial :
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6$ …………………….(1)
Es la suma de dos soluciones:
$y=y_{c}+y_{p}$
Donde:
$y_{C}=C{{\text{e}}^{3x}}$ , es la solución homogénea del (1).
$y_{p}=-2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea: $y’-3y=6$ .
(Se puede verificar estos resultados aplicando el Método de los 4 pasos, aquí hay un ejemplo de la aplicación del método, da click aquí, o mejor aún se puede utilizar el método de separación de variables, ver más adelante un ejemplo de solución con este último método)
Ecuación diferencial autonoma y la forma estándar de una ED
Cuando $a_{1}{(x)}, a_{0}{(x)}$ y $g{(x)}$ son constantes en la siguiente ecuación:$a_{1}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+a_{0}\left( x \right)y=g\left( x \right)$ (FormaestándardeunaED de 1er orden),
La ecuación diferencial es autonoma.
Dicho de otra forma, una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama ecuación diferencial autonoma.
En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right)$, podemos ver que $-2$, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de de $C$, de su solución: $y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}$.
Valores para C
Valores de y(x)
-80
-2-80 E^(3 x)
-20
-2-20 E^(3 x)
-5
-2-5 E^(3 x)
-1
-2-E^(3 x)
-0.1
-2-0.1 E^(3 x)
-0.01
-2-0.01 E^(3 x)
-0.001
-2-0.001 E^(3 x)
-0.0001
-2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001
-2-0.00001 E^(3 x)
0
-2
0.00001
-2+0.00001 E^(3 x)
0.0001
-2+0.0001 E^(3 x)
0.001
-2+0.001 E^(3 x)
0.01
-2+0.01 E^(3 x)
0.1
-2+0.1 E^(3 x)
1
-2+E^(3 x)
5
-2+5 E^(3 x)
20
-2+20 E^(3 x)
80
-2+80 E^(3 x)
Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden
Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-3y=6$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de $y=-2$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=-2$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.
En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal $y’-3y=6$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): $y=-2$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty $ .
FIN DEL ANÁLISIS.
Ahora, el problema a plantear es:
CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA $y=4$ , CONFORME $x\to \infty $.
Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.
En este artículo aprenderás en 4 pasos a resolver una Ecuación Diferencial Lineal y encontrar su Intervalo de solución el cual fácilmente identificándolo gráficamente.
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).
Ecuacion Diferncial Lineal: Circuito LR en serie
Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:
a) $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$
Y, encontrar el intervalo I de solución.
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.
$ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$
$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,
El valor de P(t) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, $ P(t)=\frac{R}{L}$.
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$. Sustituimos en $ {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}$, donde: $ P(t)=\frac{R}{L}$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que:
Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a
$ i(t)$, dentro del rango que estemos analizando.
El valor de $ C={{i}_{0}}$ , para la solución particular del PVI $ L\frac{di}{dt}+Ri=0$, $ i(0)={{i}_{o}}$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo es: $ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L}$ (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( t \right)=\frac{E}{L}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden
La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.
$ t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}$
Por tanto:
Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:
$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$
Tenemos:
$ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$
$ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$
$ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$
Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
y la solución particular:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:
$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$
O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:
($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.
Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,
$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$
$ y={{e}^{x}}$implica $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por lnobtendremos:
$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Graficación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.
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Cómo resolver una Ecuación Diferencial de 1er orden de variables separables
En este artículo hablaré un poco de cómo resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables, acercándonos al modelado de sistemas físicos básicos.
Utilizaré dos las conjeturas que propuso Galileo en su tiempo para determinar la velocidad de caída de los cuerpos para ver cómo con Ecuaciones Diferenciales ordinarias de primer orden y variables separables podemos resolver este problema que le tomo a Galileo muchos años de su vida y que aunque se dio cuenta del error de sus conjeturas, no pudo explicar, al menos matemáticamente.
Mi intensión es desarrollar una visión de análisis intuitivo y relacionarlo con estos datos históricos para que tengamos en la mente imágenes que nos ayuden a «VER» los conceptos.
Galileo y sus conjeturas acerca de la velocidad de caída de los cuerpos
PRIMERA CONJETURA
Resulta que en el tiempo de Galileo (siglo XVI), había tenido la inquietud por determinar la velocidad de caída de los objetos. Habían varios eruditos entre ellos, Aristóteles, quienes creían que mientras más alto, la caída del objeto, éste caía más rápido.
Galileo quería ser más preciso y conjeturó que: la velocidad de los objetos era proporcional a la altura, esta fue su ecuación:
$ \Large v=c~y$ , Eq. (1) (Conjetura de Galileo)
Donde:
c: constante
y: altura de la partícula
Galileo llegó, eventualmente a la conclusión de que esta conjetura no era absurda. En ese momento de la historia todavía no habían descubierto el Cálculo, por lo que Galileo no tenía de otra más que argumentar de manera elusiva.
Sin embargo, nosotros podemos verificar con el cálculo diferencial lo que después Galileo descubrió, que la conjetura era errada; entones veamos:
Tenemos:
Una partícula, en caída libre.
Caída Libre
Dónde:
$y = 0$, $t = 0$ como condiciones iniciales
Alguien dirá que por que $y = 0$ y no a la altura que la que está cayendo el objeto, en realidad simplemente estamos considerando el eje cartesiano poniendo su origen en la parte alta desde donde empieza a caer el objeto (o si lo prefieren pueden imaginarse un pozo)
Bien, regresando al problema de Galileo, nosotros podemos conjeturar muy fácilmente una ecuación que nos permita resolverlo ya que sabemos que la velocidad instantánea, en cálculo (y por ende en ecuaciones diferenciales), se representa como una derivada. La derivada de la altura, respecto del tiempo (en este caso).
CONCEPTO INTUITIVO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La derivada en nuestro caso no es mas que una forma de representar: CUANTA DISTANCIA RECORRE UN OBJETO POR UNIDAD DE TIEMPO.
Este concepto es la idea medular de las Ecuaciones Diferenciales, pues si lo queremos ver de manera sencilla, cada Ecuación Diferencial representa un conjunto de derivadas que a su vez representan VARIACIONES EN EL TIEMPO O EL ESPACIO DE UNA FUNCIÓN. Las variaciones en el tiempo generalmente estarán representadas por $\frac{dx}{dt}$ y las variaciones en el espacio serán generalmente representados como $\frac{dy}{dx}$.
Entonces, la idea medular es representar coeficientes de cambio de una FUNCIÓN DESCONOCIDA respecto de una o varias variables de las cuales depende su comportamiento. Esta es la idea que podemos tener para entender qué buscamos cada vez que resolvemos una Ecuación Diferencial. 😉
Bueno, regresando a nuestro cálculo simplificado de lo que a Galileo le costó mucho tiempo y empeño, la fórmula que en su momento desconocía galileo (pues newton quien inventó el calculo no había nacido), pero que nosotros si conocemos y la podemos utilizar para ahorrarnos varios siglos de prueba y error es la de velocidad instantánea:
$$ \large v=\frac{dy}{dt}$$ Eq. (2) (Fórmula para la velocidad Instantánea)
Ahora, desarrollemos este ejercicio con Ecuaciones Diferenciales con el fin de: ENCONTRAR UNA FUNCIÓN QUE REPRESENTE LA VELOCIDAD CON LA QUE CAEN LOS CUERPOS y que desacredite o confirme la conjetura de Galileo. Aqui viene lo bueno, jaja
Para esto lo que necesitamos hacer es igualar la Eq. (2) con la ecuación Eq. (1), ¿Por qué? pues simplemente porque sabemos cómo se representa la velocidad instantánea y queremos verificar la conjetura de Galileo:
$$ \frac{dy}{dt}=cy$$
Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales
Ahora, realicemos las operaciones (paso a paso), para determinar el valor de la función:
$ \frac{dy}{dt}=c~y,$ Por tanto: $ dy=~c~ydt$
$ \frac{dy}{y}=c~~dt$, (Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos. -Nemotecnia)
$ {\int }^{}\frac{dy}{y}=c{\int }^{}dt+k$
$ \ln y=c*t+k$, y recordando: $ ln~a=b~\Rightarrow a=~{{e}^{b}}$
$$ y\left( t \right)={{\text{e}}^{ct+k}}$$
(A)
Ahora para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y conocer, no solo su solución general sino, su Solución Particular es necesario encontrar el valor de la variable de integración. En este caso es el valor de la variable $latex k$. Para eso sustituimos los valores iniciales que consideramos para el problema ($ y=0$, $ t=0$) en la solución general encontrada, es decir la ecuación (A).
Por tanto, las condiciones iniciales, son:
$ \large y~=~0,~~t~=~0$Entonces:
Y sustituyendo en la solución general (A), tenemos:
Por tanto, $ {{e}^{k}}$ es necesariamente positivo. En pocas palabras: “Si la Velocidad de caída libre es proporcional al desplazamiento”, entonces:
$ 0=n\acute{u}mero~positivo$
Lo cual es absurdo, como diría Euclides. Jaja. De modo que, concluimos que:
La Velocidad de caída libre no puede ser proporcional al desplazamiento.
Por tanto en este caso no podemos decir que la solución encontrada (1) es la solución a nuestro problema. Aquí tenemos un problema resuelto mediante Ecuaciones Diferenciales con condiciones iniciales. Esta es una de las ecuaciones diferenciales más básicas, pero con mucha importancia, inclusive histórica.
Aunque las teorías físicas insostenibles han sido y serán rechazadas o aceptadas mediante la experimentación, ésta la hemos podido rechazar aquí, mediante la lógica: se ha probado su inconsistencia. :-O
SEGUNDA CONJETURA
Lo segundo que conjeturó Galileo, es que la velocidad en un instante dado, era proporcional al tiempo que tardó el objeto en llegar a ese instante. Es decir:
$ \Large v=\mathbf{g}~t$ Eq. (3) (2da.Conjetura de Galileo)
Donde:
g = cte.
t = tiempo
g = es independiente del tiempo
Volvemos aplicar el procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales
Ahora, resolvamos ésta también con ecuaciones diferenciales separando las variables. Si sustituimos la Eq. (3) con la ecuación Eq. (2), tenemos:
$ \frac{dy}{dt}=\mathbf{g}~t$
$ dy=\mathbf{g}~~t~dt$, (Ya sabemos, “Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos”)
$ {\int }^{}dy=\mathbf{g}{\int }^{}tdt+k$
Por lo que la Solución General de nuestro problema es:
$ y=\frac{1}{2}\mathbf{g}~{{t}^{2}}+k$
(B)
Ahora, para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden separable y encontrar su Solución Particular sustituimos los valores de las condiciones iniciales en la Solución General (B):
$ \large y~=~0,~~t~=~0$
$ 0=~\frac{1}{2}\mathbf{g}~{{(0)}^{2}}+k$
Lo que implica:
$ \large k = 0$ y:
Por tanto, la SOLUCIÓN PARTICULAR de nuestra ecuación diferencial, es:
$ \LARGE y=\frac{1}{2}~\mathbf{g}~{{t}^{2}}$
Eq. (4)
La Eq. (4) es una de las proposiciones más usadas de la física. Con esto comprobamos la veracidad de la conjetura de Galileo en un cierto nivel, es decir:
La velocidad en un instante dado de un cuerpo en caída libre es proporcional al tiempo que tarda el en llegar a ese instante.
De hecho Galileo planteo la hipótesis de que:
En ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos caen con una misma aceleración uniforme.
GaLiLEO GALILEI
Y logró probar su hipótesis utilizando planos inclinados.
De esta forma ya sabemos como resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales notando el gran poder de manejo de nuestro entorno que nos proporciona las Ecuaciones Diferenciales al haber echándole un ojo a la perspectiva histórica del modelado y simulación de la velocidad de la caída de los cuerpos.
Este artículo fue basado en el Libro: “MATHEMATICAL METHODS IN SCIECE” de G.PÓLYA. Cap. 5. El cual termina con la siguiente reflexión del Dr. POLYA:
“Efectuando soluciones sin tener que pensar en realidad qué estamos haciendo, ganamos mucho –y perdemos mucho”.
Refiriéndose a la utilidad de las Ecuaciones diferenciales y las matemáticas en general, para simplificarnos las comprobaciones de un fenómenos físicos y también a la desventaja que podría tener para el estudiante que no reflexione sobre lo que está haciendo.
Aplica los algoritmos de solución. Te enseñamos a saber:
¿Por donde Empezar cuando tengo una ED enfrente?
¿Qué tipo de Ecuacion Diferencial tengo enfrente?
¿Qué método emplear para resolve la ED que tengo enfrente?
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Te invito a plantear y resolver Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales siguiendo la lógica aquí descrita.
