Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos útiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.
Katsuhiko Ogata
Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden
Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales aplicadas.
En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema.
De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.
Metodología para modelado matemático de un sistema físico
Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:
– Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,
– Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático,
Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predicho – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.
La validación de cualquier modelo matemático puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación.
Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20
Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $\pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:
Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema
Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $k = 0.01$.
a) La rapidez de cambio $\frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $h$ del agua al tiempo $t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $A = \pi r^2$ en términos de $h$.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?
Solución
_|||||||||||||||||||||||||||||||||||_| a) Determinando una ED para la altura $ h$ al tiempo $ t$ (es decir $ \frac{{dh}}{{dt}}$) utilizando la rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua.
Al terminar este arículo podrás identificar y resolver cualquier ecuacion logistica modificada, con los mismos cuatro pasos mencionados en el artículo: Ecuaciones Diferenciales no Lineales, una de las variaciones más comunes de la ecuación logística, verás que dichos cuatro pasos, pueden ser aplicados a cualquier variación de una ED logística e identificarás el modelo logístico standar del modelo logístico modificado.
En matemáticas, como en cualquier situación de la vida cotidiana que se desea aprender, la mejor estrategia es entender el mismo concepto desde varias perspectivas para verlo como un todo, asegurandonos de que lo hemos comprendido y así, adquirir verdaderamente el conocimiento.
De éste modo se pueden sentar bases sólidas para entender conceptos más profundos, como dice Scott Young, reconocido a nivel global como genio del aprendizaje acelerado en su curso Holístic Learning:
Lo llamo aprendizaje holístico porque te desafía a ver el aprendizaje como un todo, en vez de una lista de hechos memorizados. Las personas inteligentes tienden a hacer pocas distinciones entre las ramas del conocimiento y pueden facilmente realcionar un conjunto de conceptos con otros
refiriendose a cómo ver el concepto de aprendizaje, en particular o en general cualquier conjunto de conocimientos.
Figura 1. Mujer de 25 años? mujer de mas de 70 años?
«Si entiendes algo en solo un sentido, entonces no lo entiendes para nada. El secreto de lo que significa cualquier cosa para nosotros, depende de cómo lo hemos conectado a todas las otras cosas que sabemos. Representaciones bien conectadas, te permite girar las ideas alrededor de tu mente para imaginar las cosas desde muchas perspectivas hasta que encuentras la que funciona para ti. Y eso es lo que significa pensar».
Marvin Minsky
MODIFICACIONES DEL MODELO LOGíSTICO
El modelo logístico en ecuaciones diferenciales puede verse no solo como un modelo de crecimiento de población si no que también, con alguna modificación, estas ecuaciones pueden representar modelos de decrecimiento poblacional natural, crecimiento y/o decrecimiento por influencia externa, etc.
Ecuación Logística standar.
$\frac{dP}{dt}=P(r-\frac{r}{k}P)$
Ecuaciones Logisticas modificadas.
Si $ a = r$ y $ b = -\frac{r}{k}$, tenemos:
Emigración humana o desabastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – h$, donde: $ h > 0$ es constante
Inmigración humana o abastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + h$, donde: $ h > 0$ es constante
Modelado de poblaciones con diferentes condiciones:
$ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – cP$ cuando la Emigración depende de la población, donde: $c>0$
$ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + ce^{-kP}$ cuando la Inmigración varía segun el tamaño de la población, donde: $c>0$ y $k>0$
$ \frac{dP}{dt}=P(a – b ln \left( P \right) )$ Ecuación diferencial de Gompertz. Modela crecimiento o decrecimiento de tumores y ciertas prediciones actuariales
TODAS las anteriores modificaciones a la ecuación logística pueden ser resueltas analíticamente con la metodo logía de 4 pasos presentada a continuación. =)
METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA ESTÁNDAR O MODIFICADA
