Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos tipo LR conectado en serie, con MATHEMATICA
En este artículo aprenderás a aplicar y simular muy fácilmente la Ecuación Diferencial que modela un circuito eléctrico LR conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA. Esto te permitirá comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos LR en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.
Para este Efecto utilizaremos la siguiente metodología:
Describiremos directamente el código de MATHEMATICA utilizado para modelar el circuito LR (o cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y función de entrada constante).
Desarrollaremos paso a paso el código en MATHEMATICA según los 4 pasos que hemos utilizado para resolver una ecuación diferencial lineal de 1er orden.
El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 1er orden de coeficientes constantes y función de entrada constante (función de entrada: la función del segundo miembro de la ecuación (1) que aparece en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos), así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos LR simples conectados en serie con dichas características. OJO: es muy importante que sustituyamos bien los coeficientes del código al adecuarlo a futuros problemas de EDO’s Lineales de 1er orden con coeficientes constantes y función de entrada constante.
El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR
En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR, y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos.
Metodología
Utilizaremos la siguiente Metodología.
Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
Solución de la Ecuación Diferencial resultante
Graficación de la corriente encontrada.
Para el Modelado del Circuito Eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo LR.
Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.
Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LR con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.
Para esto resolveremos un ejercicio.
Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma,(Problema 29).
PROBLEMA
Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LRcon 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente $ i(t)$, si $ i(0) = 0$. Determine la corriente conforme $ t\rightarrow 0$. El circuito esta descrito en la Figura 1. Sigue leyendo →
Programa para simular circuitos electricos. Software de simulación: MATHEMATICA. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos
En este artículo aprenderás a aplicar y simular una Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico RLC conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA.
Con esto podrás comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos eléctricos RLC en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.
El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 2º orden no homogénea de coeficientes constantes, así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos RLC simples conectados en serie.
El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.
Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Circuitos Eléctricos RLC en serie
En el siguiente artículo aprenderás mediante un ejemplo cómo se resuelve un circuito electrico mixto o circuito electrico RLC utilizando ecuaciones diferenciales y conocerás la relación entre los componentes del circuito y su representación como cantidades diferenciales que cambian con el tiempo.
Para desarrollar este ejemplo partiremos de la configuración básica para un circuito RLC, que es cuando sus componentes están conectados en serie, como lo muestra la Figura 1.
Figura 1. Circuito Eléctrico RLC conectado en serie.
Donde, los elementos mostrados son:
Un resistor con una resistencia $ R$ ohms
Un inductor con una inductancia de $ L$ henries,
Un capacitor con una capacitancia de $ C$ faradios,
Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje $ E(t) $de $ 110$ V
a $ 60$ Hz, en el tiempo $ t$.
De acuerdo con los principios elementales de electricidad, las caídas de voltaje a través de los elementos del circuito son las que se muestran en la Tabla 1.
Elementos del circuito
Símbolo
Caída de Voltaje(representación diferencial)
Valores
Inductor
$ L$
$ L\frac{dI}{dt}$
$ 100$ mH
Resistor
$ R$
$ RI$
$ 50$ Ω
Capacitor
$ C$
$ \frac{1}{C}Q$
$ 500$ μF
Fuente de corriente alterna
$ E(t)$
Voltaje suministrado en el tiempo $ t$
$ 110$ V a 60Hz
Estas expresiones, para las caídas de voltaje, derivadas de la física, provienen de conclusiones experimentales, que han llevado a las siguientes definiciones:
Caídas de Voltaje. Circuito electrico mixto
Resistencia. La caída de voltaje a través de una resistencia ($ R$) es proporcional a la corriente que pasa a través de ésta, es decir: $ E(t) \alpha I$ ó $ E(t) =R I$ (Ley de Ohm). Donde $ R$ es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o simplemente resistencia.
Inductor. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente, es decir: $ E(t) \alpha\frac{d{I}}{d{t}}$ ó $ E(t) = L \frac{d{I}}{d{t}}$. Donde $ L$ es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductáncia o simplemente inductor.
Capacitor (condensador). La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador: $ E(t) \alpha Q$ ó $ E(t) =\frac{{Q}}{C}$. Donde $ \frac{1}{C}$ es la constante de proporcionalidad y $ C$ es la capacitancia del capacitor o inductor.
Estas definiciones se pueden entender mejor si guardamos en mente que una resistencia disipa una parte de corriente como calor, un inductor se opone a los cambios de corriente por el efecto del campo magnético que genera alrededor de sí que a su vez le autoinduce una tensión, un capacitor (condensador), es un elemento que almacena energía.
La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie.
Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de $ E(t)$ en el tiempo $x t$, como lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto provoca una corriente $ I(t)$ en amperes en el circuito y una carga $ Q(t)$ en coulombs en el capacitor en el tiempo $ t$. La relación entre las funciones $ I$ y $ Q$ es:
La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por unidad de tiempo que recorre un material.
Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se obtienen de la experimentación. Las unidades utilizadas para esta ecuación pertenecen al sistema $ mks$, por lo que la unidad de tiempo es el segundo(s).
Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1, utilizamos una de las leyes de Kirchoff -la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos.
Ley de Kirchoff (mallas)
La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.
Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico mixto RLC
De modo que, sumando las caídas de voltaje (ver Tabla 1) e igualándolas al voltaje de la fuente de corriente alterna, tenemos:
\begin{equation}
L \frac{d\mathbf{I}}{d{t}} +{R}{I}+ \frac{1}{C}
\mathbf{Q}= E ( t)
\end{equation}
(2)
Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una función como incógnita (digamos $ Q$), obtenemos:
\begin{equation}
L \frac{d^2 {Q}}{d{t}^2} +{R}
\frac{d{Q}}{d{t}} + \frac{1}{C} {Q}= E ( t)
\end{equation}
(3)
Con lo que tenemos una expresión consistente para el circuito RLC conectado en serie como el mostrado en la Figura 1.
Ahora, si derivamos la ecuación (3) en ambos lados, sustituyendo $ {I}$ por $ {Q}’$ obtenemos:
De esta forma tenemos las ecuaciones (3) y (4), para resolver nuestro problema ejemplo, que a continuación describo.
Circuito electrico mixto y ecuaciones diferenciales. Aplicaciones.
Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden
Ejemplo:
Considere un circuito RLC con $ R = 50 {ohms} ({\Omega})$, $ L =0.1 {henry} ( H)$ y $ C = 5 \times 10^{- 4} {farad} ( F)$. En el tiempo $ t=0$, cuando tanto $ {I}(0)$ como $ {Q}(0)$ son cero, el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de $ 110 {Volts}, 60 {Hz}$. Encuéntrese la corriente en el circuito.
Solución:
Para resolver este problema recordemos lo siguiente:
El caso típico el voltaje de corriente alterna, se representa como:
Donde, $ E_0$es el voltaje inicial (en el tiempo 0).
Solución de una ecuación diferencial lineal NO homogénea de 2º orden
La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea de 2º orden, se compone de la suma de la solución de su sistema homogéneo asociado mas una solución particular, es decir la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea:
$ \Large {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$
Donde $ {a}_2$, ${a}_1$, ${a}_0$, son constantes.
Tiene la forma:
$ \large y = y_c + y_p$
Donde:
$ y$: solución general
$ y_c :$ es la solución complementaria o solución del sistema homogéneo asociado: $ {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = 0$
$ y_p$: es una solución particular o solución del sistema no homogéneo:
$ {a}_2 y» +{a}_1 y’ +{a}_0 y = f ( x)$
::::::::::::::::::::::::::
En circuitos eléctricos dicha solución tiene un significado físico por lo que para un circuito RLC respresentado por la ecuación diferencial de 2º orden (4): $ L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R}\frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t)$, la solución está compuesta por:
Encontrar el intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial la solución, siendo dicho intervalo de solución «I», el intervalo más largo , para el Problema del Valor Inicial:
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 28).
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que , es una constante.
$\frac{dT}{dt}+P\left( t \right)T=f(t)$
$\frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}}$,
El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$ , es: $P\left( t \right)=-k$.
${{e}^{-k\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{-kt}}$
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
El sistema homogéneo asociado es :$\frac{dT}{dt}-kT=0$. Sustituimos en ${{T}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}$, donde: $P\left( t \right)=-k$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{T}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
${{T}_{c}}=C{{e}^{(-)-k\mathop{\int }^{}dt}}$
$=C{{e}^{kt}}$
Solución Específica para el Sistema Homogéneo
Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $\text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }T={{T}_{0}}$ , de modo que:
Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a $T(t)$, dentro del rango que estemos analizando. El valor de $C={{T}_{0}}$ , para la solución particular del PVI $\frac{dT}{dt}=kT$, $T(0)={{T}_{0}}$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo es: $\frac{dT}{dt}-kT=-k{{T}_{m}}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{T}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}={{e}^{-kt}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=-k{{T}_{m}}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden
La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.
$t=0;~~~~~~T={{T}_{0}}$
Por tanto:
Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:
$T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$
Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$T\left( 0 \right)={{T}_{0}}$
Tenemos:
${{T}_{0}}=C{{e}^{k(0)}}+{{T}_{m}}$
$\Rightarrow {{T}_{0}}=C(1)+{{T}_{m}}$
$\Rightarrow C={{T}_{0}}-{{T}_{m}}$
Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:
$T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$T\left( t \right)=C{{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$
y la solución particular del PVI:
$T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$
El dominio de la solución $T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$ está en el intervalo:
${{D}_{i(t)}}:-\infty <t< \infty$
O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI ($\frac{dT}{dt}=k(T-Tm)$, $T(0)={{T}_{o}}$ ), es el intervalo: $(-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $C={{T}_{0}}-Tm$ , para el problema del PVI.
Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial:
$\frac{dT}{dt}=k(T-Tm)$, $T(0)={{T}_{0}}$, es,
$T\left( t \right)=({{T}_{0}}-{{T}_{m}}){{e}^{kt}}+{{T}_{m}}$
Intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial: Analizando dos casos espacíficos
Para analizar el comportamiento de dos casos particulares de variación de T(t), con respecto del tiempo, mostramos las siguientes tablas y gráficas.
Sistema representado por: $T\left( t \right)=25{{\text{e}}^{-2t}}$
En esta gráfica podemos ver que mientras $t\to \infty $, $T\left( t \right)\to 0$. Se trata de un proceso de descongelamiento y la temperatura se tiende a estabilizar, en este caso a CERO, por tratarse de un sistema Homogéneo; hablando de sistemas físicos representados mediante Ecuaciones Diferenciales, cuando la función $f\left( x \right)=0$, se refiere, en general a que no existen factores externos al sistema que lo modifiquen. Veamos el siguiente ejemplo:
Sistema representado por: $T\left( t \right)={{\text{e}}^{-2t}}(-3+28{{\text{e}}^{2t}})$
En este ejemplo el sistema recibe los efectos del medio ambiente al involucrarse la variable $Tm=28$. Notar que $f\left( x \right)=-kTm$, en la ecuación original: $\frac{dT}{dt}=k(T-Tm)$. En este caso, el sistema incrementa su temperatura cuando “t” aumenta. La temperatura de estabilidad es $Tm=28$. Esto se puede ver más claro en la gráfica de “Campo de direcciones”
En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Graficación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.
Intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial: Cómo realiza simulaciones con software matemático de código abierto
Las simulaciones por computadora de los sismetas dinámicos modelados matemáticamente (con ecuaciones diferenciales), son imprescindibles, no solo para comprender mejor los conceptos aprendidos, si no para poder pronosticar comportamientos y tomar decisiones; todo ingeniero o científico necesita de los conociemientos para realizarlas.
En mi curso Ecuaciones Diferenciales con SAGE, te llevo paso a paso para que aprendas a simular cada tipo de ecuación diferencial así como poder reunir ese conocimiento mediante un proyecto final en donde desarrolamos la simulación de un sistema físico real. 😉
Para tener un conocimieto básico de cómo realizar las simulaciones de ecuaciones lineales en SAGE, visita la siguiente página: Cómo simular con SAGE.
Intervalo de solución para un Problema del Valor Inicial: Cómo aprender ED’s
La intuición y la confianza son parte importantes en el aprendizaje de esta materia, es por eso que para desarrollarlas será necesario practicar varias veces con los métodos y técnicas aquí descritos teniendo una actitud mental apropiada. Para que conozcas la actitud mental que me ha hecho prosperar en esta y otras materias a lo largo de mi vida, te comparto el artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, donde te revelo la actitud que me ha hecho tener éxito en materias arduas pero fascinantes como esta.
Por último te recomiendo revises los productos que me han servido en mis propios estudios; están al final del artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, bajo el apartado Técnicas perfectas para aprender. Estoy seguro te servirán. 🙂
