Intervalo de solucion de una ecuacion diferencial
Intervalo de Solución de un Problema del Valor Inicial.
En este artículo aprenderás en 4 pasos a resolver una Ecuación Diferencial Lineal y encontrar su Intervalo de solución el cual fácilmente identificándolo gráficamente.
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 27).
Ecuacion Diferncial Lineal: Circuito LR en serie
Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:
a) $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$
Y, encontrar el intervalo I de solución.
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”.
$ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$
$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,
El valor de P(t) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, $ P(t)=\frac{R}{L}$.
$ {{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}$
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=0$. Sustituimos en $ {{i}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(t)dt}}$, donde: $ P(t)=\frac{R}{L}$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
$ {{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}$
$ =C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$
Solución Específica para el Sistema Homogéneo
Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que:
Sustituyendo en:
$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$
Tenemos:
$ {{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}$
Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:
$ {{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$
Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:
$ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ y la solución particular $ {{i}_{c1}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$
La función $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ , tiene como dominio más largo el intervalo:
$ D_{x_{c}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$
Por tanto, la solución particular $ i_{c1}=i_{0}e^{-\frac{R}{L}t}$, tiene el mismo dominio:
$ D_{x_{c1}}:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$
tambien.
Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. Notar que la solución particular solo involucra a las curvas que intersectan a
$ i(t)$, dentro del rango que estemos analizando.
El valor de $ C={{i}_{0}}$ , para la solución particular del PVI $ L\frac{di}{dt}+Ri=0$, $ i(0)={{i}_{o}}$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo es: $ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( t \right)dt}}=\frac{R}{L}$ (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( t \right)=\frac{E}{L}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
$ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt$
$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt$
$ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]$
$ =\frac{E}{R}$
Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden
La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “t” e “i”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.
$ t=0;~~~~~~i={{i}_{0}}$
Por tanto:
Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:
$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$
Tenemos:
$ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$
$ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$
$ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$
Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
y la solución particular:
$ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$
El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:
$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$
O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:
($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.
Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,
$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$
Con intervalo de solución:
$ \Large I:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$
Recordar:
Logaritmos y exponenciales
$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$
Debido a que:
$ y={{e}^{x}}$implica $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:
$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
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