Archivo de la categoría: Ecuacion diferencial ejercicios resueltos

Series de Fourier: Funciones Pares e Impares

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Con éste artículo aprenderás a reconocer fácilmente a las funciones pares e impares lo que te ayudará a resolver Series de Fourier mediante la obtención de los coeficientes de la misma cuando abordes funciones con éstas características: funciones pares e impares.

Al final del artículo te mostramos las formulas simplificadas de la Serie de Fourier donde se utiliza la definición de función par e impar para obtener los coeficientes de ésta serie.

La definición de Serie de Fourier

La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:

$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$

donde:

$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$

$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3, \ldots .$ es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).

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Transformada de Laplace -Integral Compleja

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¿Cómo resolver una integral del tipo: $\int e^{-st} \sin{\left(at\right)} dt$?

Con éste artículo las integrales para resolver transformada de Laplace -Integral compleja, serán un día de campo. En éste artículo aprenderás a resolver de una vez y para siempre, la integral de la forma:

  • $\large \int e^{-st}\sin{\left(at\right)}dt$ o
  • $\large \int e^{-st}\cos{\left(bt\right)}dt$

por los métodos

  • Integracion de funciones exponenciales complejas
  • Integración por partes
  • Además incluiremos los códigos de SAGEMATH, para que no te equiviques

Las resolveremos como integrales definidas, al aplicar Laplace, por supuesto.

Terminando el artículo no volverás a tener dudas de cómo resolver este tipo de integrales, esenciales para la Transformadas de Laplace, las Series de Fourier, la Transformada Integral, entre otros.

Primero, desarrollamos paso a paso en los primeros $2$ ejercicios y luego vamos más rápido para mostrar la agilidad de éste método. 😉

Integral Compleja

Metodología utilizada

  • Conversión de la integral trigonométrica a integral de una función exponencial compleja: complexificación.
  • Resolvemos la integral para la función compleja obtenida
  • Extraer la parte real de una función exponencial compleja
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Metodo de Euler para Ecuaciones Diferenciales con SAGEMATH

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Al terminar este artículo podrás resolver TODAS tus ecuaciones diferenciales lineales o NO lineales de 1er oeden, con valores iniciales, mediante el Método de Euler con SAGEMATH.

Metodo euler con sagemath
FIGURA. METODO DE EULER CON SAGEMATH

El método de Euler es implementado en SAGEMATH el cual es un lenguaje de programación de alto nivel, construído sobre python y otros lenguajes de acceso libre, es decir; SAGEMATH es software libre y se utiliza básicamente para la simulación científica. La programación y simulación con dicho lenguaje es muy sencilla, incluso podrás simular tus ejercicios aquí mismo.

Se ponen ejemplos resueltos con SAGEMATH de los ejercicios vistos en artículos anteriores. Ver los enlaces específicos para cada artículo en cada ejercicio resuelto.

Para saber cómo editar (utilizar) las celdas de SAGEMATH, ve al siguiente enlace: Simulación con SAGEMATH, da click aquí

Para entender a detalle el código de SAGEMATH para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales mediante el método de Euler ve la siguiente presentación: De donde sale el método de Euler.

El código para el Método de Euler escrito en SAGEMATH es el siguiente:

CÓDIGO PARA EL MÉTODO DE EULER CON SAGEMATH

### Metodo de Euler
def Euler(fun, a, b, N, y0):
    h = (b - a)/N
    x = [a]
    y = [y0]

    for k in range(N):
        x.append(x[k]+h)
        y.append(y[k]+(h)*fun(x[k], y[k]))
    return list(zip(x, y))

Para Utilizar las celdas para simular otras ecuaciones diferenciales solo es necesario editar el apartado de «datos iniciales» y «Solución numérica para h=…». Al final de este artículo les dejo una versión simplificada de esta celda para que la modifiquen y puedan simular otras ecuaciones diferenciales de primer orden con valores iniciales. 😉

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Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Marcapasos de Corazón

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Marcapasos de Corazón

Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.

Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos útiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.

Katsuhiko Ogata

Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden

Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente:

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Ecuaciones diferenciales por sustitucion

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Ecuaciones Diferenciales por sustitución ejemplos (reducidas a variables separables)

Despúes de terminar de leer éste artículo podrás tener una idea clara de cómo abordar problemas de ecuaciones diferenciales cuando pueden ser reducidas a variables separables, además de contar con una metodología que te ayude a resolverlas.

La intiución es una parte muy importante en las matemáticas y la resolución de problemas. Según Sebastian Thrun, vice presidente de Google y el inventor de los Google glasses, dice que la intuición en la resolución de problemas es muy importante para llegar al entendimiento profundo de los mismos.

«La intuición nos perimte realizar una evaluacvión de un problema cuando hay numeros involucrados…», dice Sebastian.

Al final, ver el mundo desde un punto de vista intuitivo (no necesarimente racional, si no con un sentido de entendimiento sutil), nos ayudará a tomar los caminos necesarios para la resolución del problema; ésto en última instancia es pensar como un matemático, segun dice Thrun.

Por experiencia personal, y seguramente de uds como lectores, sabemos que es mucho más fácil saber cómo abordar un problema si tenemos una visión intuitiva de cómo se comporta y cómo podemos modelarlo y/o manipular su modelo para resolverlo.

El ejercicio de éste «don» nos permitirá desarrollar ese pensamiento matemático, que nos hace falta para la comprención profunda de los conceptos o fenómenos físicos.

La mente intuitiva es un don sagrado, y la mente racional es un fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que honra al sirviente y ha olvidado el don.

Albert Einstein

ecuaciones diferenciales por sustitucion
Figura 1. El área bajo la curva de la función seno (o coseno), es fácilmente aproximable si nos damos cuenta que podemos calcular el área de los rectángulos cuyas alturas coinciden con ella.

Un ejemplo interactivo de las sumas de Riemann se encuentra en la celda de SAGEMATH, dale click a Evaluate para verlo. 😉

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales reducidas a variables separables

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