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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Modelos No lineales

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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

EVAPORACION

Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales aplicadas.

En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema.

De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.

Metodología para modelado matemático de un sistema físico

Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:

1.- Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,

2.- Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático,

3.- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predecido – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.

(La validación de cualquier modelo matemático puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación).

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas ejercicios resueltos

Modelo No lineal

EVAPORACION (Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20)

Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $\pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema

Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $k = 0.01$.

a) La rapidez de cambio $\frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $h$ del agua al tiempo $t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $A = \pi r^2$ en términos de $h$.

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.

c) Si no hubiera evaporación, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?

d) Con evaporación, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?

Solución

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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.

Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como

Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(…)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.

METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

-Forma estándar de la ED exactas

  • $ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$

-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)

  • $ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)

1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$

2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h’ (x) = M (x, y)$

3. $ h (x) = \int M (x, y) d x – \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$

4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)

$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$

Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS

El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.

Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.

Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.

EJEMPLO 1

$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} – 3 y^2) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

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Ecuacion Logistica modificada.

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Ecuacion Logistica modificada.

Al terminar este arículo podrás identificar y resolver, con los mismos cuatro pasos mencionados en el artículo: Ecuaciones Diferenciales no Lineales, una de las variaciones más comunes de la ecuación logística, verás que dichos cuatro pasos, pueden ser aplicados a cualquier variación de una ED logística e identificarás el modelo logístico standar del modelo logístico modificado.

En matemáticas, como en cualquier situación de la vida cotidiana que se desea aprender, la mejor estrategia es entender el mismo concepto desde varias perspectivas para verlo como un todo, asegurandonos de que lo hemos comprendido y así, adquirir verdaderamente el conocimiento.

De éste modo se pueden sentar bases sólidas para entender conceptos más profundos, como dice Scott Young, reconocido a nivel global como genio del aprendizaje acelerado en su curso Holístic Learning:

Lo llamo aprendizaje holístico porque te desafía a ver el aprendizaje como un todo, en vez de una lista de hechos memorizados. Las personas inteligentes tienden a hacer pocas distinciones entre las ramas del conocimiento y pueden facilmente realcionar un conjunto de conceptos con otros

refiriendose a cómo ver el concepto de aprendizaje, en particular o en general cualquier conjunto de conocimientos.

ecuacion logistica modificada

Figura 1. Mujer de 25 años? mujer de mas de 70 años?

«Si entiendes algo en solo un sentido, entonces no lo entiendes para nada. El secreto de lo que significa cualquier cosa para nosotros, depende de cómo lo hemos conectado a todas las otras cosas que sabemos. Representaciones bien conectadas, te permite girar las ideas alrededor de tu mente para imaginar las cosas desde muchas perspectivas hasta que encuentras la que funciona para ti. Y eso es lo que significa pensar».

Marvin Minsky

MODIFICACIONES DEL MODELO LOGíSTICO

El modelo logístico en ecuaciones diferenciales puede verse no solo como un modelo de crecimiento de población si no que también, con alguna modificación, estas ecuaciones pueden representar modelos de decrecimiento poblacional natural, crecimiento y/o decrecimiento por influencia externa, etc.

Ecuación Logística standar.

$\frac{dP}{dt}=P(r-\frac{r}{k}P)$

Ecuaciones Logisticas modificadas.

Si $ a = r$  y  $ b = -\frac{r}{k}$, tenemos:

  • Emigración humana o desabastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – h$, donde: $ h > 0$ es constante
  • Inmigración humana o abastecimiento de productos: $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + h$, donde: $ h > 0$ es constante

Modelado de poblaciones con diferentes condiciones:

  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) – cP$  cuando la Emigración depende de la población, donde: $c>0$
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b P) + ce^{-kP}$ cuando la Inmigración varía segun el tamaño de la población, donde: $c>0$ y $k>0$
  • $ \frac{dP}{dt}=P(a – b ln \left( P \right) )$ Ecuación diferencial de Gompertz. Modela crecimiento o decrecimiento de tumores  y ciertas prediciones actuariales

TODAS las anteriores modificaciones a la ecuación logística pueden ser resueltas analíticamente con la metodo logía de 4 pasos presentada a continuación. =)

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA ESTÁNDAR O MODIFICADA

PASOS:

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Ecuaciones Diferenciales No Lineales

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Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Ecuación Logística

Al terminar el siguiente artículo podrás resolver cualquier Ecuación Diferencial No lineal en su version de Ecuación Logística de manera ordenada y en solo 4 pasos. Además contarás con el código de MATHEMATICA para simularlas. =)

La técnica presentada para resolver la ecuación logística mediante pasos definidos (descrita más adelante), tiene el objetivo principal de acortar la curva de aprendizaje haciendo asequible el conocimiento repetitivo mediante el estructurar el mismo.

Esto puede ser aprovechado por el estudiante o profesor novicio para dedicarse a obtener un CONOCIMIENTO PROFUNDO del tema al utilizar la técnica para INDAGAR en la APLICACIONES del mismo.

La Dra. Joe Boaler profesora de matematicas en la Universidad de Stanford dice:

Las matemáticas …, no se trata de respuestas correctas o equivocadas sin NTERPRETACIÓN, SIN oportunidad para la CREATIVIDAD…

(curso: How to learn Math, for students), refiriendose a la importancia de vincular las matemáticas con conceptos VISUALES o, mejor aún, conceptos de la vida real para encontrale un significado, poder interpretarlas, ENTENDERLAS y crear con ellas.

ecuaciones diferenciales no lineales

Figura 1. Conecciones entre los métodos para encontrar el volumen de una pirámide trunca y el áres de un trapezoide.

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA

PASOS:

  1. Escribir la Ecuación Logística separando sus variables en la ecuación. Es decir:
    1. Tenemos la ecuación logística general:

$ \frac{dP}{dt} = P \left( r – \frac{r}{K} P \right)$

O en su versión reducida:

$ \frac{dP}{dt} = P (a – b P)$

b. Escribimos la ED separando sus variables:

$ \frac{dP}{P \left( r – \frac{r}{K} P \right)} = {dt}$

II. Analizamos la función racional del primer miembro ($ \frac{p (x)}{q(x)} = {dt}$) e identificamos las integrales a resolver.

Para resolver un ED Logística, necesitamos recordar cómo INTEGRAR una función racional. Para este fin, describimos una secuencia de pasos a seguir que la desarrollamos en el artículo: Integración de Funciones Racionales; parte de ésta secuencia se utiliza para resolver las ED que ahora nos ocupan.

Análisis de la función racional para integrar ED Logísticas

  1. Sefactoriza el denominador de la función racional y se identifica qué tipo de integral es. Para éste caso las más comunes son:
    1. Integral del tipo logarítmica: $ \int \frac{dT}{T}$
    2. Integral por fracciones parciales, ejemplo: $ \int\frac{constante}{polinomio} = \int\frac{A_1}{factor_1} + \int \frac{A_2}{factor_2} + \ldots$
    3. Integral:
      • Arco Tangente: $ \int \frac{dT}{1 + T^2}$
      • Arco Tangente hiperbólica: $ \int \frac{dT}{1 – T^2}$
      • del tipo: $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2}$
    4. Una combinación de algunas y/o todas las integrales de los puntos anteriores al descomponer en fraciones mas simples (por ejemplo fracciones parciales).
    5. Por último, recordar que es posible encontrar una integral mas simple que las mencionadas al realizar la factorizacion del denominador de la funcion racional, por ejemplo, encontrar una integral de la forma: $ \int T^n dT$
  2. Este procedimiento es una guía ordenada para abordar este tipo de ED’s, sin embargo las integrales a resolver pueden ser de más tipos, por lo cual habrá que revisar las tablas de integración al toparnos con integrales diferentes a las acá mencionadas.

III. Resolvemos las integrales mediante la técnica e integración correspondiente al tipo de integral:

  1. $ \int \frac{dT}{T} = {Ln} | T | + C$
  2. Fracciones Parciales:
    1. Factores lineales en el denominador. Por cada factor lineal escribimos una fracción del tipo: $ \frac{A}{a x + b}$
    2. Factores cuadráticos en el denominador. Por cada factor cuadratico escribimos: $ \frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$

Nota: Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales para mayor detalle

    C.                 Integral:

  • $ \int \frac{dT}{1 + T^{2}} = {arcTan} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{1 – T^{2}} = {arcTanh} (T) + C$
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^{2}} = \frac{1}{2 T} {Ln} \left|\frac{a + T}{a – T} \right| + C$,    $ | T | \neq a$   ó
  • $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2} = \frac{1}{a} {arcTanh} \left(\frac{T}{a} \right) + C$,     $ | T | < a$

D.                Combinacion de las anteriores.

E.                $ \int T^n {dT} = \frac{T^{n + 1}}{n + 1} + C$

 IV. Resolvemos el PVI, mediante la sustitución de los valores iniciales en la función solución.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Ecuación Logística

Ejemplo 1. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

La cantidad $ N (t)$ de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales

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Metodo de Euler

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MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

Metodo de Euler
Figura 1. Old People from Texas Eat Spiders

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)
\end{equation}		(1)
\begin{equation}
\LARGE x_{n + 1} = x_n + h
\end{equation}		(2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x – 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

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