ecuacion diferencial lineal ejemplos. Zill Capítulo 2.3 (prob 22)

Ecuacion diferencial lineal ejemplos

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante (ver enlace)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 22)

$\frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de , que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$\frac{dP}{dt}+Q\left( t \right)y=f(t)$

$\frac{dP}{dt}+2tP-P=4t-2$

$\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( t \right)\mathbf{dt}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de Q($t$) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$,   donde:$Q(t)=2t-1$. Tener cuidado de no confundir la solución general $P(t)$, del problema con la $P\left( t \right)=P(x)$, de la fórmula general, aquí le hemos puesto $Q(x)$ al coeficiente del segundo término para evitar este problema. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.

${{e}^{\mathop{\int }^{}(2t-1)dt}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}tdt-\mathop{\int }^{}dt}}$

$={{e}^{{{t}^{2}}-t}}$

III.                    Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$, los valores de $Q(t)=(2t-1)$, encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{P}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{P}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\left( 2t-1 \right)dt}}$

$=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}tdt+\mathop{\int }^{}dt}}$

$=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$

ecuacion diferencial lineal ejemplos

Se puede ver una solución particular ${{P}_{c1}}=-3{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}}$ donde $C=1-3\pi $. Notar que la función
${{P}_{c}}=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $-\infty <x<\infty $. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(-\infty ~,\infty )$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dP}{dt}+(2t-1)P=4t-2$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}f(t)dt$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( t \right)dt}}={{e}^{{{t}^{2}}-t}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=4t-2$ obtenido en el punto i. Observe que la integral: $\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt$ , pudo haberse dividido en dos ($4\mathop{\int }^{}t{{e}^{{{t}^{2}}-t}}+2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}dt$), e integrarse por partes, pero el procedimiento sería unos pasos más largos. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{P}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(4t-2)dt$

$=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2\mathop{\int }^{}{{e}^{{{t}^{2}}-t}}(2t-1)dt$

$=\frac{1}{{{e}^{{{t}^{2}}-t}}}2[{{e}^{{{t}^{2}}-t}}]$

$=2$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$

ecuacion diferencial lineal ejemplos

Se puede ver una solución particular $P\left( t \right)=2-5{{\text{e}}^{t-{{t}^{2}}}}$,

Donde: $C=-5$. Nuevamente notar que la función $P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): $(-\infty ,\infty )$ . Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dP}{dt}+2tP=P+4t-2$, es:

$P=C{{e}^{-{{t}^{2}}+t}}+2$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid -\infty < x< \infty  \right \}$

Ecuacion diferencial lineal ejemplos

Recordar:Logaritmos y exponenciales

$aln x=ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=ln y$ y además $ln y={{log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ln y=ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{ln y}}=y$

______________________________________________

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos, Zill C. 2.3 (Prob 20)

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos: El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ecuacion diferencial lineal de primer orden mediante ejemplos en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$

3.                                  $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 20)

$ \large {{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $ \frac{dy}{dx}$   , que es “$ {{(x+2)}^{2}}$   ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.

$ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8}{{{(x+2)}^{2}}}y+\frac{4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{8+4x}{{{(x+2)}^{2}}}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4(2+x)}{(x+2)(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx}}}$,  

Para esto sustituimos el valor de P(x) en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   ,   donde:$ P(x)=\frac{4}{x+2}$   . Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y la división entre polinomios, vea el final del ejercicio.

$ {{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+2}dx}}={{e}^{4\ln (x+2)}}$

$ ={{e}^{\ln {{(x+2)}^{4}}}}$

$ ={{(\text{x}+2)}^{4}}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=0$    . Para resolverla sustituimos en la fórmula: $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , los valores de $ P(x)=\frac{4}{x+1}$   , encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$   , siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ {{y}_{c}}=C{{e}^{-4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x+1}dx}}$

$ =C{{e}^{-4\ln (x+2)}}$

$ =C{{e}^{\ln {{(x+2)}^{-4}}}}$

$ =C{{(\text{x}+2)}^{-4}}$

$ =\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

$ \large {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y=-\frac{243}{{{(2+x)}^{4}}}$    donde $ C=-243$   . Notar que la función $ {{y}_{c}}=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, tiene como dominio más largo el intervalo: $ -2\le x\le \infty $    (analizar el denominador de la función $ \frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}$, (notar que el intervalo $ -\infty \le x\le -2$    , es menor que el mencionado. El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $ (-2~,\infty )$   . El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $ \frac{dy}{dx}+\frac{4}{(x+2)}y=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$   , que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$   , donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=\frac{4}{(x+2)}$    (obtenido en el punto ii.) y $ f\left( x \right)=\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}$    obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{4}}\frac{5}{{{(x+2)}^{2}}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{(x+2)}^{2}}dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{2}}+4x+4)dx$

$ =\frac{5}{{{(x+2)}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}dx+4\mathop{\int }^{}xdx+4\mathop{\int }^{}dx$

$ =\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}(\frac{{{x}^{3}}}{3}+4\frac{{{x}^{2}}}{2}4x)$

$ =\frac{5{{x}^{3}}}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(x+2)}^{4}}}$

$ =(\frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}})(\frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4)$

$ =\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos

Se puede ver una solución particular $ y\left( x \right)=-\frac{824}{3{{(2+x)}^{4}}}+\frac{20x}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{10{{x}^{2}}}{{{(2+x)}^{4}}}+\frac{5{{x}^{3}}}{3{{(2+x)}^{4}}}$, Donde: $ C=-\frac{824}{3}$. Nuevamente notar que la función $ y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$, tiene como dominio el intervalo (más largo): $ (-2~,\infty )$. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ ({{(x+2)}^{2}}\frac{dy}{dx}=5-8y-4xy$, es:

$ \LARGE y=\frac{C}{{{(x+2)}^{4}}}+\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

Ecuacion diferencial lineal de primer orden ejemplos (Repasos)

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$ y={{e}^{x}}$    implica  $ x=\ln y$    y además $ \ln y= \log_{e}y$ recordamos que la función $ x=\log_{e}y$   , es inversa de $ y=e^{x}$   , por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$      y

$ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

Factorización

$ \left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4 \right)=\left( \frac{5x}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}} \right)\left( \frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3} \right)=\frac{5x({{x}^{2}}+6x+12)}{3{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$

$ \frac{1}{3}{{x}^{2}}+2x+4=\frac{{{x}^{2}}+6x+12}{3}$


Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

En éste problema de Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11) te mostramos un método que te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos.

Utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y= y_{c}+y_{p}$

3               ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10)

a)      $x{{y}^{‘}}+2y=3$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. ${{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}=\frac{C}{{{x}^{2}}}$
  4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}3xdx$

$=\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx=\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}$

$=\frac{3}{2}$

Por tanto:

                          $y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (11)

b)      $x{{y}^{‘}}+4y={{x}^{3}}-x$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y={{x}^{2}}-1$
  2. ${{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{4\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{4}}}}={{x}^{4}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-4\ln x}}$

$=C{{e}^{\ln {{x}^{-4}}}}$

$=C{{x}^{-4}}$

$=\frac{C}{{{x}^{4}}}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}({{x}^{2}}-1)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{6}}-{{x}^{4}})dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{6}}dx-\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}dx$

$=\frac{1}{7{{x}^{4}}}{{x}^{7}}-\frac{1}{5{{x}^{4}}}{{x}^{5}}$

$=\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

Por tanto:

$y=\frac{C}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

La gráfica de la familia de soluciones para ésta última ecuación diferencial es la siguiente:

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Figura 1. Familia de soluciones de la ED:  $\large xy^{‘}+4y=x^{3}-x$.

En la gráica de la Figura 1, la función solución en amarillo: $y(x) = -\frac{x}{5}+\frac{x^{3}}{7}$, corresponde a la solución de la ecuación diferencial en cuestion ($xy^{‘}+4y=x^{3}-x$), para los valores iniciales $y(0)=0$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Te invito a que practiques la solución de problemas mediante los pasos aquí descritos y que puedes ver a detalle en el siguiente artículo: Método de 4 pasos para ED’s lineales.

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

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